一類絕對值函數的性質及應用

☉山東省臨清市實驗高中 姚繼新

一類絕對值函數的性質及應用

☉山東省臨清市實驗高中 姚繼新

近幾年，考查絕對值函數f（x）=|mx-a|±|nx-b|（m＞0，n＞0，a≠b）的圖像與性質的試題越來越多，而該類函數又恰恰是學生感覺非常疑惑的地方，因此，筆者做一整理，以饗讀者.

為方便起見，我們約定：

（1）f（x）=|x-a|+|x-b|為f（x）=|mx-a|+|nx-b|（m＞0，n＞0，a≠b）的標準型，f（x）=|x-a|-|x-b|為f（x）=|mx-a|-|nx-b|（m＞0，n＞0，a≠b）的標準型；

（2）使|x-a|=0的x的值為|x-a|的零點；

（3）以下均有m＞0，n＞0，a≠b.

一、對函數f（x）=|mx-a|+|nx-b|（a≠b）的研究

1.若m=n=1，則f（x）=|x-a|+|x-b|，為f（x）=|mx-a|+|nxb|的標準型.

①由絕對值的幾何意義知：標準型函數f（x）的幾何意義為數軸上的點x到a、b的距離之和；

②當a≤x≤b（不妨設a＜b）時，f（x）取到最小值|b-a|；

③其圖像為U形折線，如圖1.

（2）若m=n≠1，則f（x）=|mx-a|+|nx-b|=進而轉化為標準型.

（3）若m≠n.

圖1

圖2

圖3

圖4

二、對函數f（x）=|mx-a|-|nx-b|（a≠b）的研究

類比對函數f（x）=|mx-a|+|nx-b|（a≠b）的研究，可得以下結論：

（1）若m=n=1，則f（x）=|x-a|-|x-b|，為f（x）=|mx-a|-|nx-b|的標準型.

①由絕對值的幾何意義知：標準型函數f（x）的幾何意義為數軸上的點x到點a的距離減去點x到點b的距離；

②當a≤x≤b（不妨設a＜b）時，f（x）取到最大值|b-a|；③其圖像為Z形折線，如圖5，）為其對稱中心.

圖5

（2）若m=n≠1，則f（x）=|mx-a|-|nx-b|=|m|·），進而轉化為標準型.

（3）若m≠n.

圖6

圖7

圖8

（i）若m＞n，則其圖像如圖7所示；

（ii）若m＜n，則其圖像如圖8所示.

事實上，當m、n不滿足m＞0、n＞0的條件時，也可先轉化為m＞0、n＞0的形式，進而求解.

例1 （2013年高考山東理14）在區間［-3，3］上隨機取一個數x， 使得|x+1|-|x-2|≥1成立的概率是__________.

分析：利用f（x）=|x+1|-|x-2|的幾何意義，知當1≤x≤ 3時滿足不等式，故由幾何概型知答案為

例2 設函數f（x）=|x+3|-|x-a|（a≠-3）的圖像關于點（1，0）中心對稱，則a的值是_________.

分析：f（x）=|x-a|-|x-b（|a≠b）的圖像關于點）中心對稱，故即a=5.

例3 設函數f（x）=|2x+1|+|ax|，若存在三個互不相等的實數x1、x2、x3，使得f（x1）=f（x2）=f（x3），則實數a=______.

分析：由題意知f（x）的圖像必是U形圖像，故|a|=2，即a=±2.

例4 已知函數f（x）=|x-1|+|x-2|.

（1）畫出函數f（x）的圖像；

（2）若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|·f（x）（a≠0，a、b∈R）恒成立，求實數x的取值范圍.

分析：（1）略.

（2）由|a+b|+|a-b|≥|a|·f（x），知f（x）恒成立.