創新之路在腳下 無限風景在眼前
——2015年福州市高三畢業班質量檢測壓軸題的詳解與反思

☉福建省福州華僑中學 李文明

創新之路在腳下 無限風景在眼前
——2015年福州市高三畢業班質量檢測壓軸題的詳解與反思

☉福建省福州華僑中學 李文明

每年高考前夕，全國各地都要有針對性進行質量檢測，其重要性不言而喻，如何根據學生的實際情況和檢測試題的導向功能，不失時機地對學生進行有效的數學思想的滲透和數學思維能力的提升，關鍵是要發揮教師的引領作用，在講評上練好內功，讓我們的講評有效激活學生的思維，展現數學的魅力，凸顯數學的本質，彰顯數學的內在美，鼓舞學生探索的勇氣，知難而進，要讓我們的學生懂得創新之路在腳下，無限風景在眼前.

一、問題提出

圖1

2015年福州市高三畢業班質量檢測文科第22題（理科第19題）：如圖1，已知橢圓Γ：1（a＞b＞0）的離心率點F、A分別為橢圓Γ的左焦點和右頂點，且|AF|=3.

（Ⅰ）求橢圓Γ的標準方程.

（Ⅱ）過點F作一條直線l交橢圓Γ于P、Q兩點，點Q關于x軸的對稱點為Q′.若PF∥AQ′，求證

二、問題探究

證法1：清水出芙蓉，天然去雕飾.

根據題意，直線PQ與x軸不垂直，設P（x1，y1）、Q（x2，y2）.

因為點Q與Q′關于x軸對稱，所以Q′（x2，-y2）.

由（Ⅰ）可知A（2，0）、F（-1，0）（因篇幅所限，以下證法中不再贅述）.又PF∥AQ′，因此

證法2：缺少分析學套路，兜圈繞彎討辛苦.

設直線PQ的方程為y=k（x+1）（k≠0）.因為點Q在橢圓Γ上，所以點Q′也在橢圓Γ上.

證法3：套路面前有創意，提升能力才給力.

設直線PQ的方程為y=k（x+1）（k≠0）.因為點Q在橢圓Γ上，所以點Q′也在橢圓Γ上.

證法4：踏破鐵鞋無覓處，得來全不費工夫.

證法5：變換視角看風云，美景盡在思索中.

由于PF∥AQ′，所以直線AQ′的方程為y=k（x-2）.

設—

證法7：路在腳下需創新，景在眼前會發現.

證法8：創新無止境，求索路漫漫.

連接AQ，因為點Q與點Q′關于x軸對稱，AF⊥QQ′，又PF∥AQ′，所以∠Q′AF=∠QFA=∠Q′AF圯|QF|=|FQ′|= |AQ′|.

設|FQ|=m，|PF|=n.

設右焦點為F1，連接PF1、QF1，分別在△QFF1、△PFF1中運用余弦定理，得：

證法9：山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村.

連接AQ，因為點Q與點Q′關于x軸對稱，AF⊥QQ′，又PF∥AQ′，所以∠Q′FA=∠QFA=∠Q′AF圯|QF|=|FQ′|= |AQ′|.

以F為極點，以Fx為極軸建立極坐標系，則橢圓Γ的極坐標方程為設Q（ρ，θ），Q′（ρ，2π-θ），P（ρ，112π+θ）.由（Ⅰ）得A（3，0），線段AF的中點

點評：文科學生可能沒有學習極坐標，由于圓錐曲線極坐標方程的建立是依據圓錐曲線的第二定義，因此回歸定義才是根本之道.

證法10：九九歸一是大法，大道至簡是天道.

連接AQ，QQ′交x軸于點M，因為點Q與點Q′關于x軸對稱，AF⊥QQ′，又PF∥AQ′，所以∠Q′FA=∠QFA=∠Q′AF圯|QF|=|FQ′|=|AQ′|，|FM|=|MA|，點M、Q的橫坐標都為，橢圓的準線為直線x=-4.由圓錐曲線的第二定義，可得：

點Q到焦點F的距離與它到準線x=-4的距離d1的比等于橢圓的離心率，得

三、問題拓展

圖2

圖3

四，問題啟示

數學解題教學沒有最好，只有更好，什么是通法，什么是技巧，什么是簡單，什么是復雜，不要強行灌輸給學生，只有通過比較，通過創新，才能凸顯數學的本質特征，彰顯數學的魅力，激發學生的探索熱情，盡最大可能讓我們的學生通過學習，體會數學的內在之美，享受數學思維的快樂.道法自然，解法通俗，應是解題教學的重要理念.

1.李文明.問非所答 答非所問［J］.數學通報，2011（2）.

2.李文明.技巧舞出的是玄妙 通俗演繹的是精彩——2014年高考福建卷數學壓軸題另解與思考［J］.中學數學（上），2015（2）.A