“降價補差”承諾期權定價分析

鄭秋紅　岑仲迪　宋良榮

摘要 綜合應用Δ對沖技巧以及It引理，在風險中性意義的前提下建立了房產開發商“降價補差”承諾期權的偏微分方程定價模型.根據“降價補差”承諾能否在到期前任何一天履約，分別建立了歐式承諾期權定價模型和美式承諾期權定價模型.對于歐式承諾期權，得到了期權價格的解析公式；對于美式承諾期權，采用基于自適應的有限差分法對上述定價模型進行數值計算，得到了相應的期權價格.并以歐式承諾期權為例，分析了期權價格對參數的依賴關系.最后對兩個具體的“降價補差”承諾期權案例進行了期權價格計算.

關鍵詞 期權；定價模型；降價補差；有限差分法

中圖分類號 F830.59 文獻標識碼 A

AbstractBased on the Δ hedging and Ito lemma， a partial differential equation model for a real option of a compensation promise for price reduction was established under the neutral risk assumption. According to the time for honoring the promise， the European option pricing model and the American option pricing model were proposed， respectively. For the European option of the compensation， the option pricing formula can be obtained. For the American option of the compensation， the option price can be obtained by using a finite difference scheme based on the layer adapted grid. The relationship between the option price and the parameters of the option pricing model was analyzed. Finally， option prices were calculated for two cases.

Key wordsoption； pricing models； compensation promise for price reduction； finite difference method

1引言

為促進房地產市場平穩健康發展，國家對房地產市場進行了持續的宏觀調控.在此背景下，市場對房地產價格走勢發生了較大分歧，樓市銷售遇冷.為增強市場購買信心，盡快回籠資金，開發商的降價與承諾接踵而至.2011年11月上海嘉定“萬嘉·新城公館”項目率先作出“降價補差”的承諾，然后蘇州“萬科·金色里程”項目承諾“一旦降價將按原價回購”，杭州“嘉凱城·名城公館”項目承諾“無理由退房”，上海“綠地·新城1號”寫字樓項目宣布3年后可對所售房產溢價16%進行回購根據鏈家地產市場研究部的不完全統計，僅一個月時間里，全國至少有20個城市其中30余樓盤采取了“降價補差”的營銷策略.這究竟是房地產商被迫的的無奈之舉，還是一種聰明的營銷策略？提供給購房者的是陷阱還是餡餅呢？這是在樓市深度博弈期非常值得探討的話題.

“降價補差”營銷策略是指，房產開發商在與購房者簽訂房產銷售合約的同時，與購房者簽訂一份在未來一定時間內的“降價補差”承諾書[1].若在承諾期限內房地產價格下跌，購房者可要求房產開發商履行承諾，補償給購房者房產價格下降損失.“降價補差”承諾給購房者一定程度上的房產保值增值保障，促進了房產的銷售，使房產開發商快速回籠了資金.根據鏈家地產市場研究部不完全統計，采取“降價補差”營銷策略的樓盤都取得很好的銷售業績.

另外，由于存在房產開發商不履行承諾（例如，房產開發商在承諾到期時已破產）的風險，所以考慮開發商違約情況的“降價補差”期權價格為pV（p為房產開發商的履約概率）.

5實證分析

2011年11月，蘇州“萬科·金色里程”樓盤采取了“降價補差”營銷策略.該房產開發商蘇州科建房地產有限公司（萬科A全資子公司）在與購房者簽訂房產銷售合約的同時，與購房者簽訂了一份“一旦降價將按原價回購”的承諾書：在未來兩年后，如果房產價格低于當前購買價，那么兩年后開發商按原價回購，其實質就是一種“降價補差”承諾.由于“降價補差”承諾只能在到期日當天履約，因此該“降價補差”承諾期權為歐式期權，期權的存續期T=2.通過查閱蘇州市透明售房網，可統計得到該樓盤成交均價為1萬元/平方米，即K=1.根據中房指數，可計算得到蘇州市新建住宅價格波動率為σ=0.212.由一年期定期存款利率可知r=0.035.利用“降價補差”承諾期權為歐式期權的解析公式（8），可計算得到各個房產價格S和各個時間t所對應的“降價補差”承諾期權價格，如圖1所示.

2011年11月，杭州“凱威·領駿世界”樓盤也采取了“降價補差”營銷策略.該房產開發商杭州凱威房地產開發有限公司在與購房者簽訂房產銷售合約的同時，與購房者簽訂了一份“跌價補償協議”：即從購房之日起到交付前6個月，凡出現客戶購買商品房所屬項目同批次房源中有5套以上，且成交單價低于約定的基準價，就被視為客戶購買的商品房價格下跌事實成立，開發商將會以實際成交房源的最低單價為基準，來對客戶差額補償.由于“降價補差”承諾能夠在到期日當天或到期前任何一天履約，因此該“降價補差”承諾期權為美式期權，期權的存續期T=2.查閱杭州市透明售房網，可統計得到該樓盤成交均價為2.1萬元/平方米，即K=2.1.根據中房指數，可計算得到杭州市新建住宅價格波動率為σ=0.194.由一年期定期存款利率可知r=0.035.利用基于自適應網格的有限差分策略來離散“降價補差”美式承諾期權定價模型式（11）～式（15），應用迭代投影法可計算得到各個房產價格S和各個時間t所對應的“降價補差”承諾期權價格，如圖2所示.

由上述實證分析可知，房產開發商的“降價補差”承諾是有價值的，并且其價值可由所構建模型計算獲得，從而證實了該模型的合理性.

6總結

應用Δ對沖技巧及It引理，在風險中性的意義下建立了房產開發商“降價補差”承諾期權的偏微分方程定價模型.根據“降價補差”承諾能否在到期前任何一天履約，分別建立“降價補差”歐式承諾期權定價模型和“降價補差”美式承諾期權定價模型.對于“降價補差”歐式承諾期權，得到了期權價格的解析公式；對于“降價補差”美式承諾期權，應用基于自適應的有限差分法對上述模型進行數值計算，得到了相應的“降價補差”美式承諾期權價格.并以歐式“降價補差”承諾期權為例，分析了期權價格對參數的依賴關系.最后對兩個具體的“降價補差”承諾期權案例進行了期權價格計算.此定價方法也可用于諸如家電銷售中的“買貴補差”等承諾期權的定價，以獲得相應的期權價值.

參考文獻

[1]何斌.淺析房地產營銷中的差價補償策略[J].遼寧行政學院學報，2009，11（7）：144-145，153.

[2]姜禮尚，徐承龍，任學敏，等.金融衍生品定價的數學模型與案例分析[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]姜禮尚.期權定價的數學模型和方法[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4]梅樹立.求解非線性BlackScholes模型的自適應小波精細積分法[J].經濟數學，2012，29（4）：8-14.

[5]Zhongdi CEN，Anbo LE. A robust finite difference scheme for pricing American put options with SingularitySeparating method[J]. Numerical Algorithms，2010， 53（4）： 497-510.

[6]P WILMOTT， J DEWYNNE，S HOWISON. Option pricing： mathematical models and computation[M]. Oxford： Oxford Financial Press，1993.

[7]R KANGRO， R NICOLAIDES. Far field boundary conditions for BlackScholes equations[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis， 2000， 38（4）：1357-1368.

[8]R GLOWINSKI， J L LIONS， R TREMOLIERES. Numerical analysis of variational inequality[M]. New York： NorthHolland Press，1984.