配方法解一元二次方程精讀

張濤

【摘要】解一元二次方程的基本思想是降次，把一元二次方程“降次”為兩個一元一次方程.通過解兩個一元一次方程，到達求解的目的.而配方法是解一元二次方程的基礎方法，且又是一種重要的方法，下面讓我們一起來理解配方法在解一元二次方程中的應用.

【關鍵詞】配方法;直接開平方法;規律總結

知識點精讀

1.配方法：將一元二次方程配成（x+m）²n的形式，再用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.

2.用配方法解一元二次方程的步驟：

（1）原方程化為ax²+bx+c=0（a≠0）的形式;

（2）方程兩邊同除以二次項系數，使二次項系數為1，并把常數項移到方程右邊;

（3）方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方;

（4）把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數;

（5）如果右邊是非負數，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數，則判定此方程無實數解.

3.規律總結：

一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉化成（x+n）²=p.

（2）當p=0時，則（x+n）²=0，x+n=0，開平方得方程的兩個根為x₁=x₂=-n.

（3）當p<0時，則方程（x+n）²=p無實數根.

例1用配方法解方程x²+4x+1=0時，配方結果正確的是（）

（A）（x-2）²=5.（B）（x-2）²=3.

（C）（x+2）²=5.（D）（x+2）²=3.

分析先把常數項移到方程的右邊，方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，然后把方程左邊利用完全平方公式寫成平方形式即可.

解因為x²+4x+1=0，

所以x²+x=-1，

所以x¹+4x+4=-1+4，

所以（x+2）²=3，

故選（D）.

例2已知a是不等式5（a-2）+8<6（a- 1）+7的最小整數解，請用配方法解關于x的方程x²+2ax+a+1=0.

分析解不等式5（a-2）+8<6（a-1）+7，得a>-3，所以最小整數解為-2，于是將a=-2代入方程x²-4x-1=0.利用配方法解方程即可.

解解不等式5（a-2）+8<6（a-1）+7，得a>-3，

所以最小整數解為a=-2，

將a=-2代入方程x²+2ax+a+1=0，

得x²-4x-1=0，

配方，得（x-2）²=5.

直接開平方，得

例3用配方法解一元二次方程2x²-3x-1=0，配方正確的是（）

半的平方.

解由原方程，得

故選（A）.

例4將一元二次方程x²-8x-5=0化成（x+a）²=b（a，b為常數）的形式，則a，b的值分別是（）

（A）-4，21.（B）-4，11.

（C）4，21.（D）-8，69.

分析將常數項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數一半的平方配成完全平方式后即可得出答案.

解因為x²-8x-5=0，

所以x²-8x=5，

則x²-8x+16=5+16，

即（x-4）²=21，

所以a=-4，b=21，

故選（A）.

分析解此題關鍵是理解題意

即（x+1）（x+1）-（1-x）（x-1）=8x，

解此方程即可.

所以（x+1）（x+1）-（1-x）（x-1）=8x，

所以x²-4x+1=0，

所以x²-4x+4=-1+4，

所以（x-2）²=3，