立足基礎知識，重視“通性通法”

陳謹師

2014年高考是重慶市2010年高中新課改后的第二次高考，試題遵循《考試說明》中“發揮數學作為基礎學科的作用，既重視考查中學數學基礎知識的掌握程度，又注意考查進入高校繼續學習的潛能”要求，兼顧數學基礎、方法、思維、應用和潛能等方面的考查。試題總體上體現了“穩定和創新”，與2013年試題持平。試卷延續了近幾年高考數學命題的風格，內容豐富，與教材聯系緊密，難易梯度明顯，試卷整體難度適中；試題無偏題怪題，主干知識覆蓋面較廣。試題在題型設置、試卷結構、難度控制等方面都保持了穩定，形成平穩發展的穩定格局。總的來講，今年試題平穩中有創新，科學中有美感，理論性中有應用，既有利于高等學校選拔，又有利于中學素質教育的實施，促進了數學教育改革的發展。

一、特色解讀

（一）考點覆蓋面廣，注重數學本質的考查

選擇題從第1題至第10題，考點依次為復數、數列、統計、函數、算法框圖、簡易邏輯、簡單幾何體、雙曲線、不等式、函數與方程；填空題從第11題至第16題，考點依次為集合、初等函數、三角函數、直線與圓、概率；解答題從第16題至第21題，考點依次為數列、概率、三角、導數、立體幾何、解析幾何。試卷所考查的知識點覆蓋面廣，內容豐富，注重了數學本質及數學核心概念，數學通性通法及知識形成過程和蘊含的數學思想的考查，例如：第7題、第20題考查了空間想象能力和觀察分析問題的能力；第15題體現了運動變化的思想；第3題、第17題考查了數據處理能力；第17題體現了數學的工具性和應用性。

（二）試題難易適中，兼顧能力立意

試題總體上由易到難，結構合理，層次分明，有利于穩定學生考試情緒、正常發揮水平。選擇題第1題至第7題，填空題第11題和第12題，難度都很低，隨后的題目難度逐步加大，比如選擇題最后兩題和解答題的最后兩題，區分度就加大了，對學生綜合應用能力的要求較高，充分體現考試不是簡單計算，而是需要考生運用構建、聯想、推理等進行答題。

（三）注重知識與方法的交匯

今年試題仍然以構成數學知識體系的主干知識為主體，為了對數學基礎知識的考查達到“既全面又突出重點”的考試要求，在強化了對數學基礎考查的同時，也注重了知識與方法的交匯，加強了知識之間的交叉、滲透和組合，體現了知識的綜合性。例如：第9題對數運算結合均值不等式，第15題幾何概型結合線性規劃，第12題對數結合二次函數，第17題統計結合概率，第18題解三角形結合三角運算，第19題函數與導數，第21題圓與橢圓。

（四）試題“生活化”

數學源于生活，又貼近、服務于生活。今年的數學試題非常“生活化”，需要考生利用數學知識解決生活中的各種問題。比如：第3題對初、高中學生進行分層抽樣，第7題的幾何體也是考生平時常見的，第15題的背景是每位考生平時最為熟悉的，第17題是關于20位學生數學成績的統計分析問題。新《課程標準》指出：“教學應該充分利用學生已有的生活經驗，引導學生把已學的數學知識應用到現實生活中去，以體會數學在現實生活中的應用價值。”試題的“生活化”是大勢所趨，體現了課改精神。

二、亮點掃描

題一：（文7）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ）

A.54 B.60 C.66 D.72

【命題立意】本題主要考查三視圖，幾何體的性質特征及其表面積的計算，考查考生的空間想象能力和計算能力，難度中等。

【解題思路】結合正視圖、側視圖、俯視圖以及常見幾何體三視圖的特征，可以想象出該改幾何體是由一個三棱柱沿其上底面的一條棱切去一個三棱錐而得到，亦可看成一個三棱柱和三棱錐疊在一起的組合體。

【亮點評議】本題雖然是一道選擇題，卻考察了《簡單幾何體》這一章節的大部分知識點，是《簡單幾何體》這章的濃縮。“以點蓋面”是本題最大的亮點。

【變式訓練】

變式一：某幾何體的三視圖如圖一所示，則該幾何體的表面積為 .

圖一 圖二

變式二：某幾何體的三視圖如圖二所示，則該幾何體的體積為_________.

題二：（文9）若 則的最小值是（ ）

A. B. C. D.

【命題立意】本題主要考查對數的運算、基本不等式的性質、最值求法，考查考生分析問題及綜合運用數學知識解決問題的能力，考查化歸轉化等思想。本題難度中等偏上。

【亮點評議】本題將對數運算和不等式進行有效結合，通過對數運算最終轉化為學生較為熟悉的利用均值不等式求代數式最值的題型，創意不錯。

【變式訓練】

變式一：已知點P（a，b），（a>0，b>0）和直線l：x+2y=1上的

一點Q之間的最短距離為，則+的最小值是_______.

變式二：已知實數a，b滿足21g（-2）=1g（2+3），則ab的最大值是______.

題三：（文10）已知函數，且

在（-1，1]內有且僅有兩個不同的零點，則實數m的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

【命題立意】本題主要考查分段函數的概念、函數圖象、函數的零點，考查考生分析問題及綜合運用數學知識解決問題的能力，考查數形結合、化歸轉化、方程等思想。本題難度中等偏上。

【亮點評議】本題題型并不新穎，所涉及的函數都是最常見的，最簡單的，卻成為選擇題壓軸題，可見命題者用心良苦，用平凡造就出不平凡。

【變式訓練】

變式一：已知函數的圖象與直線y=mx+m有2個不同的交點，則實數m的取值范圍是______.

變式二：已知函數在（0，1）上有極大值點，在（1，2）有極小值點，則的取值范圍為（ ）endprint

A. B. C. D.

題四：（文15） 某校早上8：00上課，假設該校學生小張與小王在早上7：30—7：50之間到校，且每人在該時間段的任何時間到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為_______ （用數字作答）。

【命題立意】本題主要考查幾何概型的概率求法、二元一次不等式組所表示的區域等基礎知識，考查考生對幾何概型的理解應用，同時也體現運動變化的思想。

【解題思路】本題易判斷是幾何概型，涉及小張和小王的到校時間，易想到用雙變量x，y，從而根據題意得到x，y的約束條件，從而找到可行域，計算出概率。

【亮點評議】本題背景為考生所熟悉，對每位考生都很公平，且與課本例題聯系緊密。可見在高三復習中，“回歸課本”是多么的重要。

【變式訓練】

變式一：在長度為10的線段上任取2點，將線段分成三段，則這三段可以構成三角形的概率是_______。

變式二：利用計算機在（0，1）內產生兩個隨機數a和b，則函數f（x）=x2+ax+b有零點的概率是_______。

變式三：甲、乙兩艘輪船駛向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭，它們在一晝夜內任何時刻到達是等可能的.

（1）如果甲船和乙船的停泊的時間都是4小時 ，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率；

（2）如果甲船的停泊時間為4小時，乙船的停泊時間為2小時，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率.

題五：（文21）如題（21）圖，設橢圓的左右焦點分別為，點在橢圓上，，，的面積為.

求該橢圓的標準方程；

是否存在圓心在y軸上的圓，使圓在x軸的上方與橢圓有兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點，如果有，求圓的半徑。

【命題立意】本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質，直線與直線、直線與橢圓、直線與圓的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力、探索求解能力；考查數形結合、函數與方程等數學思想.

【亮點評議】本題亮點在于利用對稱性能很好地解決第二小題，打破了以往解決圓錐曲線題的固定模式，起到去模式化作用。

【變式訓練】如圖，設橢圓的左右焦點分別為F1，F2，點D在橢圓上，DF1⊥DF2，=.

（1）求該橢圓的標準方程；

（2）是否存在開口向上且以軸為對稱軸的拋物線，使拋物線在x軸的上方與橢圓有兩個交點，且拋物線在這兩個交點處的切線相互垂直并分別過F1，F2. 若存在，求直線y=x被該拋物線截得的弦長； 若不存在，請說明理由。

復習啟示

通過對2014年重慶市的高考數學（文）試題的分析，我認為在今后的數學教學和復習中應該注意以下幾點：

（一）突出主干知識結構，扎實打好知識基礎，回歸教材

常規題型依然是高考試卷的主流，主干知識支撐了整個試卷，考查的幾乎都是現行高中數學教材中最基本、最重要的數學知識和數學思想方法。高三復習應改變以往片面追求“新、奇、怪”的極端做法，回歸教材，狠抓基礎，靈活運用知識處理分析問題。研究高考試題，以高考試題為范例展開發散思維，變式演練，以主干知識復習為核心，突出重點，目標明確，通法通解，狠抓實練。數學知識結構的形成和發展，是一個知識積累、梳理的過程。在教學和復習中，應注意各部分知識在各自發展過程中的縱向聯系，以及各部分知識之間的橫向聯系，理清脈絡，構建知識網絡，充分重視主干知識的支撐作用。

（二）重視知識的形成，深化和提高數學理性思維能力

數學基礎知識的學習要充分重視知識的形成過程，解數學題要著重研究解題的思維過程，弄清基本數學方法和基本數學思想在解題中的意義和作用，研究運用不同的思維方法解決同一個數學問題的多條途徑，注意猜想，歸納抽象，邏輯推理，演繹證明，運算求解等理性思維能力。

（三）規范解答

能否考高分，規范解答至關重要。在平時復習中，建議做好以下幾點：保持良好的答題心態；用好考前5分鐘；合理分配答題時間；做題順序先易后難；會做的題目要集中精力解答，語言表述要規范，避免無謂失分；碰到拿不準的題要把會做的寫出來，不要留尾巴；碰到難題既不能輕易放棄，也不要抓住不放；草稿紙的使用要得當；注意填涂答題卡。

（四）調整心態，增強應變

適當地注重學生的心理素質的培養，使他們經受挫折和失敗的考驗，增強抵抗壓力的能力，增強適應各種題型的應變能力。endprint