一類推廣的常利率復合PoissonGeometric風險模型的預警區問題

趙明清+尚鸝+李田

摘要 在復合PoissonGeometric風險模型的基礎上，引入利率因素，并將保費收入由線性過程推廣為復合Poisson過程，建立了一類推廣的帶常利率復合PoissonGeometric風險模型，該模型描述現實的能力更強，更具有實際意義.然后，利用盈余過程的強馬氏性推導出了首個預警區的條件矩母函數所滿足的積分方程，并進一步在保費額和索賠額都服從指數分布的情形下得出了其解析解.

關鍵詞 預警區；復合PoissonGeometric風險模型；常利率；條件矩母函數

中圖分類號 F224.7 文獻標識碼 A

AbstractOn the basis of the compound PoissonGeometric risk model， by introducing interest rate and extending the Premium income from linear to compound Poisson process， this paper set up a Generalized Compound PoissonGeometric Risk Model with Constant Interest Rate. The ability of the model to describe the realistic is more stronger. At the same time， it has more practical significance. Then taking full advantage of the strong Markov property of the surplus process， an integral differential function for the first duration of negative surplus was obtained. Finally， the explicit expression was given when the Premium and the claim were exponential distributions.

Key words duration of negative surplus； compound PoissonGeometric risk model； constant interest rate； conditional moment generating function

1引言

預警區，即負盈余所持續的時間.對預警區的研究不僅可以為保險公司的財務預警系統提供支持，還可以為保險監管部門制定決策提供理論依據.國內外學者對此做了大量的研究.Gerber（1990）[1]針對經典風險模型，運用鞅方法，得出了第一個和最后一個預警區的條件矩母函數；Reis（1993）[2]在文獻[1]的基礎上，得出了各預警區及整體預警區的條件矩母函數；Dickson和Reis（1996）[3]進一步導出了整體預警區的分布函數；Henrikas Pranevicius（2008）[4]在特定分布情形下還得到了各預警區的期望和方差；David C.M.Dickson（2013）[5]研究了Erlang（2）風險模型下的首達時間和預警區分布.鐘朝艷（2012）[6]研究了復合PoissonGeometric風險模型的預警區問題，推導出了首個預警區的條件矩母函數所滿足的積分方程，并進一步在索賠額服從指數分布的情形下給出了它的解析解；考慮到利率的影響，鐘朝艷（2014）[7]將常利率因素引入該模型，得到了常利率下第一個預警區的條件矩母函數所滿足的積分方程，并在索賠額服從指數分布的情形下給出其解析解.考慮到保費收入的隨機性，張淑娜（2009）[8]將保費收入由線性推廣到復合Poisson過程，得到了破產概率所滿足的積分方程，并在保費額和索賠額都服從指數分布的情形下給出了它的解析解，但沒有考慮利率因素的影響，也沒有對預警區問題進行研究.

基于以上研究，在復合PoissonGeometric風險模型中引入利率因素，并將保費收入由線性過程推廣為復合Poisson過程，建立了一類推廣的帶常利率復合PoissonGeometric風險模型，使得模型描述現實的能力更強，更具有實際意義.然后，利用盈余過程的強馬氏性推導出了首個預警區的條件矩母函數所滿足的積分方程，并進一步在保費額和索賠額都服從指數分布的情形下得出了其解析解.

5結論

文中所研究的復合PoissonGeometric風險模型，不僅引入了利率因素，而且將保費收取過程從線性過程推廣到了復合Poisson過程，因此模型更具有實際意義.還利用盈余過程的強馬氏性，得出了首個預警區的條件矩母函數所滿足的積分方程，當保費額和索賠額均服從指數分布時，進一步給出了其解析解.在此研究的基礎上，還可以考慮將常利率擴展到隨機利率情形進行相關研究.

參考文獻

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