淺談數學教學中題根式教學法

☉江蘇省海安縣曲塘中學申月

淺談數學教學中題根式教學法

☉江蘇省海安縣曲塘中學申月

關于數學教學高效性和有效性的實施是一個永恒的討論主題，在傳統教學中的變式教學是發揮教學高效性的典型教學模式·在新課程實施過程中，變式教學顯得有些力不從心，究其原因主要是變式教學是一種以問題形態為主的題型變化教學，隨著新穎題型的不斷出現，變式教學對于題型的歸納就顯得越來越臃腫，教學效率相對較低，無法從本質上讓學生認識數學相關的核心知識·陜西師大羅增儒教授在談起新課程下的解題教學時，用“題根式教學”來描述當下的解題教學的高效：我認為變式教學稍顯過時，因為變式的數據庫顯得相當龐大，而有限的中學教學課時是難以實現的，既要適應新課程又要能取得應試解題的成績，以題根式教學為主流的新型教學方式漸漸開展起來，它的好處是以數學最本質最核心的知識去取得一系列問題的思維引導，其用處相對于傳統的變式教學而言來得更為廣泛些·

筆者認為上述話語中，羅教授將新課程課時稍顯緊張和如何繼續保持應試成績做出了一個比較適合當下的平衡點，而且用題根式教學替代變式教學，主要在教學中面向數學核心知識的教學，并且以尋找問題最本質反映的數學知識，即題根為首要解決方向，對知識進行合理的發散學習和整合學習，使其成為數學復習教學或解題教學的一種高效、有效方式·

一、題根式教學的設計

題根式教學是一種濃縮式的教學，它勢必要求教師在教學過程中以比較合理的設計和精心的準備，將所選問題以某種反饋機制進行展示，考慮到現行教輔資料往往達不到這種教學要求，因此需要教師對問題進行改編或原創，達到符合教學目的的要求·題根來源何處？筆者認為：題根就是來源于教材中的最基本的數學例題或數學公式、定理等·來看一個筆者自身編譯的案例·

案例1（蘇教版必修5第三章第二節習題）解關于x的不等式：2x2-3x-2＞0·

設計意圖：通過這個題根，來探究三個“二次”的關系·

思考一：改變二次項系數的符號·我們把二次項系數的符號變為負號·

設計1：解關于x的不等式：-2x2-3x-2＞0·

設計意圖：在解這個不等式時，先把二次項系數轉化為正數，特別注意要改變不等式的方向，解出不等式的解集·

思考二：可以通過引入參數，變為含參數的二次不等式·

（2）當Δ=0，即a=±4時，若a=4，不等式的解集為｛x|x≠1｝，若a=-4，不等式的解集為｛x|x≠-1｝·

（3）當Δ＜0，即-4＜a＜4時，對應的二次函數圖像都在x軸上方，所有的x都成立，所以解集為R·

設計意圖：本題中一次項系數含參數，這時就要討論Δ·首先計算Δ=a2-16·通過對Δ的討論來解決問題·

第二種情況，當a=0時，不等式化簡為2x-2＞0，所以不等式的解集為｛x|x＞1｝·

設計意圖：這時二次項系數含參數·首先可以分解因式得到，（ax+2）（x-1）＞0·當二次項系數含參數時，要對參數進行分類討論·

總結：通過設計2和設計3，我們知道，解含參數的二次不等式的分類討論，分類的層次是分三層：

第一個層次是根據二次項系數的符號來分類，分a＞0，a=0，a＜0·

第二個層次是根據Δ來討論，分Δ＞0，Δ=0，Δ＜0·

第三個層次是根據根的大小來分類，分x1=x2，x1＞x2，x1＜x2·

思考三：逆向思維，給出不等式的解集，求參數的范圍·

設計4：已知不等式ax2-（a-2）x-2＞0的解集為

設計5：已知不等式ax2-（a-2）x-2＞0的解集為不等式2x2-（a+1）x-a＞0的解集·

通過設計4解出a=2代入不等式可以解出該不等式·

設計6：已知不等式ax2-ax-2＜0的解集為R，求a的取值范圍·

設計意圖：解決這個問題的時候需要注意，這個不等式的二次項系數含參數，我們要繼續對參數進行分類討論，當a=0時，-2＜0恒成立，這個一定不能忘·當a≠0，這個不等式就是二次不等式，這時對應的函數為二次函數，圖像都在x軸下方，需要a＜0，Δ＜0·以上我們通過這個二次不等式的題根入手，來解決三個“二次”之間的關系，通過這樣的題根教學設計對三個二次問題進行了高效的挖掘和提升，值得注意的是本案例中設計5、設計6都是為適應題根而進行的創編，從另一個方面也提高了教師自身專業化的編題能力，一舉兩得·

二、題根式教學的創編

題根式教學需要在教材原型中找到合適的典型問題，但是與典型問題相關的試題有時顯得相對匱乏，此時筆者認為需要在教師認知角度的精準前提下，對問題進行符合學情特點的創編，這種創編是既符合考情又符合學情，是有效和高效的·通過對近三年高考試題的統計發現，二次函數內容主要考查二次函數與一元二次方程及一元二次不等式的綜合應用·重點考查數形結合、等價轉化及分類討論思想在解題中的應用·尤其是新課程改革后，函數中以二次函數的圖像為載體，利用數形結合的思想，解決二次函數的單調區間、二次函數在給定區間上的最值，以及與此有關的參數范圍的問題成為重點和熱點·學生對分類討論思想的掌握一直是比較薄弱的·通過對題根的講解和分析，使學生對二次函數在給定區間上的最值問題的解題思路、解題過程有所了解，并結合課堂練習加以鞏固，在課后能夠做一些更為深入的探究·

分析：引導學生發現解決此問題的關鍵是考慮定義域所在的區間與對稱軸的關系，結合函數圖像，就可以發現分（1）a＜b＜1；（2）a＜1＜b；（3）1＜a＜b三種情況討論·

對題根的歸納總結：解決此題的關鍵在于要注意二次函數的對稱軸所在的位置對函數最值的影響·解二次函數求最值問題，首先采用配方法，將二次函數化為y= a（x-m）2+n（a≠0）的形式，得頂點（m，n）或對稱軸方程x= m，分三個類型：①頂點固定，區間固定；②頂點含參數，區間固定；③頂點固定，區間變動·此例即為對稱軸固定，區間變動的一個典型例題·

設計說明：這兩題依然是對a，b分a＜b＜1、a＜1＜b、1＜a＜b三種情況討論·而且在創編1的解題過程中發現，這樣的a，b是不存在的·在創編2的解題過程中，當a=-2，b= 0時是符合條件的·

使得（fx）的定義域、值域分別是［a，b］和［ka，kb］（k＞0），求出k的范圍（·此題的解題過程比較復雜，留給學生作為課后探究）

三、關于題根式教學的一些思考

近幾年的數學高考，以能力立意命題，都強調寬角度、多視點地考查數學素質，考查數學思維能力的發展·如何引導學生在高三數學復習的過程中抓住根本，合理利用時間，提高學習效率，除了我們平時一直談論的不可忽視課本，不可忽視“雙基”，不可忽視數學思想方法的滲透總結，不可忽視《考試大綱》，不可忽視對學生養成規范、準確、快速的解題習慣等，更應充分利用習題這一載體，培養學生的思維能力進而提高他們分析、解決問題的能力·“題根式教學法”的探索正是為了適應這樣的教學發展需求應運而生的·然而“題根+生本”核心理念對教師和學生在教學觀念和數學素養上都提出了一個挑戰，如何讓教師放得下、讓學生放得開？

1·轉變觀念，提升素養

題根式教學法希望打造的是“先根后枝，以學定教，少教多試，師生互動”的課堂，讓學生從被動的聽眾變成課堂活動的主角，做到“題根分析學生清、題根生長學生明、樹狀網絡學生織、問題探討師生議”，那么教師首先要轉變觀念，走下神壇，傾聽學生，調整好角色，做好領路人，本課例1中，教師的設計使教師在與學生的交流互動中建立了信任，呈現了一個活潑的生本課堂·其次，在題根學案的教學設計上要明確：學案的作用是提綱挈領，指明教學線索，推進學生的思考，體現思維發展的過程性，這點，案例1“三個二次”做得很好，重梯度、重關聯、重過程，因此教學預期基本在課堂上都圓滿完成了·再次，教師更需提升自身的數學素養，積累教學智慧，善于捕捉不時出現的“陰錯陽差、節外生枝、靈光一閃”的“意外風景”·這些動態生成的資源雖不在我們預設的視線之內，卻是學生智慧的火花，是一筆寶貴的財富，需要我們用自己的一雙慧眼去給予更多關注，學生得到了更多的理解，才更愿意跟隨教師，更愿意親近數學·

2·一根多題，凸顯本質

一節課緊緊圍繞一個題根展開教學，圍繞一個題根引領思維，通過“提出簡單問題—提煉典型方法—解決一類問題”的一條主線使得教學過程自然流暢，思路分析深入淺出，而且教師引導學生認識方法內涵的時機把握得適時，有歸納的基礎，同時又有拓展的空間，激發學生探究的熱情，而提煉和濃縮方法的精髓又是對方法本質的有效詮釋，從自發運用到自覺理解·如果費老師再對此種方法取個名稱，筆者相信學生的印象會更加深刻，教學效果會更加明顯·本節課讓我們深深體會到數學變式教學的價值，它是培養學生良好的思維品質，是課堂教學高效、有效的典型方式·正如華羅庚教授的名言：“數學是一個原則，無數內容；一個方法，到處有用”，在教學階段，堅持引領學生有意識地去歸納方法，通過“刨根”，歸納出一類問題一種方法，一題多根，將問題鏈與思維鏈巧妙結合，逐步引導學生建構對方法的認識，對方法的體驗，循序漸進地理解方法的本質，從而實現量變到質變的升華，“魚漁”兼得！

1·楊玉東，范文貴·高中數學新課程理念與實施［M］·海口：海南出版社，2009·

2·柴賢亭·數學教學中的問題設計［J］·教學與管理，2013（10）·

3·黃文·淺談中學數學課堂教學的適度形式化［J］·中小學數學，2012（5）·F