淺談高中數學的概念變式教學

隋明湖 鄭美華

數學概念在數學知識體系中有重要的地位，它的有效獲得和掌握可以幫助學生在沒有直接經驗的條件下獲得抽象觀念，這些所獲的觀念可以成為同化或發現新知的“固著點”，也可以成為學生在新情景下概念學習時分類的起點；同時，數學概念之間也可以組成具有潛在意義的命題，它充當著知識網絡中的節點。

高中數學概念變式教學變式原則一、概念變式的理論基礎和關鍵

概念變式就是變更概念中的非本質特征，變換問題中的條件或結論的形式或內容，從而使學生獲得深刻的理性認識，提高識別、應變、概括的能力。變式教學被教師在課堂教學中充分應用，它對發展學生能力，拓展學生思維方面有重要的作用。與重復練習的數量相比，在教學中應當更加關注練習中所包含的變異的性質。

首先，在概念的習得階段，教師應提供盡可能多的特例，包括較多的正例和一些反例，使學生獲得較大的辨別空間。學生通過兩種辨別，一辨“是”與“不是”，將正反例區分開來；二辨正例特有的共同屬性，就能較為迅速地初步抽象出所學概念的本質屬性，甚至直接得出概念的定義。

其次，在概念的鞏固階段，教師應充分地“變換”概念，讓學生從各個不同的側面來認識概念。這里的“變”又有兩種“變化”：一種是形變實不變，讓學生能辨“是”；另一種是實變形不變，讓學生能辨“非”。通過這兩種變化，提高學生的辨別能力，求得學生對概念的理性把握。

二、在概念教學過程中運用變式

（一）變式在概念形成階段的應用

由概念教學模式：操作——表象——定義——運用——體系，我把教學過程中的操作、表象和得出概念的定義三個環節理解為概念形成階段對概念的教學要求。這個階段的概念教學主要是獲得概念的本質屬性，弄清概念的內涵，屬于對概念的具體層面掌握。在這個環節的教學中，我們應注重提供特例、正例、反例或充分利用原型對概念進行變式教學，通過變式以加深概念的本質屬性。變式的形式豐富多彩，如可以利用圖形變式、語言變式、符號變式等。對于幾何概念，較多的可以采用圖形變式，通過直觀形式刺激，形成概念；對于陳述性語義的概念，則可以通過語言的變式；而用數學符號表示的概念則可以利用符號變式。

案例1（正三棱錐的概念教學）：底面是正三角形，過頂點向底面作垂線，垂足是底面的中心，學生可能對圖（1）的形式比較熟悉，該圖中底面△？ABC為正三角形，0為正三角形中心。而把它倒放的圖（2）中，學生在認知上并不能很順利地歸納到自己的認知結構中，因此通過呈現感知，加強空間想象力。

對于立體幾何空間位置關系概念的教學中，可以設計圖形變式，通過變換圖形的形狀和位置，多樣化、多角度呈現圖形的非本質屬性，豐富學生的直觀感知，加深對空間概念的理解和想象，從而克服思維定勢帶來的負作用，發展思維的深刻性和廣闊性。這些環節的設置，可以在較短時間內增強學生的空間想象力。

（二）變式在概念深化過程的應用

在操作——表象——定義——運用——體系中，我把概念深化理解為形成概念階段之后與運用概念解決問題之前這個階段，為什么這樣處理呢？那是因為根據教學實際經驗，不同的學生個體，在運用概念這個環節中，有較大的差異性，有些學生在獲得概念定義之后，能較快地理解概念的內涵和外延，區分概念的本質屬性和無關屬性，從而在不同的場景中正確應用，解決問題，他們的遷移能力就強。如在獲得映射的概念后（對于給定的兩個集合A，B，對于集合A中的任意一個元素在集合B中有唯一的元素和它對應，則稱該對應為A到B的一個映射），有的就能正確判斷：

案例2：下列對應是集合M到集合N的映射的是（D）

A.M=N=R；B.M=N=R；C.M=N=R；D.M=N=R

在概念教學過程中構建概念深化的環節，以便能順利地運用概念解決問題。通過概念深化，主要可以拓展概念外延，使學生對概念的理解由直感感知到理性抽象，完整建構整個概念。

（三）變式在概念運用環節的應用

概念教學的終極目標是解決問題，使學生在解決問題的過程中提高能力，優化思維過程，完善認知結構。因此，概念教學過程概念的運用是既是教學目標也是對概念的進一步鞏固和掌握。運用變式手段，多角度對概念的本質和外延進行實踐應用，從而有效建構概念，使概念的清晰本質納入到自己的認知結構中。

案例3（直線和平面所成角的概念的應用）：設計如下的題組：

（1）直線固定不變，把平面作各種不同的變式，如甲圖的正方體中求①BD1和下底面AC所成的角；②BD1和對角面A1C所成的角；③BD1和截面A1BC1所成的角；

（2）平面的位置不變，把直線作各種位置的變式，如圖乙正方體中求：

①BB1和截面A1BC1所成的角；②AC和截面A1BC1所成的角；③B1C和截面A1BC1所成的角。

三、合理變式，把握三個度和四個原則

任何事物都要合理恰當運用，否則將過猶不及，變式策略在概念教學過程中應用也一樣。應遵循以下三個基本原則：第一，在問題的外貌特征上，后一問題應與前一問題相近；第二，在問題的內在結構上，后一問題應與前一問題相近；第三，在變異增加的數量上，每一問題應該逐漸增加，題次不宜增加過多；第四，在變異增加的內容上，應該從簡單到復雜，從具體到抽象。因此，基于問題變式編排的四原則，教師在概念變式教學過程中，應把握以下三個度：第一，題目的變式難度要有“剃度”，要循序漸進，不可“一步到位”；第二，問題變式的數量要“適度”，不能多多益善，否則就成了題海戰，降低學生學習的積極性；第三，變式情景要的創設要能激發學生的“參與度”，喚起學生的求知欲，避免“高投入，低產出”情況，事倍功半。只有合理把握上述的三度和四原則，才能發揮變式概念教學的積極教學意義。

四、變式教學的教學意義

通過教學實踐發現，在概念教學過程中恰當地設置變式問題，對教學內容及學生個體能力，都能產生積極的促進作用。首先，在解決層層遞進設置變式問題過程中，可以有效地呈現概念的本質屬性、清晰概念的內涵及外延，以積累問題解決的“經驗”。其次，對發展學生個體能力、培養思維品質而言，通過引導學生對所研究的概念從不同的角度去認識，并用不同的方法進行解決，提高學生遷移能力，辨別分析問題的能力以及正確的判斷能力，最終發展學生的創新能力。

概念教學是數學教學的核心和基石，許多對數學學習有困難的學生，大部分對概念的理解是不完整和不清晰的，因此我們在教學過程中，應最大限度地發揮變式教學的作用。

參考文獻：

[1]徐汝成.馬登理論及其對數學教學的啟示[J].數學教育學報，2002，（2）.