命題處處陷阱解題步步為營
——導數問題求解中的“對而不全”揭秘

☉江蘇省海安縣曲塘中學夏秀梅

命題處處陷阱解題步步為營
——導數問題求解中的“對而不全”揭秘

☉江蘇省海安縣曲塘中學夏秀梅

每次考試后總有一部分同學感覺良好，但成績并不理想，究其原因是問題解答中沒有注意到一些細節，造成“對而不全”現象，致使整體成績不理想·高考試題中解答題要求嚴密的推理、詳細的解答，其分值設置是按步驟得分·本文以筆者所教授的班級中部分同學在解答導數問題中的“對而不全”問題為例進行說明·

一、忽視隱含條件——對而不全

（1）當a=0時，求函數f（x）的圖像在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）如果對于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），求a的取值范圍·

解析：（1）略·

（2）先考查函數g（x）=-x2+2x-3，x∈R的圖像，配方得g（x）=-（x-1）2-2，所以函數g（x）在（-∞，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，因為對于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）成立，所以a≤1·

以下考查函數h（x）=xlnx，x∈（0，+∞）的圖像，則h′（x）=lnx+1，令h′（x）=lnx+1=0，解得

例1已知函·隨著x變化時，h（x）和h′（x）的變化情況如下表：

x 0，1（）1（）1 e e e，+∞h′（x）-0 + h（x）↘↗

若對于任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），則g（a）≤h（a），即-a2+2a-3≤alna，解題無法繼續……

揭秘：本題解法受常規解題思維的影響，欲使函數在整個定義域內單調，則在分段點的函數值大小關系為-a2+2a-3≤alna，但此不等式不易求解·挖掘解題過程

二、忽視構造新函數——裹足不前

導數問題一直是高考的壓軸題，解題中常需要構造函數，如何構造既是難點，也是熱點，近年高考題中出現了很多需要構造函數的題，還有一些是二元變量的最值問題，這更是讓學生感覺無從下手·值大于零？若存在，請求a的取值范圍；若不存在，請說明理由·

例2

（1）當a≤0時，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故無極值·

（2）當a＞0時，-ax2+x+1=0，Δ=1+4a＞0且兩根之積為極值點是無理的，若直接代入函數f（x）中，不可能求出參數a的取值范圍，那么如何求參數的范圍呢？

揭秘：可以通過消參，構造函數求出極值點x2的具體范圍，從而求出a的取值范圍·

因為x1＜0，x2＞0，即求使f（x2）＞0的a的取值范圍，過程如下：構造函數g（x）=lnx+，g（x）在（0，+∞）上單調遞增且g（1）=0，故g（x）=lnx+＞0，得x＞1，即x=2

三、忽視對問題的探究——思維中斷

四、忽視解題方法的優化——避簡求繁

揭秘：一般地在涉及二次函數在區間上有零點或最值的問題上，通常研究的方法都是利用其對稱軸與定義域區間的位置關系生成分類討論的標準，然后再逐步依據題目的要求將問題予以解決，此種做法易想能做，但解題過程繁雜，能否找到有效回避分類討論的處理呢？

解法2：考慮到h（0）=1＞0，問題的對立面為方程（fx） =x在區間（-1，1）上無解，即函數h（x）=區間（-1，1）上無零點，

一個數學問題通常都具有兩面性，當一方較為煩瑣的時候，往往其對立面一般就會稍顯簡單，解法2正是有效利用這一點，使解題過程得到了簡化·

總之，中等難度的題目是高考試題的主要構成，是大部分考生得分的主要來源·對于中檔題，考生普遍存在的現象是“得分容易，得滿分難”，要解決“會而不對，對而不全”的問題，解題中要注意規范審題、規范書寫過程、深入挖掘隱含條件、深入反思·F