引導學生探究 優(yōu)化思維品質
——從一道課本習題談起

☉湖北省武漢市第一中學 汪 雯

引導學生探究 優(yōu)化思維品質
——從一道課本習題談起

☉湖北省武漢市第一中學 汪 雯

《普通高中數(shù)學課程標準》倡導“積極主動、勇于探索的學習方式”，于是是否進行探究成為衡量教學是否落實新課標理念的重要標志.讓探究進入數(shù)學課堂已成為一種趨勢，有越來越多的教師在數(shù)學探究教學的設計和實施中表現(xiàn)了許多的熱情和創(chuàng)意，但如何讓探究來得自然些呢？筆者認為，應適當根據(jù)數(shù)學教材的特點，選取合適的材料，結合所教學生的實際，進行一題多思，一題多變，引導學生從不同角度去觀察問題、思考問題，從而有利于拓展學生的思維，使學生的思維從單一走向多維，優(yōu)化他們的思維品質，提升解題效能.下面結合一次教學實踐談談自己的看法.

一、情景再現(xiàn)

題目 （人教版數(shù)學選修2-1第73頁習題）如圖1，直線l：y=x-2與拋物線y2=2x相交于A、B兩點，求證：OA⊥OB.

師：這是一道證明兩直線垂直的問題，應該怎么轉化呢？

生1：只需聯(lián)立拋物線與直線的方程，求出A、B兩點的坐標，證明直線OA與直線OB的斜率之積為-1即可.師：非常好，思路簡潔、清晰，大家贊同他的想法嗎？眾生：贊同.

師：好的，這只是一個解題計劃，下面我們一起試著來落實.聯(lián)立后得到方程y2-2y-4=0，這個方程的根好求嗎？

生2：這個方程的根是無理根，后續(xù)計算量較大，我們可以“設而不求”，設則從而OA⊥OB.

師：很好.直線OA與直線OB的斜率一定存在嗎？證明垂直問題還可以怎么轉化？

師：我們還需要注意，在將直線與拋物線的方程聯(lián)立后，消元時消去變量x計算量較小；并且因為拋物線方程簡潔、對稱，利用拋物線方程代換橫、縱坐標的關系時，往往也能簡化計算.還有沒有其他直線使得OA⊥OB呢？

生4：根據(jù)拋物線的對稱性，直線l1：y=-x+2也能滿足OA⊥OB.

生5：若直線與x軸垂直，易計算出l2：x=2也能滿足OA⊥OB.

師：非常好！三條直線l、l1、l2有什么共同特點呢？能否得到更一般的猜想？

生6：三條直線都過定點（2，0），所以我猜想過定點（2，0）的直線可以使得OA⊥OB.

師：這是個大膽的猜想，如何證明呢？

生7：過點（2，0）的直線可以設為x=my+2，代入y2= 2x，得y2-2my-4=0，則y1y2=-4，所以

師：Verygood！若將拋物線一般化為y2=2px（p＞0），我們又可以得到什么樣的猜想呢？

生8：過定點（2p，0）的直線可以使得OA⊥OB.

師：你能證明你的猜想嗎？

生8：設A（x1，y1），B（x2，y2），易知直線AB的斜率不為0但可以不存在，所以可設直線AB：x=my+2p，代入拋物線方程y2=2px，得y2-2mpy-4p2=0，則即OA⊥OB.

師：了不起！我們發(fā)現(xiàn)并證明了拋物線一條重要的性質“若拋物線y2=2px（p＞0）與過定點（2p，0）的直線相交于A、B兩點，則OA⊥OB.”接下來，大家想一想上述命題的逆命題成立嗎？

生9：逆命題成立，證明如下.設直線l的方程為x= my+n，代入拋物線方程y2=2px，得y2-2mpy-2pn=0，則2pn=0，故n=2p或n=0（舍），即直線l：x=my+2p，顯然直線l過定點（2p，0）.

圖1

師：根據(jù)課本習題，我們得到了拋物線又一條重要的性質“直線l與拋物線y2=2px（p＞0）相交于A、B兩點（非原點），且OA⊥OB，則直線l過定點（2p，0）.”若將這個結論中的O點一般化為拋物線上的任意一點P（x0，y0），當PA⊥PB時，直線l是否還過某一定點呢？

（眾生的興趣馬上又提了起來，展開了激烈的討論，學生思考之后，還是有點兒茫然）

因為A、B兩點不與P重合，所以（y1-y0）（y2-y0）≠0，故即將①式代入得：從而所以直線所以直線l過定點（x0+2p，-y0）.

（眾生恍然大悟，因為發(fā)現(xiàn)了這樣的規(guī)律而興奮不已）

師：經(jīng)過探索我們又得到了更一般的結論“設P（x0，y0）是拋物線y2=2px（p＞0）上的任意一點，直線l與拋物線相交于A、B兩點（不與P重合），且PA⊥PB，則直線l過定點（x0+2p，-y0）.”課后請同學們探究一下這個結論的逆命題是否成立.（此時下課鈴聲已響）

二、習題再變式

在課堂教學有限的時間里，師生共同探討得出了四個變式問題，它們都是根據(jù)課本習題改變條件或結論而來，都是直觀的、自然的.順勢而上，將探究再深入一步，將垂直條件一般化，筆者還發(fā)現(xiàn)了更一般的結論.

命題：如圖2，P（x0，y0）是拋物線y2=2px（p＞0）上的任意一點，直線l與拋物線相交于A、B兩點（不與P重合），則kPA·kPB= a（a≠0）的充要條件是直線l過定點

圖2

證明：（必要性）設A（x1，y1），B（x2，y2），易知直線AB的斜率不為0但可以不存在，所以可設直線AB：x=my+n，代入拋物線方程y2=2px，得y2-2mpy-2pn=0，則y1+y2= 2mp，y1y2=-2pn①..同理

由kPA·kPB=a，得ay1y2+ay（0y1+y2）+ay20-4p2=0.將①式代入，得從而所以直線易知直線l過定點

三、教學反思

1.夯實基礎，注重課本知識的拓展

教師要認真鉆研教材，發(fā)揮課本中例、習題的示范性、典型性及探究性的功能，盡量從多方面、多角度進行思考和探索，做到一題多解、一題多變、多題一法，不斷積累總結源于教材的解題經(jīng)驗和方法，引導學生重視課本中的題目.本文中的四個變式及更一般的命題都源于課本，又高于課本.在平時的教學、學習中，不能僅僅滿足于完成習題，得到結果，更要對條件和結論多反思，看是否有通性、共性的知識隱藏其中，經(jīng)常這樣做，不僅可以提高學生的數(shù)學能力，也可以提高教師的教學水平.

2.到學生中尋找探究性學習活動的素材

《普通高中數(shù)學課程標準》指出：“教師應努力成為數(shù)學課題的創(chuàng)造者，有比較開闊的數(shù)學視野，了解與中學數(shù)學知識有關的擴展知識和內(nèi)在的數(shù)學思想，認真思考其中的一些問題，加深對數(shù)學的理解，提高數(shù)學能力，為指導學生進行數(shù)學探究做好充分的準備，并積累指導學生進行數(shù)學探究的資源.教師要成為學生進行數(shù)學探究的組織者、指導者、合作者，教師應該為學生提供較為豐富的數(shù)學探究課題的案例和背景題材......”.

筆者所開展的這節(jié)探究性學習課題，實際上是從一道課本習題出發(fā)，通過改變已知條件和結論，進行自主探究，及時提問學生，做到一題多用，充分發(fā)揮題目的“遷移”作用，收到“解一題，會一片”的效果，使學生系統(tǒng)地掌握了直線過定點問題.通過變式探究，將知識穿成一線，學生大腦始終處于極度興奮的狀態(tài)，思維得到升華，解題能力得到進一步提高.

3.適時變式鞏固探究的成果

一種技能的形成必須經(jīng)過一定量的訓練方能達成，這是一個不爭的事實，而通過對習題的變式探究，能激發(fā)學生的學習興趣，進而提高解題教學的效益.在進行完該題的探究后，如果課后能再進行一些變式訓練，相信對鞏固課堂教學的效果會有很大的作用.

練習1：設A、B是拋物線y2=2px（p＞0） 上兩點，如果原點O在直線AB上的射影為點C（2，1），那么p等于（ ）.

練習2：已知點P（2，2）及拋物線y2=2x，過定點（0，-2）作直線AB交拋物線于A、B兩點（均不與P重合），求證：kPA·kPB=1.

四、結束語

課本習題是高考數(shù)學試卷命題最重要的源泉，教師要精心設計和挖掘課本習題的教學功能，選擇典型習題，培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性、靈活性、敏捷性；善于用聯(lián)系的觀點研究教材中的變式，通過改變已知條件或結論進行多方位、多角度的演變、拓展、延伸，讓學生在拓展中提升能力，不斷優(yōu)化思維品質，要幫助學生跳出題海，從而真正提高學生的解題能力和創(chuàng)造性思維.

1.中華人民共和國教育部.普通高中課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.林敏.數(shù)學課堂教學中有效提問的策略［J］.中學數(shù)學（上），2013（1）.

3.尹偉云.圓錐曲線中一類直線過定點問題的探究［J］.中學數(shù)學（上），2014（1）.A