淺談解題教學中的選題設計

☉江蘇省海安縣立發中學 王 勇

淺談解題教學中的選題設計

☉江蘇省海安縣立發中學 王 勇

解題教學一直是中學數學的重中之重，可以這么說，從高考應試來看解題教學，解題教學的提高需要大量的訓練才能取得效果是一致的共識.久而久之，我們很少思考為什么做那么多題目？我們解題是為了什么？數學的概念、考查的重點從哪里體現出來？南師大教授單遵說：“大家都說江蘇的高考題難，其實一點都不難！為什么這么說？因為我們的教學常常在做無用功，要么常常在不斷做重復的試題或者做一些與高考不相干的的問題，這樣的教學面對考查能力的高考題怎么會不失敗？所以，選題很重要，這是高三數學教師最重要的能力素養之一.”

從上述的話中，筆者感悟到，高考不是盲目復習，也不是大量重復訓練，而是要做到復習有心、鞏固專心，只要做到合適地、合理地選題，即便沒有大量重復的訓練也能取得理想的成績.那么如何選題呢？這里筆者要借助人教版編者章建躍博士的一席話：“選題，即選三個方面的試題，其一，看數學試題是否是對于數學核心知識的考查；其二，試題的發散性如何，是否有助于學生多角度地思考問題；最后，選的問題是否具備思維性，思維性是歷年江蘇卷考查數學素養和數學能力的體現之處.”本文將從三個方面，結合案例談談選題設計的重要性.

一、選題的核心性

核心知識的重要性是復習的導向，數學中哪些知識是核心呢？每個章節中哪些內容又是核心中的核心呢？解題教學必須有的放矢，選題必須有針對性.以平面向量為例，向量問題有兩個不同的思路：即自由向量和坐標向量的考查.從向量工具性的考向來看，能體現向量精髓的自然是自由向量，這才是向量的核心，平面向量基本定理則是自由向量的核心，選向量題復習教學必需將這個核心很好地體現.在教學實踐中發現，涉及平面向量中的三點共線問題比較常見.解決此類問題可以利用平面向量基本定理，但學生往往對平面向量的基本定理的應用不熟練，找不到問題的突破口，平面向量中的三點共線問題在高三復習備考中儼然已經成為學生的一個知識“短板”，筆者嘗試引導學生通過三個學習環節掌握解決此類問題的策略，這三個環節分別是掌握定理、總結規律、突破問題，在給出平面向量三點共線定理后對定理進行解釋說明，并加以應用舉例，通過三個實例說明該知識的核心性，闡述其在具體問題中的運用、內涵與價值.

1.涉及平面向量中的定值問題

例1 如圖1，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交AB、AC于不同的兩點M、N，若則m+n的值是_______.

圖1

2.與三角形重心相關的問題

例2 如圖2，已知G是△ABC的重心，直線EF過點G且與邊AB、AC分別交于點E、F，且求的值.

圖2

解析：連接AG并延長交BC于點D，由于E、F、G三點共線，所以根據推論2可設

3.涉及變量取值范圍問題

圖3

說明：平面向量中三點共線定理在解決有關定值和變量取值范圍問題方面有很強的實用性，希望學生通過教師選擇的這個題組的學習能夠熟練掌握此核心知識并在今后的解題過程中靈活運用.

二、選題的發散性

高考試題一般有多個方法可以解決，有多個角度可以思考，這體現高考試題對于學生思想發散性有充分足夠的考查.教師在解題教學中要選擇帶有充分發散性思維能力的試題，這樣有助于學生在問題解決過程中產生極好的導向性.其一，使得學生將多種知識穿插交互使用，體現知識的整合性和發散性，其二，多種知識的使用可以加強數學問題解決綜合能力的提高.

例4 已知在△ABC中，D為BC的中點，cos∠BAD=

（1）求∠BAC的值；

選題要求：本題主要考查的是三角函數在三角形中的應用及正余弦定理在解三角形中的應用，旨在通過本題，讓學生學會在解三角形中能靈活運用三角函數跟正余弦定理.估計學生第（2）問的得分率可能很低，于是析題的重心在第（2）問上.大部分學生不會利用正弦定理將邊轉化到公共角上，從而出現很多個未知量，導致解題失敗.也有部分學生看到了三角形面積之間的關系，可是理不清它們之間的聯系，從而無從下手.

分析：對于第（2）問，將從四個不同的角度切入分析，打開學生的思維，讓學生多角度地看待問題與剖析問題，從而得到解題的策略.

發散性一：從三角形面積關系出發.很多學生只看到兩個小的三角形，而沒有看到大的三角形跟小的三角形之間的關系，從而陷入解題誤區.教會學生在觀察三角形的時候要整體跟局部地去看問題.

發散性二：因為三角形中的邊之比就是角的正弦之比.所以從正弦定理出發，在三角形中應用正弦定理.同樣的問題，選擇哪一個三角形，或者哪兩個三角形是解題的關鍵.通過法一，筆者想學生對于第二種方法應該會更加熟練地找到它們之間的聯系.

發散性三：幾何法.通過添加輔助線來達到法二在一個三角形中沒有辦法做到的邊之比直接轉化為已知角的正弦之比.通過這個方法是讓學生明白三角形的問題是一個平面幾何圖形，添加輔助線的出發點也是中點這一特征.

發散性四：有了方法三，方法四就是建立在平面幾何圖形基礎之上的.我們常常引入直角坐標系來研究邊角關系，那么這個三角形何不放在直角坐標系中，說不定利用坐標也是一件很輕松的事情哦.從而慢慢引導學生從這個方面出發去看問題.

說明：本題的選擇設計主要是教會學生面對三角形，第一，會看幾個三角形；第二，會在三角形中利用面積公式、正余弦公式，找到它們之間的等量變化；第三，三角形的問題可以添加輔助線成為一個新的三角形，將邊角關系全部放在一個三角形中去研究；第四，三角形的問題不可以思維受限，要多方式方法地去看待問題；最后，就是讓思維插上翅膀，讓問題變得更加發散、多元化，解決方式多角度，從而使學生在綜合問題上的處理能力達到一定的積累.

三、選題的思維性

選題需要注重思維，這是單遵教授在本文初始階段提出的，為什么總說高考試題難？因為筆者發現很多時候我們在做無用的數學重復訓練或偏離導向的解題復習教學，缺乏給出精辟的選題，給予學生思維的開發和導向引導，因此合理應對高效的解題教學需要教師加強選題對于學生思維的考查.

現選擇一些類似數量積問題題組如下：

例5 （蘇州高考數學模擬）在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則__________.

例6 （2014屆高三無錫模擬改編）如圖4，P是棱長為2的正方體上一動點，AB是正方體內切球的任意一條直徑，則的取值范圍是_______.例7 （2013屆南京第一學期期末改編）如圖5，已知點A、B在雙曲線=1上，且線段AB經過原點，點M為圓x2+（y-2）2=1上的動點，則M—→A·M—→B的最大值為____________.

圖4

圖5

圖6

例8 如圖6，△ABC中，P0是邊AB上一定點，滿足且對于邊AB上任一點P，恒有則AC與BC的大小關系是______________.

要求：上述四個類似問題都與向量數量積相關，但教師若一一分析未能找到其相關聯系的話，對于學生思維的啟迪是很有限的，其實上述問題都是源自一個知識點的考查，即向量數量積與向量和與差之間的關系，這是高等數學中對向量本質的考查.對問題核心方式的解決，才能引導學生走上正確的思維道路，開發學生思維的深度.

例6分析：取AB中點O，連接PO，構造成導入問題的圖形，因為，所以

說明：本題組選題以向量中的向量數量積與向量和與差本質關系：為本，通過類似問題的形式選擇，讓學生在不同背景中找尋相關知識的處理，得到同類問題的思維聚合，提高其思維的方向性和解決問題的導向性.

總之，本文通過選題三個方面的分析提出了一些自己的想法，從選題的核心性、發散性、思維性等方面結合案例做出了一些闡述.筆者認為，現在的解題教學往往是我們的做得多，思考的少，常常在埋頭苦做卻沒思考我們為什么要做這樣的問題？這樣的問題對于我們教學是否有所幫助？對于學生的數學解題能力提高、數學素養是否有所幫助？因此，解題教學首先要教師更關注選題.選題的合理性有助于解題教學得到更為高效、有效的進步，也讓教師在教學中得到了更為有導向性的專業化成長.

1.崔景南.當學生偏離教師航向時［J］.數學通報，2008（9）.

2.曹軍.高中函數教學中避免不了的五個問題［J］.中學數學雜志，2013（7）.

3.羅先禮.數學教學的實踐與思考［J］.中小學數學（高中版），2008（12）.F