基于有限元法的某舵機齒輪模態分析

朱自清， 吳柯銳， 侯文， 劉立達

（1.中北大學 儀器科學與動態測試教育部重點實驗室，太原 030051；2.空軍駐山西地區軍事代表室，太原 030024；3.豫西工業集團有限公司，河南 南陽 471002）

0 引 言

齒輪傳動作為機械中主要的一類傳動，在工程中得到了廣泛的應用，這是因為齒輪傳動效率高、結構緊湊而且傳動比穩定。在齒輪工作時，由于外部激勵的作用以及自身內部的熱運動，齒輪將不可避免地發生振動。振動系統的固有特性，包括系統的固有頻率和對應的主振型。在對振動系統動態特性的研究中，固有特性的研究是其基礎，但是，在系統的初始設計階段，固有特性的實驗數據卻不易獲得。目前，為了獲得齒輪固有特性的實驗數據，大多是通過理論計算的方法得到，而在這些算法中，有限元分析法是最好的。

文章首先通過三維設計軟件SolidWorks對齒輪進行三維建模，然后將模型導入到有限元分析軟件ANSYS中進行齒輪模態的分析，進而得到了所設計齒輪的低階固有振動頻率和其對應主振型；然后結合外部激勵的頻率特性進行分析，表明所設計齒輪在正常工作情況下不會發生共振。

1 模態分析理論

模態分析是通過將結構的物理模型轉化成模態模型，然后對其進行分析，得出結構的固有振動頻率和振型。

根據理論力學的相關知識，能夠得到系統的運動微分方程

式中：［M］、［C］和［K］分別為系統的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；（x）、（x˙）和（x¨）分別為位移向量、速度向量和加速度向量；（F（t））為外力向量。

對系統的運動微分方程進行拉普拉斯變換，將振動方程從時域變換到頻域，得

其中：（F（s））為激勵向量；（x（s））為響應向量。

令 s=jω，然后引入模態坐標，令（x（s））=［φ］（q），［φ］為振型矩陣，（q）為模態坐標，則式（2）可以表示為

若無外力作用時，即（F（jω））=（0），即得到系統無外力作用時在頻域的振動方程表達式，自由振動的頻率和對應的振型即為系統的固有頻率和固有振型；同時，在外力為零時，阻尼對整個系統的影響也不大，所以可以略去阻尼項，得到無阻尼的自由振動方程

其中 i=1，2，…，n。

作為一個多自由度振動系統，一般存在著n個固有頻率和n個主振型，每一對頻率和振型代表一個單自由度系統的自由振動［1］，這種在自由振動時結構所具有的振動特性稱為結構的模態。

2 齒輪建模

2.1 建立實體模型

考慮到ANSYS軟件自帶建模功能的不足，我們選用三維CAD軟件SolidWorks來建立齒輪的模型，然后通過格式的轉換，導入到ANSYS中進行模態分析。實體齒輪的齒數z=28，模數m=0.5 mm，壓力角為20°。建立的三維模型如圖 1（a）所示。

圖1

在建模過程中，需要注意以下幾點：

1）為了減小ANSYS的計算量，同時對計算精度的影響不大的模型中的一些倒角、圓角進行了刪除；

2）為了讓在模型導入ANSYS后有效，在建模應注意保持實體特征的獨立性，不能隨意合并實體；

3）將SolidWorks中的實體模型保存為Parasolid格式，ANSYS 方可識別［2］。

2.2 建立齒輪有限元模型

將齒輪模型導入到ANSYS后，還需要進行一些操作之后才可顯示所建立的實體模型，首先是顯示控制的操作，PlotCtrls-Plot Reset Ctrls；然后再 Plot-Replot，顯示結果如圖1（b）所示。根據齒輪的材料可知，彈性模量E=210 GPa，泊松比 μ=0.3，密度 ρ=7 900 kg/m3。 單元類型選擇的Solid45。該單元由8個節點定義，每個節點有三個方向的自由度，具有塑性和大應變的能力［3］。然后對齒輪進行網格劃分，采用自由網格命令進行劃分，得到齒輪的有限元模型，如圖2所示。

圖2 齒輪有限元模型

2.3 載荷施加及求解

在進行模態分析時，只需對所求模型進行固定，所以，只需對齒輪施加自由度約束，約束的目標是齒輪內孔的六個面。模態提取的方法有Block Lanczos，PCG Lanczos，Reduced，Unsymmetric 等 ， 在 這 里 我 們 選 取Block Lanczos法，提取模態的數目和擴展模態的數目均為10。在求解完成后，通過通用后處理器POST1來查看ANSYS計算結果，得到其頻率表，如圖3所示。

圖3 齒輪1-10階固有頻率值

2.4 結果后處理

在設置時，已經對模態進行了擴展，所以對求得的每一階固有頻率程序都同時求解了其對應的模態振型在齒輪各節點上的位移情況，通過采用ANSYS通用后處理器可以對各節點上的位移情況進行觀察和分析。當齒輪的固有頻率為54 214.9 Hz時，其主振型如圖4所示，為一階對折振；當齒輪的固有頻率為68 863.2 Hz時，其主振型如圖5所示，為二階對折振；當齒輪的固有頻率為71 447.5 Hz時，其主振型如圖6所示，為圓周振動；當齒輪的固有頻率為110 181Hz時，其主振型如圖7所示，為三階對折振。

圖4 齒輪在1階模態的主振型

圖5 齒輪在4階模態的主振型

圖6 齒輪在5階模態下的主振型

通過總結，將齒輪的低階固有振型歸納如下［4］：

1）對折振：包括一階對折振、二階對折振……。主要表現為軸向出現規則波浪振型，在端面上為規則多邊形振型，綜合起來為結構扭曲型的對折振。

2）傘型振：軸向的振動表現為收縮傘狀振型。

3）圓周振：軸向基本無振動，在端面上為圓周方向的振動。

圖7 齒輪在7階模態下的主振型

2.5 共振判斷

在獲得齒輪的固有頻率之后，還需要知道外界激勵的頻率，這樣才可以確定它們組合在一起是否會發生共振。

該齒輪的外界激勵是由直流伺服電機所提供的，電機型號是S321B電磁式直流伺服電動機，其最大轉速為3 300 r/min，折換成頻率即為55 Hz，這遠遠小于齒輪的固有頻率，所以在舵機的工作過程中，齒輪不會發生共振。

3結 論

1）通過三維建模軟件SolidWorks對齒輪進行三維實體建模，然后利用有限元分析軟件ANSYS對實體模型進行有限元建模及模態分析，克服了單一使用某種軟件在建模速度、單元劃分效果以及求解速度等方面的不足。

2）通過對齒輪的模態進行分析，得到了齒輪前10階模態的固有頻率及其相應的主振型；然后結合電機的工作特性，證明了在電機的正常工作條件下，齒輪不會發生共振，為舵機的動力學分析奠定了一定基礎。

［1］ 葉友東，周哲波.基于ANSYS直齒圓柱齒輪有限元模態分析［J］.機械傳動，2006,30（5）：63-65.

［2］ 徐春雨，陳剛，周淵鍵.基于 Solidworks和ANSYS某舵機齒輪裝配體模態分析［J］.機械傳動，2012,36（4）：81-83.

［3］ 孫鵬文，李建東，吳泰成，等.滾珠絲杠電動伺服機構齒輪的模態分析［J］.機械設計與制造，2009（5）：99-101.

［4］ 劉輝，吳昌林，楊叔子.基于有限元法的斜齒輪體模態計算與分析［J］.華中理工大學學報，1998（11）：75-77.