教師深度引領學生自主建構*

☉江蘇省丹陽市第五中學蔣偉

教師深度引領學生自主建構*

☉江蘇省丹陽市第五中學蔣偉

學生的學習以接受與探究兩種認識方式相輔相成，即借助語言獲得知識的接受方式與指導學生操作與思考獲得知識的探究式學習·這兩種基本形態有機結合才能形成合理的教學認知活動·教師通過深度研究教學內容，提出恰當精準的問題，引導學生思考，進而解決問題，能使學生的學習欲望得到激發，學習潛力得到拓展，真正實現學生對知識的自主建構·

一、通過尋疑—質疑—析疑，引導學生科學建構

教師以學生學習過程中產生的問題為誘因創造問題情境，揭示學生認識上的矛盾，一方面可以糾正學生已有的認識錯誤，另一方面可以對學生的心理智力產生刺激，同時也是知識建構遞進的需要·

教師提供兩種解法·

解法1：f′（x）=x2+ax+2b·

依題意，方程x2+ax+2b=0的一個根大于0且小于1，另一根大于1且小于2·即0＜x1＜1，1＜x2＜2·則1＜x1+x2＜3，0＜x1x2＜2·由韋達定理得1＜-a＜3，0＜2b＜2，即-3＜a＜-1，0＜b＜ 1，則-2＜b-2＜-1，-4＜a-1＜-2·相除

解法2：f′（x）=x2+ax+2b·

依題意，方程x2+ax+2b=0的一個根大于0且小于1，另一根大于1且小于2·

不等式組表示的平面區域如圖1所示，其中A（-3，1），B（-1，0），D（1，2）·

設C（a，b）為可行域（陰影）內一點·

圖1

教師提出問題1：用兩種解法得到了相同的結論，都可以嗎？

學生爭辯后得出如下結論：解法1中，由0＜x1＜1和1＜x2＜2推出1＜x1+x2＜3和0＜x1x2＜2，不是同解變形，因此此解法是錯誤的；解法2應用了線性規劃知識，準確地得到了不等式組所表示的可行域，此轉化是等價的，解法是正確的·

問題2：為什么解法1得出的結果和正確的結果相同？

教師提示：用解法2的思路去思考解法1·

學生思考得出如下結論：由-3＜a＜-1、0＜b＜1得到的可行域是一個矩形BEAF（如圖2），擴大的此矩形區域未能改變直線CD斜率的取值范圍（C為可行域內的一點），因此得到的結果和正確的結果相同·

圖2

教師：數學活動的實質就是思維的轉化過程·在解題中，要不斷改變解題方向，從不同角度、不同的側面去探討問題的解法，并尋求最佳方法，但在轉化過程中保持轉化的等價性是至關重要的·

教師在平時教學中要注意捕捉學生答題的思維缺陷，積極營造問題情境，發揮思維的監控作用，及時消除學生的錯誤認識，促進學生科學的認知結構的形成·

*本文系江蘇省教育科學規劃“十二五”重點資助課題《基于問題生成的動態課堂的實踐研究》（課題編號：B-a/2011/02/05）的研究成果之一·

二、通過展示—評價—總結，優化學生的認知建構

學生是學習的主體，他們如果帶著自己的認識、經驗、猜想參與課堂活動，就使課堂呈現了人文性、合理性、生動性和豐富性，并在展示與交流中充分發揮學生各自的創造力，彼此的思維得到了碰撞、補充、優化·

圖3

教師先展示學生的方案1：假設存在這樣的k·

則直線方程為y=k（x+c），代入雙曲線方程，得：

設C（x1，y1）、D（x2，y2）·

教師：利用弦長公式解決弦長問題，自然直接·還有別的方法嗎？

教師：在求過焦點的弦的長時，運用定義可以簡化弦長計算，優化了解題步驟，很好·還有更簡便的方法嗎？

沉默片刻，學生提出方案3：當兩交點都在左支上時，最短的弦長為|AB|，當兩交點在兩支上時，最短的弦長為|A1A2|，即|CD|≥|A1A2|，所以要想存在k，使|AB|=|CD|，只需滿足：|AB|≥|A1A2|?2a?b2≥a2，此條件不成立，因此這樣的直線不存在·

該方案提出后，學生有的疑惑，有的驚訝，教師及時給予懇定：過焦點的直線與雙曲線的交點在同一支上時，最短的弦長為2·交點在兩支時，最短的弦長為

2a·并以此為契機，通過方案1、2給予證明，并通過數形結合給予了說明、解釋，同時進一步啟發學生思考在橢圓中有沒有類似的規律性結論·

教學中教師要積極引導學生多方面、多角度思考問題的解決方案，并允許、鼓勵學生大膽猜測，然后啟發學生給予數學證明，逐步形成和發展數學應用意識，提高實踐能力·

三、通過變式—訓練—拓展，讓學生建構更深刻

如果我們對課本中的例、習題進行特殊聯想、類比聯想和改變情境、推廣引申，那么我們可以培養學生積極思考的習慣，達到深化理解的目的，同時也為發展學生的創新意識提供了有利條件·

案例3：蘇教版必修5第96頁第13題：已知正數x、y滿

意圖：此變式主要目的是當利用基本不等式求最值時，如果條件不滿足，可考慮利用函數的單調性來完成·

意圖：用字母代替具體的數字，綜合了上述兩題的方法，增加了對分類討論思想的考查·

意圖：把1+k2改為1-k2，增加對1-k2≤0時的討論，加深了學生對形如y=x+（a∈R）的最值求解的一整套思路，進一步鍛煉了學生分類討論的能力·

意圖：把問題放入新情境中，提高了學生的問題轉化意識及運用數學知識解決問題的能力·

在教師的引領下，通過變式訓練，循序漸進，學生的學習熱情高，學習的內驅力被激發，學生對形（a∈R）的最值問題的認識是深刻的，很好地培養了學生分類討論的意識與能力·A