基于循環矩的高階調制PCMA信號的參數估計*

曹玉健， 趙宇峰， 涂世龍， 戴旭初

(1中國科學院無線光電通信重點實驗室中國科學技術大學信息科學技術學院 合肥 230026 2盲信號處理重點實驗室 成都 610041)

引 言

通信信號的特征參數估計是非協作通信中很重要的研究課題，參數估計的準確與否對于后續的信號解調和分析有著至關重要的作用。成對載波多址(PCMA)是一種能夠節省傳輸帶寬的衛星通信信號多址方式［1］。對于單通道非協作接收到的PCMA信號來說，能否從時頻混疊的信號中獲得信號參數的準確估計是PCMA信號分離和解調的關鍵。

對于PCMA信號，需要估計的參數有符號率、頻偏、載波相位、信號延時、信號功率等。目前，已有一些研究者從不同的角度，提出了一些PCMA信號或同頻混合信號的參數估計方法。例如，文獻［2］在假設其它參數已知和發送端的符號序列已知的情況下，對PCMA系統中的干擾信號幅度進行了估計;文獻［3］利用PCMA信號包絡的差分信息來估計信號的符號率;文獻［4］則利用最大似然方法估計同頻混合信號的時延;文獻［5］研究了相位調制PCMA信號的譜線特征，并給出了時延的估計方法;文獻［6］基于循環延遲自相關方法，提出了同頻混合數字調制信號時延的閉式估計方法?？傮w而言，現有的關于PCMA參數估計的研究基本上都針對低階調制的PCMA信號(如BPSK、QPSK等)，而且其估計方法和算法都要求部分參數已知，且僅對個別的參數進行估計。而高階調制PCMA信號(如8PSK、16QAM等)的參數估計，仍未得到深入研究。

本文首先介紹循環矩的定義及其性質，并分析高階調制PCMA信號參數與二階、四階和八階循環矩譜的關系。在此基礎上，設計了高階調制PCMA信號所有特征參數的估計方法，包括符號率、殘留頻偏、傳輸信道衰落系數、初始相位和定時誤差估計。然后，根據本文提出的參數估計方法的特點，針對工程應用給出了循環矩的實用化估計方法。最后，通過仿真實驗驗證本文提出的高階PCMA信號參數估計方法的有效性。

1 信號模型和問題描述

一個單通道接收機接收到下行PCMA信號，對其作放大、變頻等處理后，基帶信號y(t)可表示為

其中，T為發送符號的周期，si(n)為發送端傳輸的符號序列，且s1(n)、s2(n)具有相同的調制星座圖，因本文考慮的是高階調制，故為等效的傳輸衰落系數，通常在一個數據幀內，hi是恒定不變的;Δfi表示數字調制信號經過下變頻后殘留的頻偏，θi為初始相位，εi為定時誤差，且表示等效的基帶成形濾波器，本文采用滾降系數為βi的升余弦滾降濾波器為零均值、功率為σ2v的平穩復高斯白噪聲，且獨立于s1(n)、s2(n)。

在式(1)和式(2)表示的PCMA信號模型中，殘留頻偏Δfi比較小，通常Δfi·T在10-5～10-2量級，且Δf1≠Δf2。另外，由于s1(n)、s2(n)的符號率相同、調制方式相同，因此y1(t)和y2(t)在時域上完全重疊，頻域上也幾乎完全重疊。但是，數字調制信號具有循環平穩特性，其循環頻率(循環平穩周期)與Δfi和T有關。

本文要研究的問題是:基于上述信號模型和循環平穩理論，探討只利用接收到的單通道混合信號y(t)來估計高階調制PCMA信號參數的方法和實現算法，需要估計的參數包括T、Δfi、hi、θi、εi。

2 高階調制PCMA信號的循環矩(譜)特性

2.1 循環平穩信號的時變矩和循環矩

循環平穩信號x(t)的k階時變矩［7］定義如下

其中，(*)j表示是否對第j個因子取共軛，m表示k階矩中取共軛的數目。它的傅里葉變換

稱為x(t)在循環頻率α的k階循環矩，式中［*］t表示時間平均。通常，將k＞2的循環矩稱為高階循環矩。

由時變矩和循環矩的定義，可以得到循環矩譜具有下列三個性質

性質1:如果x(t)是k階平穩信號，則當α≠0時，有Mαx(k，m)=0;

性質2:如果x(t)是k階循環平穩信號，時變矩是周期為T的周期函數，即k，m)，p為任意整數，則有

性質3:在k和m給定的情況下，是循環頻率α的函數，此時也稱為循環矩譜。如果循環矩譜存在離散譜線，則x(t)一定是k階循環平穩信號。

由于MQAM的循環矩(譜)具有類似的特性，后續分析將以16QAM和8PSK信號為例，具體研究這兩類數字調制信號的循環矩特征。

2.2 16QAM數字調制信號的循環矩譜特征

16QAM數字調制信號可表達為

2.2.1 二階時變矩mx(t，2，1)和二階循環矩譜

根據式(3)的定義和式(6)，可以得到x(t)的二階時變矩mx(t，2，1)為

很明顯，mx(t，2，1)是周期為T的周期函數，其傅里葉變換為

其中B2(f)是g2(t)的傅里葉變換，即B2(f)=G(f)*G(f)，G(f)是滾降系數為β的升余弦濾波器g(t)的傅里葉變換，*表示線性卷積，δ(f)是沖激函數。

可見，16QAM數字調制信號具有二階循環平穩性，其非零的循環頻率為α=±1/T，且與Δf無關。

2.2.2 四階時變矩mx(t，4，0)和四階循環矩譜

16QAM數字調制信號x(t)的四階時變矩mx(t，4，0)為

其中C是與調制星座圖有關的常量，對于16QAM數字調制信號，C=-68。

由式(10)可知，mx(t，4，0)是周期函數，其周期為T。利用傅里葉變換性質，可得到其四階循環矩譜為

式(11)中的B4(f)是g4(t)的傅里葉變換。

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因此，16QAM數字調制信號具有四階循環平穩性，其非零的循環頻率為α=4Δf，4Δf±1/T，4Δf±2/T。由于B4(f)隨著f增大而減小，所以有

2.3 8PSK數字調制信號的循環矩譜特征

8PSK數字調制信號可表示為

與16QAM數字調制信號類似，8PSK數字調制信號的二階時變矩為

比較式(7)和式(15)可知，8PSK數字調制信號的二階時變矩也是周期為T的周期函數，其二階循環矩譜非零的循環頻率為

根據時變矩的定義，易知8PSK數字調制信號的四階時變矩均為0，但八階時變矩不為零，有

經過推導，其八階循環矩譜為

其中B8(f)是g8(t)的傅里葉變換。由式(17)可知，8PSK數字調制信號具有八階循環平穩性，由于B8(f)的帶限特性和隨著f增加的衰減特性，其非零的循環頻率為通常取n≤2，且循環頻率越大，其對應的譜線幅度越小，即

2.4 高階調制PCMA信號的循環矩(譜)特征

對于式(1)和式(2)表示的PCMA信號，利用噪聲v(t)的平穩性，以及s1(n)、s2(n)和v(t)之間的相互獨立性，可以很容易得到下列結論。

①對于8PSK和16QAM PCMA信號，有

即對于PCMA信號，Mfy(2，1)只在處有離散譜線。

②對于16QAM PCMA信號，有

③對于8PSK PCMA信號，有

3 參數估計方法

根據第2節的分析可知，對于高階調制PCMA信號，其二階、四階或八階循環矩譜存在離散譜線，而譜線包含了PCMA信號中的特征參數信息，本小節將討論利用循環矩譜中離散譜線的位置、幅度和相位信息來估計PCMA信號中兩個分量信號參數的方法。

3.1 符號率和殘留頻偏的估計

PCMA信號的循環頻率中含有符號率和殘留頻偏信息，因此只要通過循環矩譜確定離散譜線位置，即可獲得循環頻率，從而得到符號率和殘留頻偏的估計。

3.1.1 符號率的估計

由式(19)可知，不論是8PSK還是16QAM PCMA信號，其在0，處都有離散譜線，因此可將在f≠0處的最大值所對應的頻率點作為符號率的估計，即

3.1.2 殘留頻偏的估計

①16QAM PCMA信號的殘留頻偏估計

其次，在集合Ω1中找到的最大值所對應的循環頻率，便可獲得一個殘留頻偏的估計，不失一般性，假設此時得到的是Δf1的估計，即

最后，去掉Ω1中與Δf1有關的元素，即4Δf1±n/T，得到子集Ω2:{4Δf2±n/T;n=0，1，2}，進而獲得Δf2的估計，即

②8PSK PCMA信號的殘留頻偏估計

對8PSK PCMA信號，由式(21)易知其八階循環頻率集合結合式(18)可知，8PSK八階循環矩譜的離散譜線結構和特征與16QAM的四階循環矩譜類似，故8PSK PCMA信號的殘留頻偏估計方法與16QAM的相同，即

3.2 傳輸衰落系數的估計

根據式(12)、(17)、(20)、(21)，可得到循環矩與傳輸衰落系數hi的關系。對于16QAM PCMA信號，有

同理，對于8PSK PCMA信號，有

應該注意到，hi、B4(0)、B8(0)、C和T都是實數，因此，hi的估計為

對于16QAM PCMA信號

對于8PSK PCMA信號

由于滾降系數βi∈［1/3，1/2］，且通過數值計算可知，B4(0)、B8(0)隨不同βi值的變化不大，因此在實際應用中，取B4(0)≈0.64、B8(0)≈0.46即可。

3.3 初始相位和定時誤差估計

初始相位θi和定時誤差εi包含在離散譜線的相位信息中，根據式(12)、(17)、(20)、(21)，并注意到B4(f)和B8(f)是實偶對稱的，則可以利用循環矩譜中離散譜線的相位估計εi和θi。

對于16QAM PCMA信號

式中arg(z)表示對復數z求相角。

對于8PSK PCMA信號

3.4 循環矩譜的估計

由前文的討論和分析可知，參數估計是通過y(t)的二階、四階或八階循環矩譜來獲得。在實際應用中，二階、四階或八階循環矩譜是利用有限長的接收數據來估計的。

不失一般性，假設以采樣頻率fs對接收信號y(t)進行采樣，得到接收信號的數據序列y(n)=y(t)|t=nTs，其中Ts=1/fs。為了防止頻譜混疊，同時降低帶外噪聲的影響，通常選取fs≥Pfb，fb=1/T，P≥4。若用長度為N的數據y(n)來估計循環矩譜，則y(t)的二階、四階或八階循環矩譜的估計為其中DFT［·］表示對序列進行離散傅里葉變換，通常用FFT算法來實現。

根據統計估計理論可知，循環矩譜的估計誤差主要與數字信號的調制階數、循環矩譜的階數、信噪比、數據長度等諸多因素有關，在相同的估計誤差條件下，調制階數越高、循環矩譜的階數越高、信噪比越低，所需要的數據長度越大。通過仿真實驗，我們看到，為獲得穩定可靠的估計，估計(2，1)、(4，0)和(8，0)所需要的數據長度分別不小于P·103、P·105和P·107，直接計算如此大長度的DFT，給實際的工程應用帶來了很大的困難。下面根據本文參數估計方法的特點，給出有利于工程實現的循環矩(譜)的估計方法。

3.4.1 基于分段疊加的循環矩譜估計

符號率和殘留頻偏的估計只需要利用循環矩譜中離散譜線的位置信息，不要求幅度和相位的準確性，因此可考慮將長的數據序列分成若干段較短的序列，分段計算每段數據的時變矩。然后將分段數據的時變矩進行疊加平均后計算DFT，以獲得離散譜線的位置。最后利用修正技術對離散譜線的位置進行修正，從而獲得較為準確的循環頻率估計。

不失一般性，假設將長度為N的數據分成K段，每段長度為Q，即N=KQ。以8階循環矩譜的估計為例，令yk(q)=y8(q+kQ)，q=0，…，Q-1，k=0，…，K-1，則8階循環矩譜分段疊加估計為

當用FFT來計算式(39)時，由于FFT的長度為Q，故循環矩譜的頻率分辨率為由于數據長度Q較短，FFT估計的頻譜存在柵欄效應，離散譜線對應的頻率值可能不等于理論上的循環頻率。此時直接提取譜線位置來估計符號率和殘留頻偏存在誤差，最大估計誤差為因此有必要對直接估計結果進行修正，具體修正方法見文獻［8］。該方法具有計算量小、修正效果明顯的優點，受篇幅限制，這里不再贅述。仿真實驗表明，采用修正技術后，循環頻率的估計精度能夠提高1～2個數量級。

3.4.2 基于遞推計算的特定循環頻率的循環矩估計

與符號率和殘留頻偏的估計不同，傳輸衰落系數、初始相位和定時誤差的估計利用的是“特定循環頻率點”上循環矩的幅度和相位信息。為了降低運算量，同時保證估計精度，可以采用隨時間遞推的方法估計特定循環頻率的循環矩。

由此可得M(n)隨時間遞推的估計關系式

利用式(41)對特定循環頻率的循環矩進行估計，由于在每個時刻的計算量非常小，因此該方法非常適合于工程應用。另外，隨著n的不斷增加，M(n)能夠逐漸地逼近理論值。

4 仿真實驗及分析

本小節將通過MATLAB仿真實驗，驗證本文提出的參數估計方法的有效性，并考察其性能特點。

仿真實驗中，符號率、殘留頻偏、采樣率都采用相對于符號率歸一化的參數，即T=1，采樣率fs=4，Δf1和Δf2分別在范圍內隨機選取。其它參數設置為初始相位θi隨機選取;接收信噪比SNR定義為y1(t)和y2(t)的平均帶內信噪比。另外，在估計二階、四階和八階循環矩時，所用的符號數分別是107個，分段疊加法估計循環矩譜時，每個分段的長度是5×103個符號。所有的性能曲線都是通過對100次蒙特卡羅實驗的結果進行平均獲得的。

圖1是PCMA信號符號率、殘留頻偏估計的相對誤差與信噪比關系的仿真曲線，其中符號率估計的相對誤差定義為為符號率的估計值;殘留頻偏估計的相對誤差定義為兩個殘留頻偏估計的相對誤差的平均值，即和分別是兩個殘留頻偏的估計值。從圖1可以看出，當信噪比大于12dB時，不管是16QAM或者是8PSK PCMA信號，其符號率和殘留頻偏估計的相對誤差都在10-7～10-6量級;但是當信噪比小于12dB時，8PSK PCMA信號的殘留頻偏估計性能隨信噪比降低迅速惡化，這主要是因為八階循環矩的估計對噪聲比較敏感，而二階和四階循環矩的估計對噪聲不敏感。

圖2是PCMA信號傳輸衰落系數估計的相對誤差與信噪比關系的仿真曲線，這里相對誤差定義為由圖2可知，當信噪比大于16dB時，16QAM PCMA信號和8PSK PCMA信號傳輸衰落系數的估計性能接近，相對誤差大約在當信噪比小于14dB時，16QAM PCMA信號傳輸衰落系數的估計性能要優于8PSK PCMA信號，其原因也是八階循環矩的估計對噪聲比較敏感。

圖1 符號率、殘留頻偏的估計性能與信噪比的關系Fig.1 The estimation performances of symbol-rate and frequency offsetwith SNR

圖3和圖4分別是PCMA信號初始相位和定時誤差的估計性能與信噪比的關系曲線?？梢钥闯觯斝旁氡却笥?6dB時，初始相位、定時誤差估計的絕對誤差都在10-3量級，而且16QAM和8PSK PCMA信號的估計性能非常接近，但是當信噪比小于14dB時，16QAM PCMA信號的估計性能要優于8PSK PCMA信號，與傳輸衰落系數估計性能的特點一致。

圖2 傳輸衰落系數的估計性能與信噪比的關系Fig.2 The estimation performances of channel fading coefficientswith SNR

綜合上述仿真結果，可以看出:①由于符號率和殘留頻偏估計只利用了離散譜線的位置信息，而傳輸衰落系數、初始相位和定時誤差估計利用的是離散譜線的幅度或相位信息，因此符號率和殘留頻偏的可靠估計對信噪比的要求比其它參數的可靠估計大約低2～3dB;②在相同的信噪比條件下，8PSK PCMA信號參數估計的總體性能比16QAM PCMA信號略差;③高階調制PCMA信號參數估計性能主要與使用的數據長度、信噪比、兩個分量信號的功率差等因素密切相關，進一步的仿真實驗表明，當兩個信號的功率差大于3dB時，小功率信號參數的估計性能將明顯下降，特別是對8PSK PCMA信號，受篇幅限制，這里不再展開討論，將另文闡述。

圖3 初始相位的估計性能與信噪比的關系Fig.3 The estimation performances of initial phases with SNR

圖4 定時誤差的估計性能與信噪比的關系Fig.4 The estimation performances of timing errors with SNR

5 結束語

本文以非協作接收PCMA信號為背景，以循環統計量為工具，對高階調制PCMA信號的參數估計問題進行深入分析研究。通過對8PSK和16QAM PCMA信號循環矩的細致分析，獲得了其二階、四階和八階循環矩(譜)與信號諸多參數關系的解析表達式。在此基礎上，針對高階循環矩計算需要很長數據的問題，我們根據估計算法的特點，給出了高階循環矩(譜)的實用化估計方法，即基于分段疊加的循環矩譜估計和基于遞推計算的循環矩估計，為本文提出的參數估計算法的工程實現奠定了基礎。仿真實驗結果表明，利用高階循環矩可以對高階調制PCMA信號參數進行有效估計，且估計精度能夠滿足工程應用要求。

需要指出的是，本文給出的16QAM PCMA信號的參數估計方法同樣適用于32QAM、64QAM等高階QAM PCMA信號。另外，當8PSK PCMA信號中的兩個分量信號的功率差大于3dB時，本文算法對較小功率分量信號的參數估計性能將明顯下降，需要采用一些新的方法或措施改進本文算法，目前該項研究工作正在進展中。

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