基于極大值原理的電動車組節能操縱

梁志成，王青元，何 坤，馮曉云

(西南交通大學 電氣工程學院，四川 成都 610031)

列車節能操縱是在保證列車安全、準點、舒適、精確停車的基礎上，通過優化列車工況序列，使列車運行能耗最小。列車時刻表規定的區間運行時間通常大于最大能力運行時間，因此可利用富余時間和線路縱斷面進行節能優化。國內外學者已對此進行了大量的研究[1-6]，得出列車最優工況序列由全力牽引、恒速控制、惰行和全力制動所構成。文獻[4]用變分法證明了區間不存在大坡道時，相鄰恒速區段之間只存在單個大坡道時最優工況切換的存在性和唯一性，但其分析未考慮線路限速的影響。文獻[6]應用極大值原理，推導出考慮再生制動能量利用時列車最優工況的切換原則，并給出了求解算法，但對線路限速約束影響下工況切換的討論較為粗糙。文獻[7]為解決模型奇異性導致列車工況切換點無法完全確定的問題，引入優秀司機操縱經驗，用啟發式算法尋找工況切換點，取得了較好的節能效果，但該方法未對工況切換點的最優性進行驗證，且耗時較長，難以應用于列車節能運行模式曲線的在線計算。

本文以電動車組列車(以下簡稱列車)牽引能耗最小為優化目標，考慮線路限速，應用極大值原理推導節能操縱的最優運行工況集，通過分析伴隨變量的變化規律，挖掘列車節能操縱的解析屬性，在此基礎上給出一種求解列車最優工況序列的數值算法，為列車自動駕駛或輔助駕駛系統在線生成節能最優模式曲線提供幫助。

1 列車運行控制的數學模型

1.1 模型假設

為便于對列車運行過程進行分析，對列車模型做如下假設：

(1)不考慮列車使用電制動工況時的再生反饋能量利用。基于電動車組按照減速度-速度特性施加制動力的特點，將列車的電制動和空氣制動特性歸并到同一制動特性曲線下，得到綜合制動特性曲線，且不考慮空氣制動的充風時間和緩解時間。

(2)列車的牽引力和制動力是連續的，可取特性包絡線下對應車速的任意點力的值，即μt和μb在其取值范圍內連續，列車可實現恒速運行。

(3)由于列車正常運行情況下一般不會使用緊急制動工況，因此本文中的列車制動工況只限于常用制動工況。

(4)列車輔助系統，如照明、空調和風機等產生的能耗只與運行時間有關，與列車運行工況無關。

1.2 模型描述

列車在具有坡道和曲線的軌道上行駛，計算其運動狀態時需要考慮車長的影響，因此單質點模型不再適用。本文對單節列車采用“均質棒”模型，認為單節動車和單節拖車均按其長度均勻分配質量。列車的加算坡道附加阻力根據列車在不同線路條件下的長度分布進行加權平均計算得到。

由牛頓第二定律，列車運行的數學模型可描述為

( 1 )

( 2 )

式中：v為列車速度，m/s；x為列車在線路上所處的位置，m；t為時間變量，s；ft(v)、bb(v)、w0(v)分別為考慮回轉質量后列車在車速v下的最大單位牽引力、最大單位綜合制動力以及單位基本運行阻力；控制量μt、μb由列車牽引級位、常用制動級位折算得到；g(x)為考慮回轉質量后列車在位置x的單位加算坡道附加阻力。

為便于分析，將列車速度v和運行時間t表示為以列車位置x為自變量的函數，即v(x)和t(x)，由式( 1 )和式( 2 )，得到微分方程

( 3 )

( 4 )

由于列車施加的牽引力和綜合制動力不能超過其最大值，因此控制變量應滿足約束

0≤μt≤1

( 5 )

0≤μb≤1

( 6 )

假設列車運行區間的長度為S，時刻表給定的區間運行時間為T，則列車從區間起點啟動運行，經過T時間到達區間終點并停車，可以表示為

v(0)=0，v(S)=0

( 7 )

t(S)-t(0)=T

( 8 )

考慮到列車運行的安全性，列車車速不能超過其所在位置的線路限速，且列車應能在任意車速下制動減速，因而滿足

v(x)≤V(x)

( 9 )

bb(v)+w0(v)+g(x)>0

(10)

優化目標是使列車區間運行的牽引能耗最小，即

(11)

式中：ηt為列車牽引工況下傳動系統的機電效率。

2 節能最優運行工況及其切換

2.1 節能最優運行工況分析

根據龐特里亞金極大值原理，結合狀態方程( 3 )和方程( 4 )，構造哈密頓函數[8]

(12)

式中伴隨變量λ1、λ2應滿足

(13)

λ1(0)自由，λ1(S)自由。

(14)

λ2(0)自由，λ2(S)自由。M(x)為考慮約束條件( 9 )而引入的單調非減有界變差函數[9]，其滿足

(15)

dM(x)≥0

(16)

(17)

即在列車運行全過程中，λ1恒為常數。

式(12)可進一步簡化為

(18)

表1 伴隨變量不同取值對應的列車最優運行工況

(19)

(20)

聯立式(19)和式(20)，可得

(21)

可簡化為

(22)

下面分別對θ=1和θ=0兩種情形展開分析。

(1)當θ=1且保持不變時，由表1可知μt∈[0，1]，μb=0，即列車保持部分牽引工況運行，此時有

(23)

當v(x)

(24)

(25)

當v(x)=V(x)時，有dM(x)≥0，列車以線路限速恒速運行。由ψ(v)的單調性可知，為使V(x)為方程(23)的解，需滿足vc≥V(x)。

因此，對于最優運行工況而言，列車部分牽引工況只有在速度保持階段才使用。當vc≤V(x)時，列車使用部分牽引工況保持車速vc；當vc>V(x)時，列車由于線路限速的限制無法達到速度vc，可使用部分牽引工況保持車速為V(x)。使用部分牽引工況的目的是實現列車恒速運行，其與實際電動車組的牽引恒速控制模式相對應。此時列車牽引力視總的列車運行阻力大小而定，因而控制量取值滿足μt∈[0，1]。

(2)當θ=0且保持不變時，由表1可知μt=0，μb∈[0，1]，即列車保持部分制動工況運行，此時有

(26)

由λ1<0得

dM(x)>0

(27)

v(x)=V(x)

(28)

因此，對于最優運行工況而言，列車使用部分制動工況只適用于為避免下坡道運行時車速超過線路限速，通過施加一定的制動力將車速保持在線路限速V(x)的情形，與實際電動車組的制動恒速控制模式相對應。此時列車制動力視實際受力情況而定，因而控制量取值滿足μb∈[0，1]。

2.2 節能最優運行工況的切換原則

在分析伴隨變量θ位于不同取值區間對應的最優運行工況的基礎上，對θ的動態特性展開分析，得到最優運行工況的切換原則。

(1)當θ>1且vc

(29)

(2)當0<θ<1，v(x)

(30)

3 節能最優工況序列求解算法

列車的節能最優工況序列由最優運行工況集合(即全力牽引、部分牽引/牽引恒速、惰行、部分制動/制動恒速、全力制動)中的工況組合連接而成。在列車運行全過程中，λ1恒為常數，由式(25)的分析可知，vc一旦給定，即可求出λ1并將其代入微分方程(22)以求解伴隨變量隨列車運行的數值變化，再根據表1確定列車的最優控制工況及其切換時機。下面給出一種給定vc條件下節能最優工況序列的求解過程。

3.1 劃分坡道區段

為保證整列車均不超過線路限速，即列車通過低限速區段以其尾部也通過該區段為標志，考慮列車車長的影響，將原線路限速轉換成列車車頭位于線路不同位置時對應的線路限速V(x)。

由前述的“均質棒”模型，計算列車在整個運行區間的單位加算坡道附加阻力變化曲線g(x)，其中x為列車車頭位置。

列車在線路上行駛時，縱斷面和線路限速的組合構成了復雜多變的運行條件。但從列車節能操縱的角度，線路可看成是由若干個有著各自目標運行速度的坡道區段所組成。其中坡道區段的目標運行速度取值為vc與當前坡道區段線路限速V(x)的較小值。當列車在線路的某個坡道區段運行時，根據其在目標運行速度的恒速保持能力，可將該坡道區段分為一般坡道區段、大上坡道區段和大下坡道區段三種坡道類型。設列車在該坡道區段的目標運行速度為vtarget，結合式( 1 )，上述三種坡道類型的具體定義為

(1)一般坡道區段是指列車使用牽引或惰行工況可以保持目標運行速度的坡道區段，滿足

μtft(vtarget)-w0(vtarget)-g(x)=0

μt∈[0，1]

(31)

(2)大上坡道區段是指列車在目標運行速度下使用全力牽引工況車速仍然降低的坡道區段，滿足

ft(vtarget)-w0(vtarget)-g(x)<0

(32)

(3)大下坡道區段是指列車在目標運行速度下使用惰行工況車速仍然上升的坡道區段，滿足

-w0(vtarget)-g(x)>0

(33)

根據此定義，將給定列車運行區間劃分為若干個坡道區段，劃分時遵循每個坡道區段內坡道類型唯一且只有一個線路限速值的原則，如圖1所示。

圖1 坡道區段的劃分

3.2 恒速段的定義

本文將恒速段定義為列車在應用最優控制工況條件下保持恒定車速的運行區域。列車保持恒定車速的情形有兩種：

(1)列車使用牽引恒速控制工況保持車速為vc或線路限速V(x)，滿足θ=1；

(2)列車使用制動恒速控制工況保持車速為線路限速V(x)，滿足θ=0。

因此，將恒速段分為牽引恒速段和制動恒速段兩種。牽引恒速段是含單一目標運行速度的一般坡道；制動恒速段是受到線路限速影響的大下坡道，其目標運行速度只有一個。當vc的值改變時，線路上坡道的類型可能發生改變，進而影響恒速段的劃分。列車運行區間的起點和終點都定義為限速為0的單點恒速段。

3.3 恒速段連接

計算列車節能最優速度模式曲線時，以恒速段為基準，將非恒速段看作是恒速段的過渡連接，最終將包括區間起點與終點在內的若干個恒速段連接起來，并達到準點運行的要求。對于存在最優連接曲線的兩個恒速段而言，沿列車運行方向，把與最優連接曲線起點相連的恒速段稱為前恒速段，該點為恒速段的離開點，把與最優連接曲線終點相連的恒速段稱為后恒速段，該點為恒速段的進入點。顯然，恒速段的離開點應在進入點之后，或者與進入點重合，否則視為無效連接，特別地，區間起點只有離開點，區間終點只有進入點。

由極大值原理可知，當系統狀態不受約束時，伴隨變量連續。因此，當最優連接曲線未觸及線路限速時，恒速段的進入點和離開點處都要滿足伴隨變量θ連續，用θleave表示前恒速段離開點處θ的取值，用θenter表示后恒速段進入點處θ的取值。

(1)θ連續變化情況下的連接方法

假設待連接的兩恒速段均為牽引恒速段，由于列車在牽引恒速段的必要條件是θ=1，因此應滿足θleave=1和θenter=1。

若兩恒速段之間僅存在單個大上坡道區段，根據最優工況集和θ的變化規律，列車應在大上坡道區段前的某一位置切換到全力牽引工況，使車速v上升，θ增大，進入大上坡道區段后，車速v下降，此時要想θ再次減小到1，車速v必須下降到vc以下，離開大上坡道區段后，車速v重新上升，θ繼續減小，當車速v上升至vc時，恰好滿足θ=1，列車切換到部分牽引工況保持恒速，如圖2所示。

圖2 內含單個大上坡道區段的兩恒速段最優連接示意圖

若兩恒速段之間僅存在單個大下坡道區段，列車應在大下坡道區段前某一位置切換到惰行工況，使車速v下降，θ減小，進入大下坡道區段后，車速v上升，此時要想θ再次增大到1，車速v必須上升到vc以上。離開大下坡道區段后，車速v重新下降，θ繼續增大，當車速v下降至vc時，恰好有θ=1，列車切換到部分牽引工況保持恒速，如圖3所示。

圖3 內含單個大下坡道區段的兩恒速段最優連接示意圖

若兩恒速段之間存在由大上坡和大下坡組成的組合大坡道區段，應根據第一個大坡道的類型判斷列車應使用的工況。若為大上坡，則列車應在大坡道區段之前切換到全力牽引工況；若為大下坡，則列車應在大坡道區段之前切換到惰行工況。其后列車工況根據θ取值變化在表1選取。當列車離開大坡道區段且車速與后恒速段的速度相等時，應恰好有θ=1，列車切換到牽引恒速工況，如圖4所示。

圖4 內含大上坡和大下坡的兩恒速段最優連接示意圖

(2)θ發生跳變情況下的連接方法

由式(15)和式(16)可知，當列車車速等于其所在位置的線路限速即v(x)=V(x)時，dM(x)≥0，且在列車車速進入或離開線路限速約束時，伴隨變量θ可能發生由dM(x)引起的正跳變[9]。由于θ跳變只能在線路約束處發生，為便于計算，可結合坡道區段的劃分結果，預先確定θ可能發生跳變的位置，將其定義為若干個θ跳變點，從而將最優速度曲線的連接分解為恒速段之間的連接、恒速段與θ跳變點的連接以及θ跳變點之間的連接3個子任務。一般來說，θ跳變點出現在大上坡的起點限速處、大下坡的終點限速處、低速恒速段的起點和終點以及區間的起點和終點。對于區間起點和終點而言，對應的邊界條件( 7 )等同于線路限速為0，因此將區間起點和終點視為θ跳變點，以納入到統一的連接理論框架進行分析。

由于θ的跳變量必須為正，若θ跳變前的取值已知，即可確定θ跳變后可能的取值范圍，從而為搜索最優工況切換點提供依據。設θ跳變前的值為θ-，跳變后的值為θ+，下面對θ發生跳變的不同情況分別進行分析。

①θ-=1，θ+>1

當列車從目標運行速度較低的恒速段使用全力牽引工況向目標運行速度較高的恒速段過渡時，θ跳變點為低速恒速段的末端，如圖5中①所示。

圖5 全力牽引連接示意圖

當列車在目標運行速度與線路限速相等的恒速段運行但前方出現大上坡，需要使用全力牽引工況過渡時，為保證不超限速，全力牽引工況應在此大上坡的起點施加，該點為θ跳變點，如圖5中②所示。

②θ->1，θ+>θ->1

連接兩個恒速段時，當在假設θ連續變化條件下得到的最優連接曲線存在因使用全力牽引工況通過大上坡而導致列車速度超過線路限速的情況時，應重新調整工況切換點位置，使列車車速在大上坡的起點處恰好等于線路限速，以免超速，此時θ跳變點為該大上坡的起點限速處，如圖6所示。

圖6 全力牽引連接示意圖

③θ-<1，θ+=1

制動恒速段位于線路限速影響的大下坡道區段，存在使用部分制動工況以防超速的可能性。部分制動工況可從惰行工況切換得到，必要條件為θ連續下降到0，如圖7中①所示。若列車惰行運行至制動恒速段的終點時仍有θ>0，即未滿足使用部分制動工況的條件，為避免列車超速行駛，求解工況切換點時應使列車在大下坡道區段終點處的車速恰好等于線路限速，θ在該點發生正跳變，列車切換至其他工況(如部分牽引)運行，如圖7中②所示。

圖7 大下坡道區段的惰行連接示意圖

④θ-<0，θ+=0

部分制動工況可從全力制動工況切換得到。當列車使用全力制動工況運行至制動恒速段的起點時，車速恰好等于該恒速段的目標運行速度，則θ在該點發生跳變，列車切換至部分制動工況運行，如圖8所示。

圖8 全力制動連接示意圖

3.4 局部最優連接搜索算法

求解最優連接時，通過四階Runge-Kutta法聯合求解式( 3 )和式(22)，根據θ的取值切換列車工況，從而得到列車速度v和θ隨列車位置的變化。

對于恒速段之間的連接，由于θ是連續的，將列車工況切換點位置作為迭代變量，采用二分法搜索在一定誤差限下滿足恒速段進入點和離開點最優化條件的工況切換點。若能找到，則檢查連接曲線是否超過線路限速。如果沒有超過限速，則將其視為兩恒速段的最優連接，反之應插入θ跳變點，重新搜索最優工況切換點。

對于涉及θ跳變點的連接，雖然θ的跳變量大小一般不能預先確定，但可將θ的跳變量為正作為驗證連接曲線正確性的判斷標準。例如，連接恒速段與θ跳變點時，連接曲線與恒速段相交處θ的取值應滿足相應的最優化條件，且θ在跳變點的跳變量為正值；連接兩個θ跳變點時，應滿足θ在這兩個跳變點的跳變量均為正值，鑒于跳變點的速度和位置已經確定，可將后一跳變點θ跳變前的取值作為迭代變量，以“反算”的方式計算連接曲線，采用二分法搜索最優連接。若無法找到滿足θ跳變條件的解，則說明給定的兩個連接對象之間不存在最優連接。

3.5 準點調整

由前述分析可知，vc的取值決定了坡道區段的劃分及其相互連接關系，從而決定列車的區間運行時間。本文的列車節能操縱優化模型中，vc是用來控制區間運行時間的參數，而不是表征區間平均運行速度的量。對于同一運行區間而言，vc的值越大，計算所得的節能速度模式曲線對應的區間運行時間越短。隨著vc的不斷增大，區間運行時間逐漸向最大能力運行時間逼近，vc的取值可以超過區間最高線路限速甚至列車本身的構造速度；通過合理調整vc的取值，可以實現區間準點運行。因此，在最終生成的速度模式曲線中，車速有可能無法達到vc對應的速度。

3.6 區間最優連接搜索算法

節能準點尋優算法的目標是確定一條可將區間起點和終點有效連接起來的最優運行曲線，并滿足準點性要求。具體步驟如下：

步驟1：計算列車在給定優化區間最大能力運行時的速度曲線及其對應的最短運行時間Tmin。若給定區間運行時間Ttarget大于Tmin，則執行步驟2，否則返回最大能力運行工況序列，優化終止。

步驟2：設定vc的值，并計算λ1的值，然后根據vc劃分坡道區段，定義恒速段和θ跳變點，為避免不必要的連接計算量，首先移除最大能力運行速度曲線無法到達的恒速段和θ跳變點，然后按照位置排序得到由恒速段和θ跳變點構成的有序集合U={Ci}，i=1，…，n，其中Ci表示第i個待連接元素，C1為區間起點，Cn為區間終點。為提高尋優效率和便于編程實現，采用遞歸搜索算法。

步驟3：連接集合U的元素，并在連接成功后保存最優工況序列。連接兩個元素時，用p表示前元素的序號，用q表示后元素的序號。

步驟3.1：若i

步驟3.3：若q=n，則找出在Cp之前且與Cp直接相連的元素Cm(1≤m

步驟4：根據步驟3中所生成的列車工況序列，對列車區間運行進行仿真，計算區間運行時間T。

步驟5：若|T-Ttarget|<3 s，則認為列車已滿足準點性要求，優化結束。否則，若T>Ttarget，則提高vc，重復步驟2；若T

4 仿真驗證

以CRH2型4M4T動車組為原型，建立仿真列車模型，相關參數見表2。為充分驗證本文提出的列車節能速度曲線求解算法的正確性和有效性，并體現多種線路坡道和限速組合下的最優工況切換原則，仿真運行線路的縱斷面和限速數據是在符合動車組運用條件的前提下通過合理假設而得到的。對于坡道較平緩的實際線路，本文的尋優算法同樣適用。仿真線路全長60 km，限速數據見表3，縱斷面數據見表4。

表2 仿真用列車參數

表3 線路限速

表4 線路縱斷面

經仿真，列車在給定區間的最大能力運行時間為Tmin=21 min 20 s。當給定大于該時間的區間運行時間時，應用所提出的區間最優連接搜索算法，通過調整vc以達到準點運行要求。為對比不同區間運行時間下(對應不同的vc)的節能最優運行曲線，給定兩個區間運行時間T1=23 min 53 s和T2=22 min 4 s分別進行仿真，得到對應的節能最優運行模式曲線如圖9和圖10所示，兩種情況下的vc取值和能耗數據見表5。

圖9 區間運行時間為23 min 53 s對應的節能速度模式曲線

圖10 區間運行時間為22 min 4 s對應的節能速度模式曲線

運行方式運行時間vc/(km·h-1)牽引能耗/(kW·h)時間裕量/%較最大能力運行節能百分比/%最大能力運行21min20s—882 30—節能運行23min53s200481 811 9545 4節能運行22min4s300627 53 4428 9

圖9中，滿足準點要求時vc=200 km/h。列車使用全力牽引從目標運行速度較低的恒速段向目標運行速度較高的恒速段運行(包括起動階段)，如a～b段、d～e段、k～l段；列車使用部分牽引以vc或小于vc的線路限速值為目標速度恒速運行，如c～d段、f～g段、j～k段、l～m段、p～q段、r～s段；列車在恒速運行過程中前方遇到單個大坡道或由大上坡和大下坡構成的組合坡道時，使用全力牽引和惰行進行恒速段連接，當連接受到線路限速影響時，使用全力牽引g～h段和i～j段，以及惰行h～i段；當連接不受線路限速影響時，使用全力牽引m～n段和o～p段，以及惰行n～o段；當列車調速過程中遇到大下坡時，為避免超速，若尚未達到使用部分制動的條件，列車將使用惰行直至大下坡的終點，如b～c段、e～f段、h～i段、q～r段；當列車從目標運行速度較高的恒速段向目標運行速度較低的恒速段運行(包括進站停車)時，若尚未達到使用全力制動的條件，則使用惰行進行連接，如q～r段，若達到使用全力制動的條件，則使用惰行(如s～t段)和全力制動(如t～u段)進行連接。

圖10中，由于設定區間運行時間的縮短，滿足準點要求時vc=300 km/h，vc大于區間所有線路限速，此時列車牽引恒速運行均以其所處位置的線路限速為目標速度，如d～e段、g～h段、k～l段、o～p段、s～t段；當列車從目標運行速度較低的恒速段向目標運行速度較高的恒速段運行且遇到大下坡時，與圖9相比，vc的提高使全力牽引工況(如a～b段、e～f段)增加，惰行工況(如b～c段、f～g段)減少，在大下坡道區段出現了部分制動工況(c～d段)；由于vc的提高，圖9中恒速段l～m段消失，又由于受到線路限速的影響，使用全力牽引l～m段和n～o段，以及使用惰行m～n段；當列車從目標運行速度為220 km/h的恒速段向目標運行速度為150 km/h的恒速段調速時，因vc的提高而達到了使用全力制動的條件，出現了全力制動工況(q～r段)和在整個大下坡道區段使用的部分制動工況(r～s段)；在列車進站停車的過程中，vc的提高使惰行工況減少(圖9的s～t段)，全力制動工況增加(圖9的t～u段)，并且出現了全力牽引工況(圖10的t～u段)。

列車最大能力運行時的工況序列可通過不斷提高vc的取值來逼近得到，本例中當vc>1 000 km/h時，區間運行時間與最大能力運行時間相差小于1 s，可近似為最大能力運行。從表5的仿真結果數據來看，與列車最大能力運行相比較，在滿足準點的前提下，當設定11.95%的運行時間裕量時，最多可節省45.4%的牽引能耗；當設定3.44%的時間裕量時，最多可節省28.9%的牽引能耗。因此，通過合理設置列車區間時分裕量，可以取得可觀的節能效益。

仿真在主頻為1.9 GHz、內存為2 G的計算機上進行。當給定區間運行時間后，求解滿足準點要求的節能速度模式曲線耗時約5 s，說明所提出的算法能滿足電動車組在線計算節能最優模式曲線的要求。

5 結束語

(1)以列車牽引能耗最小為優化目標，考慮線路限速，基于極大值原理的最優化條件，得到最優運行工況集，以及伴隨變量連續和發生跳變條件下最優運行工況的切換原則，并對多種限速和坡道組合下的節能優化操縱進行了分析。

(2)在理論分析的基礎上，提出一種求解列車最優工況序列的數值算法，并通過仿真驗證了該算法的正確性和有效性。從仿真運行結果來看，該算法耗時較短，克服了以往尋優算法因耗時較長只能進行離線優化的缺點。同時，最大能力運行方式可看作是定時節能優化操縱的一種特殊情況，可通過提高vc的取值來逼近。

(3)本文探討了區間運行定時約束下列車節能最優模式曲線的求解方法，對列車自動駕駛或輔助駕駛系統的模式曲線優化和在線調整具有一定的借鑒意義。列車在實際運行過程中會受到過電分相、信號變化等因素的影響，對于如何求解此類因素約束下的節能優化操縱問題，需要進一步的研究。

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