一類帶有組合數的數列的求和
——兼談等差數列的幾個性質

☉陜西省武功縣教育局教研室 李 歆

一類帶有組合數的數列的求和
——兼談等差數列的幾個性質

☉陜西省武功縣教育局教研室 李 歆

2007年高考數學陜西卷理科第22題，是一道數列與組合計數相結合的壓軸題，原題如下：

已知各項全不為零的數列｛ak｝的前k項和為Sk，且Sk=

（Ⅰ）求數列｛ak｝的通項公式；

（Ⅱ）對任意給定的正整數n（n≥2），數列｛bn｝滿足求b+b+…+b.12n

該題的答案顯示：（Ⅰ）中ak=k，說明數列｛ak｝是等差數列；（Ⅱ）中，說明數列｛bn｝是帶有組合數的數列，因此求b1+b2+…+bn則告訴我們，這是一種帶有組合數的數列的求和問題.這個隱含信息為我們進一步深層次地研究此類問題搭建了平臺.比如，將（Ⅱ）中的“數列｛b｝滿足

n（k=1、2、…、n-1），b1=1”改為“數列｛bn｝滿足”或“數列｛bn｝滿足”等，這樣一變，怎樣求解b1+b2+…+bn呢？本文對此作以探究，并從中揭示出等差數列的幾個有趣性質.

問題1：設數列｛an｝是首項為a1、公差為d的等差數列，若對任意給定的正整數n，數列｛bn｝滿足…、n+1），求b1+b2+…+bn+1.

分析：根據等差數列的通項公式，易得以下幾個恒等式：

下面用數學歸納法證明.

（1）當n=1時，①式顯然成立.

（2）假設當n=k時①式成立，則由a1，a2，…，ak+1與a2，a3，…，ak+2均為以d為公差的等差數列，得到：

根據組合數公式，上式可整理為：

根據（1）、（2）知：對任意給定的正整數n，①式都成立.

由此得到定理1.

定理1：設數列｛an｝是首項為a1、公差為d的等差數列，則

如果把問題1中的數列｛bn｝滿足“”分別換為“”或“”，那么用完全類似的方法，可以得到定理2和定理3.

定理2：設數列｛an｝是首項為a1、公差為d的等差數列，則

定理3：設數列｛an｝是首項為a1、公差為d的等差數列，則

問題2：設數列｛an｝是首項為a1、公差為d的等差數列，Sn為其前n項和，若對任意給定的正整數n，數列｛bn｝滿足，求b1+b2+…+bn+1.

分析：根據等差數列的前n項和公式，易得以下幾個恒等式：

根據以上三式的結構，猜想：對任意給定的正整數n，總存在兩個函數f（n）和g（n）（n∈N*），使得下列恒等式成立：

證明：（1）當n=1時，令f（1）=3，g（1）=1，則知②式成立.

（2）假設當n=k時②式成立，則由a1，a2，…，ak+1與a2，a3，…，ak+2均為以d為公差的等差數列，知：

以上兩式相加，并整理得：

根據組合數公式，上式可整理為：

令f（n+1）=2n+2f（n）③，g（n+1）=f（n）+2g（n） ④，則知當n=k+1時，②式也成立.

根據（1）、（2）知：對任意給定的正整數n，②式都成立.

下面，我們根據③式和④式進一步探究f（n）與g（n）的解析式.

③式兩邊同除以2n，得所以是首項為3、公差為1的等差數列，有1=n+2，即得f（n）=2n-1·（n+2） ⑤.

由④、⑤，容易發現下列結果：

g（2）=f（1）+2g（1）=20·（1+2）+2·1=20·1+21·2，

g（3）=f（2）+2g（2）=21·（2+2）+21·1+22·2=21·（2+1）+ 22·3，

g（4）=f（3）+2g（3）=22·（3+2）+22·（2+1）+23·3=22·（3+ 2+1）+23·4.

猜想：g（n）=2n-2·［（n-1）+（n-2）+…+3+2+1］+2n-1·n= 2n-3·（n+3）n ⑥.

證明：（1）當n=1時，⑥式成立.

（2）假設當n=k時，⑥式成立，即有g（k）=2k-3（k+3）k，那么，當n=k+1時，由④、⑤得：

g（k+1）=f（k）+2g（k）=2k-1（k+2）+2k-2（k+3）k

=2k-2［2（k+2）+（k+3）k］

=2k-2（k+4）（k+1）.

即⑥式也成立.

根據（1）、（2）知：對任意給定的正整數n，⑥式都成立.

綜上得到定理4.

定理4：設數列｛an｝是首項為a1、公差為d的等差數列，Sn為其前n項和，則有：

如果把問題2中的數列｛bn｝滿足“”分別換為“”或“”，那么用完全類似的方法，可以得到定理5和定理6.

定理5：設數列｛an｝是首項為a1、公差為d的等差數列，Sn為其前n項和，則有：

定理6：設數列｛an｝是首項為a1、公差為d的等差數列，Sn為其前n項和，則有：

最后，給出幾個特例，以作為上述性質的應用.

1.取a1=1，d=0，這時an=1，Sn=n，則有：

2.取a=1，d=1，這時

1則有：

1.王帥.以一道高考數列問題為例談解題思路的尋找［J］.中學數學（上），2014（9）.

2.王曉紅.從一道高考推理題探究高中數學中的類比與猜想［J］.中學數學（上），2014（4）.A