撥云見(jiàn)日 變“誤”為“悟”

摘 要：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)長(zhǎng)期而復(fù)雜的過(guò)程，而且作為一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)課堂中發(fā)生的錯(cuò)誤相對(duì)其他學(xué)科而言，更顯得經(jīng)常而頻繁。在新課程教學(xué)觀中，有一個(gè)被普遍認(rèn)同的法則即“錯(cuò)誤也是一種資源”， 這種錯(cuò)誤往往具有很大的可開(kāi)發(fā)性和利用價(jià)值。筆者在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)鼓勵(lì)質(zhì)疑、嘗試錯(cuò)誤、挖掘錯(cuò)誤、利用錯(cuò)誤、淡化錯(cuò)誤和整理錯(cuò)誤的實(shí)踐方法，幫助教師轉(zhuǎn)變對(duì)錯(cuò)誤的觀念，并利用錯(cuò)誤，挖掘文本內(nèi)涵，培養(yǎng)學(xué)生的承挫能力、反思能力和舉一反三的能力。從而使學(xué)生觸類旁通、享受矯正錯(cuò)誤發(fā)現(xiàn)新知的快樂(lè)。

關(guān)鍵詞：課堂；錯(cuò)誤；反思

一、問(wèn)題的提出

新的課程改革倡導(dǎo)新的課程觀，它要求教師要充分挖掘課程資源。教材是實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)、實(shí)施教學(xué)的重要資源。但它卻不是唯一的資源，教學(xué)中的錯(cuò)誤就是一種重要的課程資源，錯(cuò)誤伴隨著教學(xué)的始終，它有時(shí)發(fā)生在教師方面，有時(shí)發(fā)生在教材本身，有時(shí)發(fā)生在學(xué)生方面。善于挖掘并運(yùn)用形形色色的錯(cuò)誤，將會(huì)給課堂教學(xué)帶來(lái)蓬勃生機(jī)與活力。恩格斯曾說(shuō)：“最好的學(xué)習(xí)就是在錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)。”讓學(xué)生經(jīng)歷錯(cuò)誤，認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤，糾正錯(cuò)誤才可能更好地防止錯(cuò)誤。教育心理學(xué)家也認(rèn)為，錯(cuò)誤就是通向成功的階梯，學(xué)生犯錯(cuò)的過(guò)程應(yīng)看作是一種嘗試的過(guò)程。通過(guò)不斷的嘗試，學(xué)生的認(rèn)知水平才可能得以不斷的提升。所以，錯(cuò)誤并不可怕。

在實(shí)際教學(xué)中，許多數(shù)學(xué)教師視錯(cuò)誤為禍害。老師們通常更多看到的是錯(cuò)誤的消極方面，因?yàn)樗环辖處煹慕虒W(xué)預(yù)設(shè)，阻礙了教學(xué)進(jìn)度，因而我們對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤處置或表情冷漠，或斥責(zé)批評(píng)，不但沒(méi)有使學(xué)生的錯(cuò)誤得到改善，反而挫傷了學(xué)生的積極性和自尊心，長(zhǎng)此以往，學(xué)生非常擔(dān)心出錯(cuò)，在學(xué)生眼中，錯(cuò)誤意味著失敗，意味著恥辱，上課也總是擔(dān)心被提問(wèn)，更不敢在課堂上主動(dòng)發(fā)言，影響了學(xué)習(xí)的效果。教師們也都在“努力”不讓學(xué)生犯錯(cuò)。即便是面對(duì)學(xué)生有價(jià)值的錯(cuò)誤，教師通常采取回避的態(tài)度：要么輕易否定、不予理睬，并叫其他同學(xué)作答，直至得到教師滿意的答案為止；要么因沒(méi)聽(tīng)清學(xué)生的想法而草率解釋，并把正確答案再講一遍，直至學(xué)生“認(rèn)可”為止！過(guò)度地防錯(cuò)、避錯(cuò)，缺乏對(duì)錯(cuò)誤的欣賞與容納，使學(xué)生的好奇心、求知欲以及大膽嘗試的探索意識(shí)被壓抑乃至被扼殺，所伴隨生成的個(gè)性特征和思維特征必然是謹(jǐn)小慎微、害怕出錯(cuò)。一條缺少岔路的筆直大道，使我們的學(xué)生失去了很多觸類旁通的機(jī)會(huì)，同時(shí)也失去了矯正錯(cuò)誤和發(fā)現(xiàn)新知的快樂(lè)。

錯(cuò)誤資源化研究在數(shù)學(xué)領(lǐng)域研究開(kāi)發(fā)較早，研究也較鼎盛，取得了令人矚目的成績(jī)，效果自然是很明顯的。特級(jí)教師華應(yīng)龍多年研究“差錯(cuò)資源化”，他主張“課堂因差錯(cuò)而精彩”，讓學(xué)生從“誤”到“悟”。他還說(shuō)“錯(cuò)了，也不白錯(cuò)，抓住“她”好好欣賞，看看能從中學(xué)到些什么！”本課題將針對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中產(chǎn)生的錯(cuò)誤資源進(jìn)行一些有益的嘗試、探索與研究。

二、研究的任務(wù)

1.基本概念詮釋——錯(cuò)誤資源的概念

課程資源是形成課程的要素來(lái)源及實(shí)施課程的必要條件，教學(xué)過(guò)程是一個(gè)動(dòng)態(tài)生成資源、提升資源的過(guò)程。新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：教師要充分尊重學(xué)生的個(gè)體差異，關(guān)注每一個(gè)學(xué)生的發(fā)展，允許學(xué)生憑著自己喜歡的方式進(jìn)行個(gè)性化選擇。但由于學(xué)生的認(rèn)知方式與思維策略的不同，以及認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)能力的差異，因此在我們的數(shù)學(xué)課堂中，經(jīng)常會(huì)有學(xué)生出錯(cuò)。錯(cuò)誤中包含了認(rèn)知個(gè)體大量的信息和已有的經(jīng)驗(yàn)，客觀地反映了個(gè)體的心理特點(diǎn)，所以我們要用資源的眼光來(lái)看待這些的錯(cuò)誤，這種錯(cuò)誤往往具有很大的可開(kāi)發(fā)性和利用價(jià)值。本文所謂學(xué)生錯(cuò)誤資源是指課堂教學(xué)和學(xué)生的作業(yè)中憑著自己已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)某一知識(shí)作出淺層的、有失偏頗的錯(cuò)誤判斷而生成的，那些能通過(guò)師生雙邊互動(dòng)，在集體識(shí)錯(cuò)、思錯(cuò)、糾錯(cuò)過(guò)程中提升學(xué)生能力的課程資源。

2.研究的理論依據(jù)

（1）建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀： “學(xué)習(xí)并非學(xué)生對(duì)于教師所授予知識(shí)的被動(dòng)接受，而是以其自身已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)。”學(xué)生的認(rèn)識(shí)必然有一個(gè)深化和發(fā)展的過(guò)程，包括出現(xiàn)一定的錯(cuò)誤和反復(fù)。為此，對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中所發(fā)生的錯(cuò)誤應(yīng)當(dāng)采取更為理解的態(tài)度，不應(yīng)簡(jiǎn)單地予以否定，而應(yīng)努力發(fā)現(xiàn)其中的合理成分和積極因素。學(xué)生的錯(cuò)誤不可能單獨(dú)依靠正面的示范和反復(fù)的練習(xí)得以糾正，必須是一個(gè)“自我否定”的過(guò)程，而“自我否定”又以自我反省，特別是內(nèi)在的“觀念沖突”作為必要的前提。有效幫助學(xué)生糾正錯(cuò)誤，教師就應(yīng)十分注意如何提供或創(chuàng)造適當(dāng)?shù)耐獠凯h(huán)境來(lái)達(dá)到這個(gè)目的。

（2）英國(guó)心理學(xué)家貝恩布里奇說(shuō)：“錯(cuò)誤人皆有之，作為教師不利用是不可原諒的。”每個(gè)學(xué)生都有分析、解決問(wèn)題和創(chuàng)造的潛能，都有一種與生俱來(lái)的把自己當(dāng)成探索者、研究者、發(fā)現(xiàn)者的本能。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生是活動(dòng)的主體，而學(xué)生犯錯(cuò)的過(guò)程就是一種嘗試和創(chuàng)新的過(guò)程。課堂是學(xué)生出錯(cuò)的地方，出錯(cuò)是學(xué)生的權(quán)力。

（3）葉瀾教授在《重建課堂教學(xué)過(guò)程》一文中提到：“學(xué)生在課堂活動(dòng)中的狀態(tài)，包括他們的學(xué)習(xí)興趣、注意力、合作能力、發(fā)表的意見(jiàn)和觀點(diǎn)、提出的問(wèn)題與爭(zhēng)論乃至錯(cuò)誤的回答等，都是教學(xué)過(guò)程中的生成性資源。”課堂教學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)生成的過(guò)程，學(xué)生的學(xué)習(xí)錯(cuò)誤具有不可預(yù)見(jiàn)性，而這樣的錯(cuò)誤又往往是學(xué)生思維的真實(shí)反映，蘊(yùn)含著寶貴的“亮點(diǎn)”，讓學(xué)生充分展示思維過(guò)程，探求其產(chǎn)生錯(cuò)誤的內(nèi)在因素，則能有針對(duì)性地展開(kāi)教學(xué)，有利于學(xué)生的自主建構(gòu)。

（4）錯(cuò)誤分析理論認(rèn)為：學(xué)習(xí)者犯錯(cuò)誤是學(xué)習(xí)過(guò)程中的一種正常現(xiàn)象，犯一些錯(cuò)誤是學(xué)習(xí)中的必經(jīng)階段。學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程本身就是一個(gè)漸進(jìn)的、需要長(zhǎng)期的積累和實(shí)踐的、不斷犯錯(cuò)的過(guò)程。因此，作為一門(mén)外語(yǔ)，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中勢(shì)必會(huì)出現(xiàn)一些錯(cuò)誤，教師要及時(shí)發(fā)現(xiàn)他們的錯(cuò)誤，并給予指導(dǎo)和幫助，讓錯(cuò)誤順化學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，將正確理解融入其自身的知識(shí)體系。

三、錯(cuò)誤資源的有效教學(xué)策略

在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生是活動(dòng)的主體，而學(xué)生犯錯(cuò)的過(guò)程就是一種嘗試和創(chuàng)新的過(guò)程。教師只有具備“主動(dòng)應(yīng)對(duì)”的新理念，變學(xué)習(xí)錯(cuò)誤為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的契機(jī)，才會(huì)看到錯(cuò)誤背后的成功，讓其發(fā)揮出應(yīng)有的價(jià)值，折射出燦爛的光芒。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程是一個(gè)再創(chuàng)造的過(guò)程，對(duì)待錯(cuò)誤教師應(yīng)留給學(xué)生充分“講理”的機(jī)會(huì)，順應(yīng)學(xué)生的思維，挖掘錯(cuò)誤背后的創(chuàng)新因素，細(xì)心呵護(hù)學(xué)生創(chuàng)新的萌芽，適時(shí)、適度地給予點(diǎn)撥和鼓勵(lì)，使其茁壯成長(zhǎng)，為課堂教學(xué)增添生命的活力。

1.正視錯(cuò)誤，顯露真實(shí)課堂

在學(xué)習(xí)過(guò)程中，正確有時(shí)很可能是一種模仿，可錯(cuò)誤卻是學(xué)生的一種學(xué)習(xí)原生態(tài)，是最真實(shí)的學(xué)習(xí)寫(xiě)照。有一些老師在課堂上只想聽(tīng)到正確無(wú)誤的答案，不管過(guò)程，只管結(jié)果。

案例一：細(xì)節(jié)1：空集 易忽視地帶：集合運(yùn)算。

例1：已知A={x|x2+（p+2）x+1=0}若求實(shí)數(shù)p的范圍。

錯(cuò)解： A中的元素為負(fù)數(shù)或零。

錯(cuò)解剖析：這種解法不全面， 作為一個(gè)特殊的集合，表示沒(méi)有任何元素的集合，它同樣是A的一種可能性。

細(xì)節(jié)2：直線方程中的斜率易忽視地帶：用直線的點(diǎn)斜式或斜截式方程解題。

例2：從圓外一點(diǎn)（2，3）向圓引切線，求切線方程。

錯(cuò)解：設(shè)切線方程為

依題意得：

切線方程為

錯(cuò)解剖析：這種解法的錯(cuò)誤在于用直線的點(diǎn)斜式存在漏洞，忽視了斜率不存在的情況。當(dāng)所求切線的斜率存在時(shí)，同上。當(dāng)所求切線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)也與圓相切。學(xué)會(huì)作圖協(xié)助解決問(wèn)題。

細(xì)節(jié)3：題設(shè)的幾何條件易忽視地帶：利用圓錐曲線的定義求解。

例3：已知是F1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，若點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于9，求點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離。

錯(cuò)解：雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8，由雙曲線的定義得

錯(cuò)解剖析：此解答解題思路正確，推理符合邏輯，但結(jié)論卻不正確。仔細(xì)分析條件，我們可以看出由于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于9，所以點(diǎn)P應(yīng)在雙曲線的左支上，因?yàn)殡p曲線的右支上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F1的最短距離等于10，所以此題只有一個(gè)解。

2.鼓勵(lì)質(zhì)疑，捕捉課堂生長(zhǎng)點(diǎn)

美國(guó)教育家布魯巴克說(shuō)：“最精湛的教育藝術(shù)，遵循的最高準(zhǔn)則，就是學(xué)生自己提出問(wèn)題”。質(zhì)疑既是學(xué)生主動(dòng)求知、主動(dòng)學(xué)習(xí)的生動(dòng)體現(xiàn)，也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新品質(zhì)的重要途徑。在課堂教學(xué)中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生超越課堂，超越文本，超越教師，標(biāo)新立異、獨(dú)劈蹊徑，反常規(guī)地思考，要重視學(xué)生的質(zhì)疑問(wèn)難，善于把握學(xué)生的提問(wèn)，在學(xué)生的質(zhì)疑中捕捉到課堂生成點(diǎn)。

案例二：課堂片段：已知無(wú)窮數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和sn=（an+2）2，試問(wèn)滿足題設(shè)的數(shù)列{an}有多少個(gè)？證明你的結(jié)論。

經(jīng)過(guò)一番探索和思考，大多數(shù)學(xué)生得到了以下解法：

sn=（an+2）2 sn+1= （an+1+2）2

sn+1- sn= （an+2）2-（an+1+2）2

8an+1= an+12+4an+1- an2-4 an

（an+1+an）（ an+1- an -4 ）= 0

an+1+an=0 an+1- an = 4

由題設(shè)知a1 = 2

于是數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公比為-1的等比數(shù)列或公差為4的等差數(shù)列。因此，滿足題設(shè)的數(shù)列有兩個(gè)，其通項(xiàng)公式分別為an=2（-1）n-1或an=4n-2。

至此，大家似乎都覺(jué)得可以完美收?qǐng)隽耍曳闯５某聊T發(fā)學(xué)生疑神疑鬼。不久，果真有學(xué)生另劈蹊徑，提出質(zhì)疑：這樣已得出至少有3個(gè)數(shù)列了，按照這種方法大膽預(yù)測(cè)：滿足題設(shè)的數(shù)列有無(wú)數(shù)個(gè)。

此時(shí)此刻，平靜的課堂一下子又沸騰了，大家覺(jué)得前面的解法似乎有問(wèn)題，但一下子又很難發(fā)現(xiàn)其破綻，可謂“此中有真意，欲辯已無(wú)言”。事實(shí)上從特殊到一般的探究，容易得出滿足題設(shè)的數(shù)列有無(wú)數(shù)個(gè)。怎么防止類似的錯(cuò)誤？通過(guò)大家討論共同認(rèn)為：對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的“關(guān)鍵詞”，如“或”、“且”、“非”、“至少”、“至多”等，首先一定要通過(guò)分類列舉法、數(shù)形結(jié)合思想以及從特殊到一般的策略等，對(duì)數(shù)學(xué)中的隱含意義進(jìn)行研究，弄清本質(zhì)意義，才能防止類似的錯(cuò)誤發(fā)生。

【反思】：案例中，學(xué)生以敏銳的觀察和思維發(fā)現(xiàn)了這個(gè)“可疑”之處，也在思考著如何解決這些疑惑，教師可以從學(xué)生“有疑”處入手，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證研究，在研究的過(guò)程中伴隨著已有問(wèn)題的解決與新的問(wèn)題的不斷地生成，讓學(xué)生在爭(zhēng)論中“釋疑”，而且學(xué)生的認(rèn)識(shí)在發(fā)展，體驗(yàn)在加深，思維活起來(lái)。經(jīng)歷了這樣自主的學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生獲得的不只是知識(shí)，還有發(fā)現(xiàn)的喜悅，探究的興趣，頓悟的驚喜，思考的快樂(lè)。因?yàn)閷W(xué)生提出問(wèn)題，提出自己的疑惑，學(xué)生的學(xué)習(xí)不再是一種異己的外在的力量，而是一種發(fā)自內(nèi)心的精神解放運(yùn)動(dòng)。

3.嘗試錯(cuò)誤，培養(yǎng)承挫能力

現(xiàn)代教育心理學(xué)認(rèn)為：學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，受理解和認(rèn)知能力的限制，有個(gè)從片面到全面，從膚淺到深刻的過(guò)程，即所謂的內(nèi)化過(guò)程，在內(nèi)化過(guò)程中總會(huì)產(chǎn)生這樣或那樣的知識(shí)盲點(diǎn)和認(rèn)知缺陷，這是需要從反面依靠“錯(cuò)誤”來(lái)充分暴露，有些知識(shí)甚至于“非錯(cuò)而不能樹(shù)正，非錯(cuò)而難以求真”。所以，教師在教學(xué)中根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的需要和學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，利用教育心理學(xué)中的“嘗誤原理”，多創(chuàng)設(shè)一些錯(cuò)誤情景，讓學(xué)生去嘗試錯(cuò)誤，以增強(qiáng)對(duì)知識(shí)的體驗(yàn)、理解與鞏固，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和承受挫折的能力。在作文教學(xué)中我屢屢嘗試以呈現(xiàn)學(xué)生作文中的典型錯(cuò)誤的形式，促進(jìn)學(xué)生寫(xiě)作能力的提高。下面我以習(xí)題講評(píng)課中其中一堂課為例做展開(kāi)：

案例三：習(xí)題講評(píng)課

課堂案例：設(shè)是二次函數(shù)，若的值域是，則的值域是（ ）

A、 B、 C、 D、

正確思維走向：思路一：已知復(fù)合函數(shù)的值域是，可以確定的取值范圍（注意：未必是的值域），結(jié)合是二次函數(shù)這個(gè)條件，就可以確定的值域了。

思路二：作為選擇題，直接由選項(xiàng)中選擇，采取排除法。為二次函數(shù)，所以由的值域可直接排除A，B選項(xiàng)，將C，D選擇一個(gè)分析，若選擇C分析，則由的值域得到取值，所以就是答案C；若選擇D分析，則取值，不符合，所以排除D即可。

題目簡(jiǎn)解：要使的值域?yàn)椋瑒tt的取值范圍是，又因?yàn)闉槎魏瘮?shù)，開(kāi)口要么向上要么向下，即的值不可能同時(shí)取到，結(jié)合選擇支可知的值域只能選C

思維受阻表現(xiàn)：（1）復(fù)合函數(shù)與分段函數(shù)結(jié)合，形式比較繁瑣，定義域和值域的關(guān)系也很復(fù)雜，也許產(chǎn)生了畏懼心理；（2）是二次函數(shù)，但是具體形式并不明確，感覺(jué)束手無(wú)策；（3）由的定義域求的定義域這類問(wèn)題還是非常熟悉的，但本題卻是求值域，新的關(guān)注點(diǎn)使我難以運(yùn)用模式識(shí)別這一解題策略。（4）從熟悉的解析式出發(fā)，即設(shè)試圖求出的解析式，解題思路雖然自然，但是難以實(shí)現(xiàn)。

【反思】：（1）知識(shí)有所欠缺，加上時(shí)間限制，學(xué)生即有無(wú)從適應(yīng)之感，又抱有僥幸心理，采取誤打誤撞下策。（2）問(wèn)題設(shè)問(wèn)有些新的變化，無(wú)法提取現(xiàn)成的解題策略；（3）對(duì)于函數(shù)理解有些片面，過(guò)于關(guān)注解析式，很少挖掘圖象功能。

4.挖掘錯(cuò)誤，體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)涵

楊振寧博士曾作過(guò)這樣的對(duì)比，中國(guó)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)比在一起學(xué)習(xí)的美國(guó)學(xué)生好得多，然而十多年后中國(guó)學(xué)生的科研成果卻比美國(guó)學(xué)生少得多，原因何在？就是美國(guó)學(xué)生的思維活躍，創(chuàng)造性思維能力強(qiáng)，他們敢于挑戰(zhàn)權(quán)威，這正是我們中國(guó)孩子所欠缺的。

（1）發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，追根溯源

例題：若對(duì)任意的，使得恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？

①此題錯(cuò)因有二：其一是運(yùn)用最值分析法解決問(wèn)題時(shí)，學(xué)生不重視畫(huà)出二次函數(shù)圖象或不會(huì)從圖象入手分析問(wèn)題，從而造成不討論或討論不清、討論不全等現(xiàn)象；其二是運(yùn)用分離參數(shù)法解決問(wèn)題時(shí)，忽視變量x的范圍，從而導(dǎo)致未對(duì)x+1進(jìn)行正負(fù)、0的討論，同時(shí)分離后求新函數(shù)最小值時(shí)方法選的不夠簡(jiǎn)潔。

②此題方法有二：其一是用最值分析法分析，問(wèn)題歸結(jié)為求含參二次函數(shù)部分圖象恒在x軸上方問(wèn)題，要畫(huà)好二次函數(shù)草圖；其二是分離參數(shù)的方法解決恒成立問(wèn)題，即恒成立，恒成立。

③此題反思有二：其一是處理含參二次函數(shù)問(wèn)題一定要先畫(huà)出草圖，學(xué)會(huì)從圖象入手分析。若函數(shù)不定，區(qū)間定，則移動(dòng)對(duì)稱軸；若函數(shù)定，區(qū)間不定，則移動(dòng)區(qū)間，這兩種情況均可以從、對(duì)稱軸、端點(diǎn)值考慮。二是用分離參數(shù)法解決恒成立問(wèn)題時(shí)，一定要關(guān)注自變量的范圍，必要時(shí)要進(jìn)行分類討論。分離后在求新函數(shù)的最值時(shí)要注意選擇合適、簡(jiǎn)便的方法求解。

（2）精心設(shè)計(jì)，循循善誘

多數(shù)學(xué)生此時(shí)充其量還是處于“聽(tīng)懂”的程度，只是初步領(lǐng)會(huì)了題中所含的思維方法。如果就此省略了讓學(xué)生繼續(xù)思考和運(yùn)用的過(guò)程，那么學(xué)生很容易陷入“上課一聽(tīng)就懂，下課一做就錯(cuò)”的怪圈。所以，要讓學(xué)生既聽(tīng)懂、又學(xué)會(huì)，就必須為學(xué)生巧妙安排 “學(xué)以致用”的機(jī)會(huì)，“趁熱打鐵”精心設(shè)計(jì)一些思維方法不變、而若干條件情景有異的變式題。這樣就把主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，使學(xué)生在分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的探索過(guò)程中，回顧所學(xué)的“方法”并作出相應(yīng)的選擇判斷，進(jìn)一步打開(kāi)思路，從而輕松愉快地實(shí)現(xiàn)知識(shí)復(fù)習(xí)與能力提高，提高思維層次。

變題舉例1：

1.在上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？

2.若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？

說(shuō)明：①變題1要使在區(qū)間上單調(diào)遞減，只要使在上恒成立即可，即立刻得出問(wèn)題的本質(zhì)仍是恒成立問(wèn)題。

②變題2把條件“任意”改成“存在”，題型從“恒成立問(wèn)題”順其自然引出了“有解問(wèn)題”，通過(guò)兩者的對(duì)比討論，學(xué)生不難掌握這兩個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。

（3）由此及彼，精彩生成

繼續(xù)設(shè)計(jì)新穎別致的情景或設(shè)計(jì)較為復(fù)雜、綜合的問(wèn)題進(jìn)行啟發(fā)提問(wèn)，有利于深層次地突出主題，強(qiáng)化效果，進(jìn)而提升學(xué)生思維深度。

變題舉例2：定義在D上的函數(shù)，如果滿足：對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界.

已知函數(shù)；.

改編（1）若，函數(shù)恒成立，求x的取值范圍。

改編（2）若，函數(shù)在上的上界是，求的取值范圍；

（3） 若，函數(shù)在上的上界是，求的取值范圍（不必求出 的范圍，只需寫(xiě)出m滿足的條件）.

【反思】：這樣的隨堂改編教學(xué)，雖然打亂了我原本的教學(xué)設(shè)計(jì)，未能完成預(yù)定的教學(xué)任務(wù)，但我認(rèn)為其根本的價(jià)值在于所蘊(yùn)涵的創(chuàng)新意識(shí)和機(jī)智地實(shí)現(xiàn)錯(cuò)誤背后的創(chuàng)新價(jià)值，是新課程中嶄新的教育理念。只要教師及時(shí)呈現(xiàn)錯(cuò)誤，引起學(xué)生有意注意，但不急于用教師的思想去同化學(xué)生，而是站在學(xué)生的立場(chǎng)去順應(yīng)他們的認(rèn)識(shí)，在交流中剖析錯(cuò)誤的來(lái)龍去脈，尋找錯(cuò)誤背后隱含的教育價(jià)值，引領(lǐng)學(xué)生從錯(cuò)中求知，從錯(cuò)中探究。這種教師鼓勵(lì)學(xué)生不迷信教材和權(quán)威的教學(xué)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的批判精神也是大有裨益的，也能充分發(fā)揮錯(cuò)誤資源的“特殊功能”。所以，我相信只要教師能有意識(shí)地注意挖掘?qū)W生錯(cuò)誤中蘊(yùn)涵的創(chuàng)新因素，適時(shí)、適度地給予點(diǎn)撥和鼓勵(lì)，學(xué)生就能用一些靈活、新穎的思維方式來(lái)解決問(wèn)題。

5.利用錯(cuò)誤，提高反思能力

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，學(xué)生的錯(cuò)誤不可能單獨(dú)依靠正面的示范和反復(fù)的練習(xí)得以糾正，必須是一個(gè)“自我否定”的過(guò)程，而“自我否定”又以自我反省，特別是內(nèi)在的“觀念沖突”作為必要的前提。利用學(xué)生錯(cuò)誤資源，引發(fā)這種“觀念沖突”，能促使學(xué)生對(duì)已完成的思維過(guò)程進(jìn)行周密且有批判性的再思考，對(duì)已形成的認(rèn)識(shí)從另一個(gè)角度，以另一種方式進(jìn)行再思考，以求得新的深入認(rèn)識(shí)，這既有利于問(wèn)題的解決又培養(yǎng)了學(xué)生的反思能力。

案例五：1.遷移到別的知識(shí)版塊，學(xué)生真正學(xué)會(huì)反思知識(shí)間的緊密關(guān)系，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

學(xué)生作業(yè)舉例：數(shù)列中的恒成立問(wèn)題

數(shù)列的前n項(xiàng)和為sn，，，等差數(shù)列滿足，，

（1）分別求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（2）若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

2.收集、整合歷年的高考題，真正達(dá)到知識(shí)、方法學(xué)以致用，產(chǎn)生一種成就感。

學(xué)生作業(yè)舉例：

1.（2011浙江）設(shè)函數(shù)=，a∈R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對(duì)任意的x∈（0，3e]，恒有≤4e2成立

2.（2008江蘇） 設(shè)函數(shù)，若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍？

【反思】：1.我引導(dǎo)學(xué)生反思剛才錯(cuò)在什么地方？為什么錯(cuò)？今后要吸取什么教訓(xùn)等？這樣通過(guò)學(xué)生找錯(cuò)、議錯(cuò)、改錯(cuò)的反思過(guò)程，既對(duì)基本知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行復(fù)習(xí)，又提高了自己的分析能力，可謂一舉兩得。

2. 教學(xué)時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的思維活動(dòng)及時(shí)進(jìn)行反思，剖析錯(cuò)誤的原因，有利于提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，分析錯(cuò)誤，改正錯(cuò)誤的能力，達(dá)到正確掌握知識(shí)的目的。

6. 整理錯(cuò)誤，學(xué)會(huì)舉一反三

在錯(cuò)題的整理上，首先，我要求學(xué)生將錯(cuò)題本縱向分成三欄，用黑顏色的筆在最左邊一欄，抄寫(xiě)或粘貼所有的錯(cuò)題，連帶做錯(cuò)的部分全部照抄并記錄以下信息：錯(cuò)題的出處（哪一次測(cè)驗(yàn)的哪一份試卷）和錯(cuò)題的類型。然后，在糾錯(cuò)本的中間一欄，對(duì)應(yīng)位置重新做該題。最后，用紅筆在本子的最邊一欄，仔細(xì)分析總結(jié)該題所涉及到的知識(shí)點(diǎn)，該題出錯(cuò)的原因如：審題出錯(cuò)、記憶模糊、還是時(shí)間安排不當(dāng)?shù)鹊取?/p>

案例六：學(xué)生俞卉楠的錯(cuò)題本整理

【反思】：1. 在整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題本時(shí)，一定要有恒心和毅力，不要在乎時(shí)間的多少，不要敷衍了事，因?yàn)橥ㄟ^(guò)對(duì)錯(cuò)題的整理、分析與總結(jié)，可以培養(yǎng)學(xué)生的判斷力、分析力、歸納總結(jié)力。

2.鼓勵(lì)學(xué)生經(jīng)常閱讀錯(cuò)題本。錯(cuò)題本不是把做錯(cuò)的習(xí)題記下來(lái)就完了。要經(jīng)常瀏覽錯(cuò)題本，對(duì)錯(cuò)題不妨再做一遍，這樣就使每一道錯(cuò)題都發(fā)揮出最大效果，今后遇到同類習(xí)題時(shí)，就能夠立刻回想起曾經(jīng)犯過(guò)的錯(cuò)誤，從而避免再犯。

3.可以讓學(xué)生交換錯(cuò)題本來(lái)互相糾錯(cuò)，使學(xué)生能夠正確地對(duì)待自己的錯(cuò)誤，把錯(cuò)誤看作是引領(lǐng)自己進(jìn)步的階梯。

四、研究的初步成效

經(jīng)過(guò)對(duì)各種錯(cuò)誤資源的開(kāi)發(fā)和利用的實(shí)踐和摸索，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性有了很大的提高，學(xué)生變得喜歡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力也得到了全面的提升，同時(shí)，對(duì)于我自己的教學(xué)能力也有了較快的提升。以下是幾點(diǎn)收獲：

1.教師的教學(xué)能力得到了提升

新課程強(qiáng)調(diào)，教師是教學(xué)過(guò)程中的設(shè)計(jì)者，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的合作者、引導(dǎo)者和參與者，教學(xué)過(guò)程是師生共同交流，共同發(fā)展的互動(dòng)過(guò)程。教師要善于捕捉錯(cuò)誤資源，巧妙地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷誘錯(cuò)、尋錯(cuò)、用錯(cuò)、議錯(cuò)、理錯(cuò)的探究過(guò)程。但教師的這一能力并不是憑空的靈機(jī)一動(dòng)，而是要靠長(zhǎng)期的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和教學(xué)案例的積累，為此，我們不得不自覺(jué)地在自己的教育教學(xué)實(shí)踐中積極探索、不斷反思；不得不在走進(jìn)教室之前要充分研究教材、研究教學(xué)、研究自己、研究學(xué)生、研究考試，長(zhǎng)此以往自己的教學(xué)能力一定會(huì)有較快的提升。

2.激活了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣

從教育心理學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，興趣是一個(gè)人傾向于認(rèn)識(shí)、研究獲得某種知識(shí)的心理特征，是可以推動(dòng)人們求知的一種內(nèi)在力量。“學(xué)習(xí)的最好刺激乃是對(duì)所學(xué)材料的興趣”。 錯(cuò)誤資源往往為學(xué)生提供一種情境，當(dāng)教師把錯(cuò)誤及時(shí)捕捉并經(jīng)提煉成為全班學(xué)生新的學(xué)習(xí)材料時(shí)，學(xué)生的探究興趣被大大激發(fā)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科有了興趣，就會(huì)持續(xù)地專心致志地鉆研它，從而提高了學(xué)習(xí)效果。

3.培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)意識(shí)，提高探究能力

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在學(xué)習(xí)策略七級(jí)和八級(jí)目標(biāo)中明確規(guī)定“在學(xué)習(xí)中，善于抓住重點(diǎn)，做好筆記，并能對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整理和歸納；學(xué)習(xí)中遇到困難時(shí)能分析原因并嘗試解決”。以學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤為載體，引導(dǎo)學(xué)生從正反不同角度去修正錯(cuò)誤，培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性和創(chuàng)造性，是培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)意識(shí)，提高探究能力的有效途徑。

4.增強(qiáng)了學(xué)生的質(zhì)疑意識(shí)，培養(yǎng)了嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度

巴浦洛夫說(shuō)：“猜疑，是發(fā)現(xiàn)的設(shè)想，是探索的動(dòng)力，是創(chuàng)新的前提。”質(zhì)疑是一種探索，更是一種創(chuàng)新的心理素質(zhì)。質(zhì)疑是人類創(chuàng)造思維發(fā)展的精華，只有擁有質(zhì)疑精神的人，才具備創(chuàng)新能力。在課堂教學(xué)中他們敢于“挑戰(zhàn)”老師，敢于質(zhì)疑教材，不再迷信教材，盲從老師，而是通過(guò)深入研讀教材，合作探討，形成了自己的見(jiàn)解，初步建立探究和創(chuàng)新意識(shí)，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)能力的發(fā)展性。

先圣有言“君子之過(guò)也，如日月之食焉。過(guò)也，人皆見(jiàn)之；更之，人皆仰之。”在教學(xué)過(guò)程中，我們既要能像“垃圾箱”一樣容下學(xué)生的錯(cuò)誤，又不能像清潔工一樣把“垃圾箱”的廢品一倒了之，因而我們應(yīng)該敞開(kāi)胸懷去接納學(xué)生的錯(cuò)誤，更要用慧眼去挖掘?qū)W生錯(cuò)誤中的閃光點(diǎn)。有效利用學(xué)生錯(cuò)誤資源展開(kāi)教學(xué)，是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量的有效途徑，我們應(yīng)繼續(xù)實(shí)踐、研究，讓錯(cuò)誤資源激活師生的思維，讓課堂真正成為師生共同成長(zhǎng)的舞臺(tái)。

參考文獻(xiàn)：

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