例談研究高考試題的若干切入點

☉武漢市黃陂區第一中學盤龍校區李紅春

例談研究高考試題的若干切入點

☉武漢市黃陂區第一中學盤龍校區李紅春

高考是我國現行的一種最為重要的選拔性考試，其重要性是不言而喻，高考試題設計新穎，構思巧妙，集中體現了命題專家的智慧，是我們學習的典范，研究高考試題，探求命題者的立意、試題的解法、試題的背景、結論的拓展、試題的導向、試題的評價等對提升高三復習備考的針對性有著重要的意義·本文通過對2014年高考廣東卷理科第20題的研究，談談研究高考試題的若干切入點·

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若動點P（x0、y0）為橢圓外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程·

一、研究試題的考查目標

研究試題的考查目的就是研究試題的立意，高考試題通常在知識的交匯處命題，以基礎知識、基本技能、和基本數學思想方法為載體，著力考查學生的能力·本題以橢圓為載體進行構思，將直線與橢圓的位置關系、直線與直線的位置關系等條件有機地呈現給學生，要求動點的軌跡問題，旨在考查學生對“數形結合、分類討論、轉化與化歸”等思想的運用，以及觀察、分析、類比、推理運算等能力·

二、研究試題解法的關鍵節點

掌握數學就意味著解題，一道試題難，并不是每一步都難，一種解法妙，往往有其意料之外的東西，一道難題總有些步驟是解題的關鍵節點，作為教師就要認真分析其中的奧秘，知其然還要知其所以然，教師只有深刻領悟課堂教學中才能提綱挈領，有的放矢·

（2）設兩切線為l1，l2·

①當l1⊥x軸或l1∥x軸時，對應l2∥x軸或軸l2⊥x軸，可知P（±3，±2）·x2+18（y0-kx0）kx+9（y0-kx0）2-36=0·

若直線與橢圓相切，則Δ=0，即9（y0-kx0）2k2-（9k2+4）·

②當直線l1與l2的斜率均存在且都不為零時，設過點

因直線l1，l2均與橢圓相切，故其斜率k1，k2恰是方程點P的軌跡方程為x2+y2=13（x≠±3），且P（±3，±2）滿足上式·

綜上知：點P的軌跡方程為x2+y2=13·

以上解答過程中，兩直線的斜率k1，k2我們稱之為等價元素，由于地位完全相同，它們所滿足的等量關系也是相同的，由兩個結構相同的等量關系抽象出一個方程，而k1、k2就是方程的解，體現了解析幾何中設而不求的思想·這種依據“等價元素與方程思想”的解題策略是以上解法的最大亮點和關鍵節點，在后繼的教學中教師就應該把這種解題思想滲透到日常的解題教學中·

三、研究試題的命制背景

作為數學的學習與研究，如果僅僅停留在把題目答案找出來，其實遠遠不夠，為解題而解題，學生的數學思維能力和認知很難得到有效提高，在數學解題過程中我們要學會透過現象，看清命題的本源·本題中點P的軌跡就是初等數學里著名的蒙日圓，在橢圓中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓中心，半徑等于長短軸平方和的算數平方根，這個圓叫蒙日圓·關于蒙日圓，有如下優美性質：

證明：設點P（x0，y0），過點P的直線方程為y-y0=k（xx0），代入橢圓方程得（a2k2+b2）x2+2ka（2y0-kx0）·x+a（2y0-kx0）2-a2b2=0·若直線與橢圓相切，則Δ=［2ka（2y0-kx0）］2-4（a2k2+b2）［a（2y0-kx0）2-a2b2］=0，即（a2-k2+2x0y0k+b2-= 0，若兩條直線m、n的斜率均存在且都不為零，不妨設它們分別為k1、k2，如圖1，因兩條直線均與橢圓相切，故其斜率k1、k2恰是軸，可知P（±a，±b）也滿足方程，故P點的軌跡為圓x2+y2= a2+b2·

從初等數學研究的成果中選取的素材，以此為基礎將其變抽象為具體，通過搭橋與構題，加工與調整形成的試題，這是常見的一種命題途徑·在教學過程中，通過挖掘試題命制過程中依據的性質背景，有助于透過現象看清本質，縮短思維流程，從而達到舉一反三，跳出題海，進行有效教學的目的·

圖1

四、研究相關試題的聯系

任何數學問題的出現都有一定的情境，數學問題不會無端地“迸發”出來，往屆高考和調考試題一直是新高考試題的重要來源，命題專家一直重視傳承和相互借鑒，作為教師要努力從歷年高考題的整體研究中找到共性，從近幾年高考題中找到高考的變化趨勢，從對同類試題的研究中找到變化，不斷提升復習效率·

（1）求橢圓C的方程和其“準圓”方程·

（2）點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過動點P作直線l1、l2，使得l1、l2與橢圓C都只有一個交點，且l1、l2分別交其“準圓”于點M、N，求證：為|MN|定值·

例3（2012年高考湖南卷）在直角坐標系xOy中，曲線C1上的點均在圓C2：（x-5）2+y2=9外，且對C1上任意一點M，M到直線x=-2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值·

（1）求曲線C1的方程；

（2）設P（x0，y0）（y0≠3）為圓C2外一點，過點P作圓C2的兩條切線，分別與曲線C1相交于點A，B和C，D·證明：當點P在直線x=-4上運動時，四點A、B、C、D的縱坐標之積為定值·

例2和例1都以蒙日圓為背景，例3和例1解決問題的核心方法一樣，都是用“等價元素與方程思想”解題·

五、研究試題的結論拓展

將試題進行拓展研究，是實施研究性學習的一個重要舉措，研究性學習的目的在于“改變學生以單純地接受教師傳授知識為主的學習方式，為學生構建開放的學習環境，提供多渠道獲取知識并將學到的知識加以綜合應用于實踐的機會，培養創新精神和實踐能力”，將試題進行拓展，常見的方式有：橫向類比、逆向思考、特殊到一般的抽象、一般到特殊的發現等·將本題進行拓展我們可以得到如下一些結論：

六、研究試題的價值導向

高考試題是復習備考的風向標，它的指揮棒功能毋容置疑，從某種意義上來說，高考試題的導向功能勝過其編制的精巧和深奧·本題緊扣《考試說明》，密切結合教材，沿襲了“在豐富背景下立意，在貼近教材中設計”的命題風格，不隨意拔高考點，不刻意追求別致，緊貼課本·課改的不斷推進對高考命題也提出了更高的要求，要求試題在創新的同時更能全面考查學生的數學素養，本題作為圓錐曲線試題，在繼承傳統圓錐曲線問題解決方法的同時要求考生善于觀察、類比，能借助“等價元素與方程”的思想輔助解題，這樣的方法不落俗套，這就要求一線教師要擺脫死教書的習慣，少做點機械的訓練，多做點深入的研究，積極倡導自主、合作、探究的新型學習方式，在課堂教學中注重知識的發生過程，善于捕捉探究資源，激發學生的思維熱情，引導學生探究知識，不斷提升學生的探究能力，這既是高考試題的檢測方向，更是教學中要重點解決的問題·

七、研究考后試題的社會評價

一道好的試題必須考慮到“難度、信度、效度、區分度”四個方面，命題也是一項充滿遺憾的藝術，考試結果和社會評價在一定程度上左右著后繼者在命題中的一些做法，是堅持還是放棄，是批判還是繼承，作為教師關注輿情十分重要·

最后，筆者要強調的是：研究高考試題是教師的一項基本功，從某種程度上說，選好“研究內容”比“選擇研究方法”更重要，因為內容確立的是目標，決定了我們研究的“方向”，而研究方法確定的是解決問題的“方式”，“方式服從于方向”，建議老師們今后多選擇一些“立意鮮明、解法多樣、背景深刻、推廣自然、評價良好”的試題作為研究對象·

1·趙思林·研究高考試題的幾種視角［J］·中學數學教學參考（上），2009（4）·

2·李紅春·從一道試題的求解管窺研究性學習的幾個視角［J］·教學月刊（中學版），2014（11）·

2·李紅春·一道高考題的背景及拓展［J］·高中數學教與學，2014（12）·F