探究命題本質 賞析命題特色
——一道導數壓軸題評析

☉江蘇省白蒲高級中學 司建鋒

探究命題本質 賞析命題特色
——一道導數壓軸題評析

☉江蘇省白蒲高級中學 司建鋒

縱觀近年全國各省市高考導數試題的命制，大多以壓軸題或把關題的形式出現，對高考的選拔功能起到良好的輔助作用.北京高考命題自2010年實行新課標以來，導數的應用在2014年文科命題中首次以壓軸題的身份出現，由題目本身所在的位置決定了題目的難度，因此，此題的難度有所加強，本文以2015年北京一道模擬題為例，就其命題思想及相應的解題策略進行剖析.

題目 （2015年北京海淀一模文20）已知函數f（x）=

（1）求函數f（x）的單調區間；

（2）若存在兩條直線y=ax+b1，y=ax+b2（b1≠b2）都是曲線y=f（x）的切線，求實數a的取值范圍；

（3）若｛x|f（x）≤0｝?（0，1），求實數a的取值范圍.

導數問題在高考中的考查主要是利用導數研究函數單調區間、極值、最值、零點及不等式證明等，核心是函數最值問題的求解，其中所涉及的不等式的證明及不等式恒成立問題，均可轉化為函數最值問題的求解.本題以導數的幾何意義及函數零點問題為背景，將問題進行創新考查，其命題特點主要體現在如下幾個方面.

一、基礎與能力并重

第（1）問求函數的單調區間，屬于基礎題，體現了高考命題即注重基礎又注重能力的考查要求.

當a＜0時，f′（x）＜0，則函數f（x）的單調遞減區間是（0，+∞）.當a＞0時，令f（′x）=0，得

當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x 0，1 a（ ） 1a 1 a，+∞（）f′（x） - 0 + f（x） ↘ 極小值 ↗

評析：對基礎問題的解答，要注意解題的規范，勿忘函數的定義域.對參數的討論要不重不漏，當函數含有多個單調區間時，不能寫成并集，要用“，”分隔寫出.注意f′（x）=0是函數f（x）取得極值的必要不充分條件.在某區間內f′（x）＞0，是f（x）在該區間內單調遞增的充分不必要條件等.

二、注重解題過程的前后關聯

第（2）問以導數的幾何意義為載體，題干敘述簡潔，設問方式精巧，對考生提出了更高的能力要求，且第（2）問的解答需要充分利用題目條件，能有效考查考生對相關知識的掌握及靈活應用的程度.

（2）因為存在兩條直線y=ax+b1，y=ax+b2（b1≠b2）都是曲線y=f（x）的切線，所以f′（x）=a至少有兩個不相等的正實根.

2解得a＞4.

當a＞4時，曲線y=f（x）在點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））處的切線分別為y=ax+f（x1）-ax1，y=ax+f（x2）-ax2.

令F（x）=f（x）-ax（x＞0）.

由F′（x）=f′（x）-a=0，得x=x1，x=x2（不妨設x1＜x2），且當x1＜x＜x2時，F′（x）＞0，即F（x）在［x1，x2］上是單調函數，所以F（x1）≠F（x2）.

所以y=ax+f（x1）-ax1，y=ax+f（x2）-ax2是曲線y=f（x）的兩條不同的切線.

所以實數a的取值范圍為（4，+∞）.

評析：本問在求解中部分同學忽視了對兩直線平行充要條件的檢驗，即兩直線平行斜率相等，但截距不等.在證明截距不等過程中采用構造新函數法，進而將問題轉化為求函數的單調區間和最值問題，化生為熟解題.本題的求解中要注意問題的轉化與解題過程的前后關聯，如：將判斷截距不等問題，通過構造函數后，將其轉化為判斷函數單調性問題；另外在判斷兩直線截距不相等的過程中：“存在兩條直線y=ax+b1，y=ax+b2（b1≠b2）都是曲線y=f（x）的切線，所以f′（x）=a至少有兩個不相等的正實根”，令F（x）=f（x）-ax（x＞0），其導函數F′（x）=f′（x）-a=0的零點問題與上述“f′（x）=a至少有兩個不相等的正實根”相互關聯，因此F′（x）=0必有兩個零點x1，x2，且x1≠x2，從而得F（x）為單調函數，問題得解.

三、注重解題思維的拓展

考試題目千變萬化，常考常新，解題中只要把握問題的本質，善于挖掘問題的關聯，全面審視問題的條件，弄清條件與結論之間的關聯，合理地將問題進行等價轉化，化生為熟，方可以不變應萬變.

（3）當a＜0時，函數f（x）是（0，+∞）內的減函數.

綜上所述，實數a的取值范圍為｛a|a＞0｝.

評析：充分挖掘問題的本質，不難發現，本題屬于開區間內函數的零點問題.通常情況下，若函數f（x）在其定義域內單調，則至多有一個零點；若f（x）在其定義域上不單調：

①當方程f′（x）=0有且僅有一個實數根，即函數f（x）有極大值f極大值（x）或極小值f極小值（x）：若f極大值（x）＜0或f極小值（x）＞0，則沒有零點.若f極大值（x）=0或f極小值（x）=0，則有且僅有一個零點；若f極大值（x）＞0或f極小值（x）＜0，則有且僅有兩個零點.

②當方程f′（x）=0有且僅有兩個實數根，且函數f（x）有極大值：若f極大值（x）·f極小值（x）＞0，則有且僅有一個零點；若f極大值（x）=0或f極小值（x）=0，則有且僅有兩個零點；若則有三個零點.

若所給的是閉區間，零點既可以在區間內取得，也可以在區間的端點處取得，解題中可結合零點的存在定理：如果函數y=f（x）在區間［a，b］上的圖像是連續不斷的一條曲線，且有f（a）·f（b）＜0，那么，函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點，即存在x0∈（a，b），使得f（x0）=0，x=x0即為方程f（x）=0的根.

若所給的區間為開區間，零點的存在不僅依賴極值的正負，還應考慮函數在區間端點值的正負，若區間端點不在函數的定義域范圍內，可考慮選取特殊值法判斷.本題在判斷左端點值正負時，可深挖隱含條件：因為函數的定義域為（0，+∞），故無論較小零點是否在定義域范圍內，均有f（x）＜0，故使問題的求解過程得以簡化.另外本問求解中考生易出現對而不全的地方有兩點：當a＜0時，函數f（x）在定義域范圍內單調遞減，｛x|f（x）≤0｝?（0，1）是否成立，則可選擇（0，1）以外的特殊點進行驗證；忽視對空集的討論，即空集是任何集合的子集.

總之，對高考導數問題的解答，尤其是導數壓軸題要堅持：基礎與能力兩手準備，注重與傳統考試熱點的有機整合，并適時引入新概念、創設新情境、滲透新創意，基礎為本、能力立意的基調鮮明，逐步形成含參性、逆向性、構造性、探究性、發展性等五大命題規律與創新特色.F