滾珠絲杠副空回程角的研究

朱自清， 吳柯銳， 侯文， 李建民， 張博川

（1.中北大學a.儀器科學與動態測試教育部重點實驗室，b.機械與動力工程學院，太原030051；2.空軍駐山西地區軍事代表室，太原030024）

0 引言

滾珠絲杠副是一種高效、精密的定位傳動部件，目前已廣泛地應用于數控機床、航空航天、半導體制造等行業。滾珠絲杠副在工作過程中，由于軸向載荷的施加，使得滾珠和滾道發生彈性變形，導致滾珠絲杠副在換向工作的過程中會產生一定的滯后，在滾珠絲杠副中用空回程角來描述。空回程角的存在，造成了滾珠絲杠副軸向定位的誤差，會對滾珠絲杠副的性能產生影響。之前已有相關學者對滾珠絲杠副空回程角的問題進行了研究，劉建佐等［1］在研究滾珠絲杠副的空回程角的問題時，從理論上論述了空回程角的產生原因和影響因素，但并未推導出具體的計算公式；姜洪奎等［2］研究了滾珠絲杠副的彈性變形，得到了滾珠絲杠副彈性變形和各項參數之間的關系,但并未對空回程角和彈性變形之間的關系加以說明。本文在現有研究成果的基礎上，通過赫茲接觸理論從理論上推導出空回程角的計算公式，給出了空回程角和螺旋升角、接觸角以及載荷分布系數之間的關系；最后以2004-3型滾珠絲杠副為算例，在軸向力為100 N的情況下對其空回程角進行了理論計算，并通過和有限元分析軟件ANSYS的仿真結果進行比照，驗證了結論的正確性。

1 滾珠絲杠副中空回程角和螺旋升角、接觸角、載荷分布系數之間的關系

在滾珠絲杠副的工作過程中，在運動方向未發生改變的情況下，由于軸向力的作用，滾珠和滾道之間會發生彈性變形；當運動方向突然改變時，之前所發生的彈性變形先是減小到零，然后再一次在滾珠和滾道之間發生彈性變形，在這些動作完成之后，絲杠和螺母的運動才會相協調。在這個過程中所產生的彈性形變，正是產生空回程角的真正原因，所以接下來就先分析一下在換向過程中發生的彈性形變。

1.1 滾珠的受力分析

滾珠在運動的過程中，主要受到沿滾道切向的摩擦力和沿滾道法向的力，而和彈性變形有關的只是法向力，所以我們在下面的內容中主要分析法向力。滾珠作為滾珠絲杠副傳動的中間元件，各個滾珠受到的力不同，也就是說工作載荷的分布是不均勻的，為了分析方便，假設滾珠受到的載荷是沿著螺旋滾道呈比例遞減的。設初始滾珠受到的法向載荷為P0，滾珠所承受的載荷衰減系數為α，則第i個滾珠受到的法向載荷Pi=αi-1P0。所以，總體滾珠的法向載荷與螺母受到的軸向推力Fa之間的關系為

式中：λ為螺旋升角；β為滾珠與滾道接觸角。由于α＜1，所以式（1）可寫為

1.2 滾珠和滾道發生的彈性形變

根據赫茲接觸理論，在法向載荷的作用下，滾珠和滾道的接觸處發生彈性變形（包括滾珠的變形和滾道的變形），其法向彈性變形的計算公式如下［3］：

式中，μ1、μ2及 E1、E2分別為滾珠和絲杠材料的泊松比和彈性模量；∑ρs、∑ρp分別表示螺母側和絲杠側滾道的主曲率之和；αs、αp分別為螺母側和絲杠側的載荷分布系數，Js、Jp是由赫茲接觸參數τ確定的橢圓積分。

其中，滾珠與螺母滾道接觸點處的4個主曲率［4］分別為

同理，滾珠與絲杠側滾道接觸點處的4個主曲率分別為

式中，ψ為接觸體主平面方向和接觸橢圓長半軸的夾角。由于接觸體滾珠為球體，所以ρ11=ρ12，上式可簡化為

因為J為由τ確定的橢圓積分，所以在得出τ之后，通過查詢橢圓積分表［5］可得出J的值。

因為空回程角的存在會對滾珠絲杠副的軸向定位產生影響，所以將滾道的法向彈性位移投影到絲杠軸向上，得到絲杠的軸向彈性位移，設其值為δa，則

1.3 換向過程中產生的空回程角

以上分析的是在運動方向發生改變之前，當運動方向發生改變之后，滾珠和滾道所發生的彈性變形也是δa，所以在產生空回的過程中，軸向彈性變形為2δa，也就是說絲杠和螺母相對運動2δa之后才進行同步的傳動。所以在這個過程中產生的空回程角為

2算例

為了證明滾珠絲杠副彈性變形模型的正確性，通過理論計算和有限元仿真兩種方法對其進行驗證。以2004-3型滾珠絲杠副為例，其各項參數為：絲杠公稱直徑d0=20 mm，絲杠導程Ph=4 mm，滾道（雙圓弧滾道）半徑R=2.08mm，滾珠直徑Dw=2.381 mm。滾珠承載載荷的衰減系數 α=0.8，載荷分布系數 αs=αp=0.85，接觸角 β=45°，絲杠、滾珠和螺母的材料均為軸承鋼，絲杠和螺母的彈性模量E1=2.06×105MPa，泊松比 μ1=0.3；滾珠的彈性模量 E2=2.1×105MPa，泊松比μ2=0.3；所受的軸向力Fa=100 N。

2.1 滾珠絲杠副空回程角的理論計算結果

該型滾珠絲杠副的導程Ph=4 mm，所以其螺旋升角可以通過下面的公式來計算：

通過所給參數進行計算，可得滾珠與絲杠滾道接觸點處的 4 個主曲率及主曲率之和為：ρ11=ρ12=839.9832m-1；ρ21=-480.769231m-1；ρ22=65.376532m-1；∑ρp=1264.573701m-1。

同理，滾珠與螺母滾道接觸點處的4個主曲率及主曲率之和為：ρ11=ρ12=839.983 2 m-1；ρ21=-480.769 231 m-1；ρ22=-55.224 232 m-1；∑ρp=1 143.972 937 m-1。

根據主曲率及主曲率之和的值，得出赫茲接觸參數，繼而查找橢圓積分表，得：Js=1.629 480；Jp=1.652 514。

將滾珠絲杠副的各項參數帶入式（13）中，得到空回程角的理論值：δa=0.33×10-4m；θ=0.103 613 rad。

2.2 滾珠絲杠副彈性變形的有限元分析

在滾珠絲杠副模型中，涉及到了滾珠和滾道的接觸，而接觸問題作為一種邊界非線性問題，接觸邊界隨載荷非線性變化是其難點，因此根據滾珠絲杠副的結構特點，將其簡化成只有單個滾珠的模型，并且選用Solid45作為它的單元類型，其他參數保持與理論計算參數一致，建立了滾珠絲杠副的有限元模型。

在建立了滾珠絲杠副的有限元接觸模型之后，對其進行接觸對的添加。因為在實際工作的過程中，滾珠和滾道的接觸是點接觸，所以我們在建模的過程中也選用點接觸。關于目標面和接觸面的選定，我們選擇滾珠表面作為目標面，滾道作為接觸面。建立接觸對的過程中，摩擦因數設定的是0.02。在接觸對建立好之后，對其進行加載，給絲杠滾道的下邊線和螺母滾道的上邊線各施加一個Y方向的位移約束，防止其在受力時發生Y方向的移動；在絲杠側和螺母側各施加100 N的恒力（此處須生成一個關鍵點，便于力的施加）；對滾珠不作任何約束。然后對其進行求解，求解完成后的結果如圖2所示。

仿真結果顯示滾珠絲杠副在受到100 N的軸向力時，由于滾珠和滾道擠壓所產生的彈性變形δa=0.354×10-4m，產生的空回程角為0.111212rad，與理論計算值0.103613rad接近，驗證了所建立模型的正確性。

3 結論

本文利用矢量幾何學的方法，描述了滾珠絲杠副中滾珠和滾道接觸點的運動；利用赫茲接觸理論，提出了滾珠絲杠副中空回程角的理論計算公式，并且利用有限元分析軟件ANSYS進行了仿真，和理論計算結果進行對比，對工程實踐中空回程角的確定有一定的幫助。

［1］ 劉建佐，張成義，王向東.滾珠絲杠副空回程角研究［J］.組合機床與自動化加工技術，2010（12）：1-4.

［2］ 姜洪奎，宋現春，張佐營.螺旋升角對滾珠絲杠副彈性變形的影響分析［J］.中國機械工程，2008，19（9）：1079-1083.

［3］ 宋現春，姜洪奎，許向榮，等.高速滾珠絲杠副彈性變形的有限元分析［J］.北京工業大學學報，2009,35（5）：582-586.

［4］ 李凌豐，劉彩芬.滾珠絲杠副軸向變形分析［J］.中國機械工程，2011，22（7）：762-766.

［5］《橢圓積分表》編寫小組.橢圓積分表［M］.北京：機械工業出版社，1979：295.