帶懸臂板薄壁箱梁的扭轉和畸變分析

徐 勛，葉華文，強士中

(西南交通大學 土木工程學院，四川 成都 610031)

改進和發展薄壁箱梁的扭轉和畸變效應分析，一直是國內外學者的研究課題。經典的閉口薄壁桿件扭轉和畸變理論建立在不帶懸臂板基礎上，而目前箱形橋梁幾乎都帶有懸臂板，尤其是公路混凝土箱梁和組合箱梁，其懸臂板占整個頂板較大比例[1，2]，因此經典理論需進一步改進和發展才能適用于目前的箱梁結構。

薄壁桿件扭轉分析的通用理論只涉及純開口截面[3]或純閉口截面[4]，這兩種理論從基本假設到最終結果均有差別[5]。文獻[6，7]將開口和閉口薄壁梁扭轉理論統一在烏曼斯基假定下，建立開口和閉口薄壁梁扭轉的統一基本微分方程。文獻[8，9]將薄壁截面中線用多邊形近似擬合，推導出一種開口和閉口薄壁梁的扭轉理論，其最終的微分方程組較復雜，沒有解析解。文獻[10]對懸臂板在薄壁箱形梁扭轉中的作用進行研究，但未對畸變效應進行分析。薄壁箱梁畸變分析的通用理論只涉及純閉口截面[11，12]。文獻[13，14]建立了任意截面薄壁梁的畸變分析方法。已有研究很少就懸臂板在薄壁箱梁中的抗扭和抗畸變作用問題進行分析，但懸臂板是薄壁箱梁扭轉和畸變的控制構件。

對此，本文基于廣義坐標法，建立帶懸臂板薄壁箱梁扭轉、畸變的位移模式和幾何方程，采用混合變分原理，建立新的開閉口混合截面桿件扭轉和畸變分析理論。由于該理論以位移和應力作為變分參量，可以充分考慮剪切效應?；谠摾碚?，分析薄壁箱梁剪力流的分布和組成，比較統一了剪力流的兩種計算方法。在對懸臂板內力狀態分析基礎上，研究懸臂板對整個截面剪切變形的影響及對整個截面抗扭和抗畸變的貢獻。

1 基本方程

以圖1中帶4懸臂板的對稱薄壁梯形箱梁為分析對象。在分析薄壁箱梁扭轉和畸變效應時，作如下假設：①懸臂板在其根部與閉口部分剛性連接；②開口和閉口部分具有同樣的扭轉翹曲函數和畸變翹曲函數；③忽略壁板厚度對翹曲的影響；④箱梁各壁板沿板平面切向不可伸縮；⑤忽略扭轉翹曲和畸變翹曲的耦聯效應[14]。

注：O、S、N分別為截面形心、扭轉中心、畸變中心。

圖1 典型截面

圖2 坐標系和積分路徑

基于圖2所規定的坐標系和位移方向，箱壁中面上任一點的縱向位移uz(s，z)、周向位移us(s，z)及法向位移un(s，z)分別為

(1a)

(1b)

(1c)

翹曲位移模式由?uz/?s+?us/?z=q/(Gt)得到。

(2a)

(2b)

其中

(3a)

(3b)

圖3 截面位移

(4a)

(4b)

(4c)

式中：n為箱壁任一點M1的法向坐標。

箱壁應變由幾何方程確定。

(5a)

(5b)

(5c)

基于式( 5 )，由胡克定律得出扭轉翹曲正應力σw、畸變翹曲正應力σd和畸變橫向彎曲應力σs為

σz=σw+σd=E1εz，σs=E1εs

( 6 )

引入扭轉和畸變雙力矩Bw、Bd及畸變剪力Qd

(7a)

(7b)

(7c)

從而可得

( 8 )

2 剪應力分析

由微元縱向平衡條件?(σzt)/?z+?(τzst)/?s=0得

( 9 )

式中：(τzst)0為待定剪力流，記為q(0，z)。

剪力流q(s，z)可分解成扭轉剪力流qw(s，z)和畸變剪力流qd(s，z)。將式( 5 )、式( 6 )代入式( 9 )，考慮到各分支懸臂板外端點ID0i剪力流q(0，z)為零，可得i分支懸臂板剪力流為

(10)

其中

(11)

可以看出，qi(s，z)的值與主扇形零點的位置無關。

對于閉口區段，考慮到有來自i分支懸臂板內端點IDi的剪力流qi(si，z)參與平衡，并設閉口區段上s在點IDi和IDi+1之間，可得閉口區段上剪力流為

(12)

式中：q(0，z)為主扇形零點待定的超靜定剪力流。

將式( 5 )、式( 6 )和式(10)代入式(12)可得

(13)

式中

(14)

將超靜定剪力流q(0，z)分解成扭轉剪力流qw(0，z)和畸變剪力流qd(0，z)。文獻[15-18]中，關于超靜定剪力流q(0，z)計算有兩種方法：對于扭轉剪力流qw(0，z)，第一種方法按照qw(0，z)使整個截面的扭轉剪力流滿足扭矩平衡求得；第二種方法按照qw(0，z)滿足閉口位移連續條件求得。對于畸變剪力流qd(0，z)，第一種方法按照qd(0，z)使整個截面的畸變剪力流對扭轉中心不形成扭矩求得；第二種方法按照qd(0，z)滿足閉口位移連續條件求得。下面就兩種計算方法進行對比分析。

2.1 第一種方法

第一種方法可表示為

(15a)

(15b)

(16a)

(16b)

則箱梁截面的開口部分或閉口部分上任意s處剪力流可表示為

(17)

(18a)

(18b)

(19a)

(19b)

2.2 第二種方法

第二種方法可表示為

(20a)

(20b)

將式(10)、式(13)代入式(15)可得

(21a)

(21b)

箱梁截面的開口部分或閉口部分上任意s處剪力流可表示為

(22)

(23)

(24a)

(24b)

2.3 對比分析

(25)

分析可知，箱梁截面的剪力流由4部分組成，如表1 和圖4所示：①平衡閉口部分翹曲正應力的剪力流，表示為qw1和qd1；②平衡開口分支懸臂板翹曲正應力的剪力流，即從分支懸臂板流入的剪力流，表示為qw2和qd2；③扭轉剪力流是使第一部分剪力流滿足截面的扭矩平衡或滿足閉口連續條件的剪力流，畸變剪力流是使第一部分剪力流滿足閉口連續條件的剪力流，表示為qw3和qd3；④扭轉剪力流是使第二部分剪力流滿足截面的扭矩平衡或滿足閉口連續條件的剪力流，畸變剪力流是使第二部分剪力流滿足閉口連續條件的剪力流，表示為qw4和qd4。如果不考慮分支懸臂板的貢獻，第二、四部分剪力流將消失。

圖4 截面剪力流分布

qw計算式qd計算式qw1-MwIθwwSθw(s)[]cqd1-MdIχwwSχw(s)[]cqw2-MwIθww∑im=1Sθw(si)[]iqd2-MdIχww∑im=1Sχw(si)[]iqw3MwIθww·∮Sθw(s)[]ctds∮1tdsqd3MdIχww·∮Sχw(s)[]ctds∮1tdsqw4MwIθww·∮∑im=1Sθw(si)[]i{}tds∮1tdsqd4MdIχww·∮∑im=1Sχw(si)[]i{}tds∮1tds

3 考慮剪切變形的控制微分方程

基于混合變分原理[19]，廣義泛函為

(26)

式中：∏H-R(σ，u)為兩個獨立變分參量σ(應力向量)和u(位移向量)的能量泛函；ε(u)為應變向量；V*(σ)為余能密度；F為體力向量，此處為零；T為面力向量。

(27)

將式( 5 )代入式(27)整理得

(28)

余能函數為

(29)

將式( 8 )和式(22)代入式(29)整理得

(30)

反映剪切變形影響的剪切系數為

(31a)

(31b)

外荷載勢能為

(32)

將式(28)、式(30)和式(32)代入式(26)變分可得

(33)

式(33)廣義泛函變分的約束條件可寫為：

①力的平衡方程

(34)

(35)

②力與位移的關系式

(36)

(37)

③控制微分方程

將式(36)代入式(34)得截面扭矩平衡方程

(38)

(39)

由式(38)和式(39)聯立得到控制微分方程

(40)

在上述分析基礎上，將控制微分方程式(40)中與懸臂有關的系數項取為0后，即與無懸臂箱梁的控制微分方程完全一致。微分方程(40)可采用初參數法[3]求解。

4 數值算例

4.1 算例1

以橋梁工程中典型的雙懸臂對稱薄壁矩形截面直線箱梁為研究對象，如圖5所示。為分析懸臂板對結構扭轉效應的影響，分別計算兩種高寬比的模型：模型M1的高寬比h/b=0.5，b=5 m，h=2.5 m；模型M2的高寬比h/b=2，b=2.5 m，h=5 m；箱梁各壁板厚度均為t=0.2 m。以兩懸臂板寬度與頂板寬度的比值d/b作為參量進行系列計算。

圖5 計算模型

圖6 截面特性比值隨d/b變化曲線

圖7 翹曲程度比值隨d/b變化曲線

圖8 翹曲正應力比值隨d/b變化曲線

圖9 翹曲系數比值隨d/b變化曲線

對圖6～圖9曲線進行對比分析，得出如下結論：

(1)從圖6可以看出，常規的雙懸臂箱梁(d/b=0.5～1)，懸臂板的翹曲慣矩一般占全截面翹曲慣矩的30%～50%，即懸臂板分擔了30%～50%約束扭矩，尤其是當閉口部分接近無翹曲截面[14](h/b漸近1)時，該比例將更大，因此懸臂板對截面約束扭轉效應的貢獻不應忽略。

(2)根據圖6中的扭心位置比值曲線可以發現，對于模型M1，在d/b=0～0.5時，隨著懸臂板的增長，扭心反而向底板移動；對于模型M2，隨著懸臂板的增長，扭心一直向頂板移動。

(3)從圖7可以看出，懸臂板的存在使截面翹曲系數增大，一般情況下，增幅約20%～70%，這表明懸臂板使剪切變形的影響增大。懸臂板增長也使全截面的翹曲慣矩增大，導致截面(Uθ)″降低。

(4)從圖8可以發現，懸臂板使閉口箱的翹曲正應力發生明顯重分布，閉口部分翹曲正應力整體減小。懸臂板端點F的翹曲正應力比閉口部分大，可達閉口部分的1.2～2.5倍，因此懸臂板通常是整個截面翹曲正應力的控制構件。

(5)從圖9可以看出，對于開閉混合截面，烏曼斯基第二理論所得結果比較保守，如常見的懸臂比例d/b=1，兩種翹曲系數比值分別為1.499(模型M1)和1.784(模型M2)，是烏曼斯基第二理論未考慮懸臂板的次生剪應力影響所致，可見烏曼斯基理論不宜用于開閉混合截面。

4.2 算例2

圖10 截面特性比值隨d/b變化曲線

圖11 畸變雙力矩比值隨d/b變化曲線

圖12 翹曲正應力比值隨d/b變化曲線

圖13 剪切系數隨d/b變化曲線

對圖10～圖13曲線進行對比分析，得出如下結論：

(1)從圖10可以看出，對于常規雙懸臂箱梁(d/b=0.5～1)，懸臂板的畸變慣矩通常占全截面畸變慣矩的30%以下，即懸臂板分擔30%以下畸變力矩；懸臂板對截面畸變效應的貢獻比對扭轉效應的貢獻小。

(2)從圖10可以看出，隨著懸臂板的增長，畸變中心位置始終向頂板移動，沒有出現反復。

(3)從圖11可以發現，懸臂板使閉口箱的畸變正應力發生明顯重分布，隨著懸臂翼緣板的增長，頂板角點B的畸變正應力逐漸減小，底板角點C的畸變正應力逐漸增大，底板角點C是整個截面畸變正應力的控制點。

(4)從圖13可以看出，畸變剪切系數整體上均大于1，且懸臂板長度在一定范圍時，該比值遠超過1。但從圖11可以發現，方法MT1、MT2所得畸變雙力矩的相對誤差在10%以下，這說明對于帶懸臂板箱梁，次生剪應力對中面剪切變形的影響相對扭轉效應要小得多。

5 結論

本文基于廣義坐標法，建立帶懸臂板薄壁箱梁扭轉和畸變的位移模式與幾何方程，采用混和變分原理，建立新的開閉口混合截面桿件扭轉和畸變分析理論，得到如下結論：

(1)比較按照力矩平衡條件和閉口連續條件求解薄壁箱梁剪力流的兩種方法，證明兩種方法計算扭轉剪力流結果一致，評價了兩種方法計算畸變剪力流的合理性。

(2)分析薄壁箱梁剪力流的組成和分布，研究了懸臂板對整個截面扭轉和畸變效應的影響及對整個截面剪切變形的影響。

(3)懸臂板對薄壁箱梁扭轉和畸變效應的貢獻主要體現在懸臂板扇形慣矩所占的比例；懸臂板使閉口箱翹曲應力發生明顯的重分布；懸臂板使剪切變形影響增大，且這種影響隨著懸臂翼緣板的增長而增大；常規薄壁箱梁橋中懸臂板的貢獻不可忽略。

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