空間向量在立體幾何存在性問題中的應用探究

☉江蘇省海門中學 徐巧石

向量是近代數學中基本和重要的數學概念之一，它溝通了代數、幾何和三角，是一種工具性的知識，有著極為豐富的實際背景.空間向量為處理立體幾何問題提供了新的視角.空間向量的引入，為解決三維空間中的圖形位置關系與度量問題提供了一個十分有效的工具.

對于空間向量的考查，通常是以立體幾何為載體，“落腳點”在于應用.應用分兩個方面：一是空間圖形位置關系的判定，二是角度的度量.本文主要探討空間向量在立體幾何存在性問題中的應用.此類問題通常也稱為探索性問題，具有一定的難度，需要學生熟練掌握空間圖形的位置關系，通過反復嘗試尋找到問題的答案.

一、回歸課本，尋根探源

存在性問題在課本中共有五道習題涉及，這為此類問題回歸課本找到了依據.

1.（蘇教版選修2-1，第119頁，13）如圖1，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AF=1，M是線段EF的中點.

（1）略；

（2）略；

（3）試在線段AC上確定一點P，使PF與BC所成的角是60°.

評注：（3）考查的是兩直線夾角的計算，與直接求夾角不同，它是從相反的方向出發，已知兩直線的夾角，求滿足條件的動點.解這個問題有兩個注意點：①設點P的坐標時需要注意動點P在線段AC上，其橫、縱坐標相等并且滿足0≤x=y≤；②兩直線的夾角θ與兩直線的方向向量的夾角α之間滿足|cosα|=cosθ.

2.（蘇教版選修2-1，第115頁，15）在如圖2所示的坐標系中，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，P、Q分別是BC、CD上的動點，且PQ=

（1）確定點P、Q的位置，使得B1Q⊥D1P；

（2）略.

評注：（1）同樣考查的是兩直線夾角的計算，與1（3）的區別是：①兩直線的夾角是特殊值直角；②動點增加為兩個.兩個注意點：①P、Q兩點的坐標滿足點P在線段BC上，點Q在線段CD上，并且PQ=；②對于兩直線的夾角為直角，可直接利用=0找到等量關系.

3.（蘇教版選修2-1，第119頁，9）如圖3，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，MN是異面直線AC與C1D的公垂線段，試確定點M在AC上及點N在C1D上的位置.

評注：本題仍是對兩直線夾角的計算的考查，與1、2兩題不同之處在于它有兩組直線MN和AC、MN和C1D分別垂直且含有兩個動點M、N，從動點個數和直線夾角數兩方面進行了延伸，解答時仍需要注意兩動點M、N的坐標所滿足的條件.

（1）略.

（2）在棱PD上是否存在一點E，使CE//平面PAB？若存在，請確定點E的位置；若不存在，試說明理由.

評注：（2）考查的是直線與平面的位置關系，已知直線與平面平行求相應點的坐標.若直線CE與平面PAB平行，只需滿足CE的方向向量與平面PAB的法向量垂直，且直線CE不在平面PAB上即可.

5.（蘇教版選修2-1，第118頁，8）如圖5，平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ.

（1）略；

二、轉換角度，識其本質

上述5題都是存在性問題，對于它們的求解，只需將題中所給的結論當做已知條件進行反推找到相應的等價條件即可，這也體現了數學思想中等價轉化思想和解題時的逆向思維.

對于這5道題的考查載體，我們可以進一步進行劃分.1、2、3題考查的是直線與直線的夾角.如果兩直線的夾角是直角，則只需利用兩直線的方向向量的數量積為0即可，如果不是直角，則要利用兩直線的方向向量的夾角α與兩直線的夾角θ之間滿足的等式|cosα|=cosθ.4、5兩題考查的是直線與平面的夾角中的兩類特殊情況平行和垂直.如果平行，則利用直線的方向向量與平面的法向量垂直，如果垂直，則利用直線的方向向量與平面的法向量平行即可.

從角的角度來講，線線角、線面角的存在性問題書中習題都已經有所涉及，面面角的存在性問題沒涉及，因此很有可能以考查面面角為載體，出存在性的問題.

若平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，試確定點P的位置.

評注：解題的關鍵是利用二面角θ與兩平面的法向量的夾角α之間滿足|cosθ|=|cosα|，sinθ=sinα.

三、鏈接高考，推測可能

8.（2011年高考江蘇附加題，22）如圖8，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，點N是BC的中點，點M在CC1上.設二面角A1-DN-M的大小為θ.

（1）當θ=90°時，求AM的長；

縱觀這兩題，共同點是都存在一個動點，所求問題都和這個動點有關.7中通過兩直線的夾角把動點聯系起來，8中通過二面角將動點聯系起來.由已知條件先確定動點位置，再求解其他結果.以角為著眼點，動點還有可能通過線面角聯系起來.

對于空間向量在立體幾何存在性問題中的應用問題，只要緊緊抓住兩角之間滿足的關系這一主線，同時注意動點的坐標所滿足的條件，建立等式，萬變不離其宗，問題可迎刃而解.