一類最值問題的探究與思考

☉浙江省鄞州區正始中學張朱艷

一類最值問題的探究與思考

☉浙江省鄞州區正始中學張朱艷

最值問題是高考數學的常見題型和重要考點·用導數來解決最值問題，是我們熟悉而又常用的方法·但從2015年起，導數退出浙江高考數學的舞臺，只在自選模塊中考查，這嚴重阻礙了高考中最值問題的求解·因此，一類不用導數解決的最值問題，應該引起我們的足夠重視·

初次見到本題時，學生普遍感覺難度大，無從下手·

其實，在2011年，我們已經接觸過非常類似的題目：（2011年高考浙江理科）設x、y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是_________·

可為什么學生又不會呢？

對于此類最值問題，我們又如何做到舉一反三、觸類旁通呢？

下面以2011年高考浙江理科的這道題為例，談談如何解決這類最值問題·

一、鼓勵多解

學生解題時常會按習慣了的單一思路去思考數學問題，高三復習中要鼓勵、引導學生從多側面、多角度思考問題，挖掘問題的實質·

解法2：利用函數思想·

（2x+y）2=4x2+y2+4xy=1+3xy，所以要求2x+y的取值范圍，只需求出xy的取值范圍·

二、引導多悟

做完試題要及時進行總結反思，因為解題的價值不是答案本身，而在于弄清“問題的本質是什么？”“是怎樣想到這個解法的？”“是什么促使你這樣想、這樣做的？”，這就是說，解題過程還是一個思維過程，是一個把知識與問題聯系起來思考、分析、探索的過程·

顯然由本題的條件4x2+y2+xy=1，知4x2+xy+y2-1=0.

Δ=12-4×4×1=-15＜0·

所以方程4x2+y2+xy=1所表示的曲線為橢圓，本題的本質為橢圓4x2+y2+xy=1與動直線t=2x+y有公共點，求t的最大值·顯然當直線與橢圓相切時，t取得最大值

一道數學試題能否解得順利，富有創意，甚至正確與否，常常取決于能否發現和利用好題目中的潛在信息·那么潛在信息潛在哪里？又該如何挖掘與利用呢？一般地，（1）信息潛在題設的條件中；（2）信息潛在題設的結構中；（3）信息潛在問題的背景中；（4）信息潛在所求的結論中·

解法1因為發現這是兩個變量的和與積關系的最值問題，所以想到了利用重要不等式；解法2因為發現條件和結論中有平方關系，所以想到了利用函數思想；解法3因為發現兩個變量問題求最值關鍵是減少變量，所以想到了利用參數方程；解法4因為發現只是研究與“二次”有關的不等問題，所以想到了“Δ”·

于是，我們不難得出引題的解法·（略）

一題多解的目的是通過思想方法的逐一呈現，從學生最易上手的方式、方法入手，逐步逐級給予引導和批判，不畏艱難，不斷優化解題思維品質，從而最終達到提升自身解題的能力·

三、學會多變

在保持問題的本質不變的條件下，適當地改變試題的條件和結論進行變式，利于學生由淺入深地研究問題，利于學生感悟試題考查的知識點，體驗數學的本質，徹底地從題海中走出來，從而減輕學生負擔，提高學習效率·

基于2011年這道高考題的本質是：圓錐曲線與直線有公共點，求動直線在y軸上的截距，有以下變式·

變式1：設x、y為實數，若4x2+y2+xy≤1，則2x+y的取值范是圍是_________·

本題的本質是動直線與橢圓所包含的區域有公共點，求參數t的取值范圍·

變式2：設x、y為實數，若x2+4xy+y2=1，則2x+y的取值范圍是_________·

本題的本質是動直線與雙曲線有公共點，求參數t的取值范圍·

變式3：設x、y為實數，若x2-4xy+4y2+x+y=1，則2x+y的取值范圍是_________·

本題的本質是動直線與拋物線有公共點，求參數t的取值范圍·

參考答案：［1，+∞）·

變式5：設m、x、y為實數，滿足mx+y=5，且4x2+y2+ mxy=1，則m的取值范圍是_________·

本題的本質是二次曲線與動直線有公共點，求直線方程與二次曲線方程所對應的參數的取值范圍·

基于2011年這道高考題的實施方法是：運用重要不等式，有以下變式·

變式6：設x、y為正實數，若2x+y+6=xy，則xy的最小值是_________·

參考答案：18·

變式7：設x、y為正實數，若x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是_________·

參考答案：4·

變式8：設x、y為正實數，若x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是_________·

參考答案：5·

對于這一類最值問題的解決，一般有以上幾種解法與變式·

同時，我們看到：解題教學的目的是為了培養學生從多角度分析問題，用多途徑解決問題的能力；解題教學不能“太匆匆”，對于某些數學問題，教師要通過簡明審題來把問題尋解的過程暴露給學生，使學生既“知其然”又“知其所以然”，使學生在遇到相關問題時，能迅速找到解題的突破口·

1·黃加衛·構造性解題方法的幾點注記［J］·數學教學研究，2005（11）·

2·劉丹·波利亞數學教育思想對我國數學教育改革的啟示［J］·理工高教研究，2003（6）·

3·康武·波利亞與數學教育［J］·中學數學教學參考，1998（5）·A