初中數學中的“1”

摘要：作為一名初中數學教師，肩負多年的畢業班數學教學工作及年級的培優輔導工作，深感學生學習上的困惑，學生分析問題、解決問題的能力及知識間的發散思維能力還有待提高。為了拓展學生的知識面，熟練數學中的一些題型，我把自己積累的知識和經驗做個總結，供師生參考。

關鍵詞：初中數學 代數 幾何 “1”

談到“1”，很多人在熟悉不過了，“1”也是數學中最常見不過的數，如兩數互為倒數，則兩數的乘積為1，即x·1x=1（x≠0），a0=1（a≠0）等，“1”的妙用及題型在數學中應用很多，現我把“1”在數學中有關試題及妙用列舉如下。

一、代數中的“1”

例一：求值問題

在學習零指數冪的法則時，有這樣一道題：已知：（m-2）m+1=1，求m得值。這個問題主要考查學生對所學知識的綜合應用能力。一般學生做這道題時會根據現學知識a0=1（a≠0）進行解答，如果對問題考慮不周全就會漏解。這個問題可分三種情況討論：（1）底數不為零的零次冪等于1；（2）1的任何次冪等于1；（3）（-1）的偶次冪等于1。所以這道題的解答如下：解：（1）m+1=0，m-2≠0時，可得：m=-1；（2）m-2=1，可得：m=3；（3）m-2=-1，（m+1）為偶數時，可得：m=1，綜上所述：m=-1或3或1。這道題也體現了分情況討論的數學思想。

在學習兩數和（差）的完全平方（a±b）2=a2±2ab+b2時，數學中常見的一種題型是已知：x±1x=3，求x2+1x2的值。這就巧用兩數互為倒數，則兩數的乘積為1，就是把已知條件x±1x=3兩邊同時平方，即可求解。求最值問題往往把有字母的式子變為乘積為1的形式。如（1）已知x>0，求x+4x的最小值；（2）已知x>0，求2x+1x2的最小值。解答如下：（1）根據a+b≥2ab，可得：∵x>0，∴x+4x≥2x·4x=2×4=4，所以x+4x的最小值為4；（2）根據a+b+c≥33abc，2x+1x2=x+x+1x2≥33x·x·1x2=3，所以2x+1x2的最小值為3。

例二：工程問題

在列方程解應用題中，對工程問題的類型，在解答時可以把完成這項工作看成單位“1”。舉例如下：

為創建“全國文明城市”，某城市對一段公路進行升級改造.已知這項工程由甲工程隊單獨做需要40天完成；如果這項工程由乙工程隊先單獨做10天，那么剩下的工程還需要兩隊合做20天才能完成.

（1）求乙工程隊單獨完成這項工程所需的天數；

（2）求兩隊合做完成這項工程所需的天數.

分析：本題著重考查學生應用分式方程解決實際問題的能力，在列方程時，應把完成這項工程看成單位“1”，由題意知：甲每天完成這項工程的140，設乙工程隊單獨完成這項工程需要x天，，則乙每天完成這項工程的1x，最后完成了這項工程，就是乙的工作量+甲、乙合做的工作量=單位“1”。

解答：（1）設乙工程隊單獨完成這項工程需要x天，根據題意得：

10x+1x+140×20=1

解之得：x=60 經檢驗：x=60是原方程的解.

（2）設兩隊合做完成這項工程所需的天數為y天，根據題意得：140+160y=1

解之得：y=24

（2）在做題中要充分利用已知條件中的“1”，弄清其意義所在。在初三同步學習中有這樣一道題：若ab=1，M=11+a+11+b，N=aa+1+bb+1，比較M與N的大小。在解這個題目中，學生往往采用作差法進行比較，若M-N=0，則M=N；若M-N>0，則M>N；若M-N<0，則M

理由：M=11+a+11+b=abab+a+abab+b=aba（b+1）+abb（a+1）=bb+1+aa+1=N

或N=aa+ab+bb+ab=aa（1+b）+bb（1+a）=11+b+11+a=M

這道題若是選擇題或填空題，利用特例法令a=1，b=1代入M、N就可以得到M=N。

二、幾何中的“1”

在幾何中，證明定值為“1”的題目較多。列舉幾個例子，讓學生掌握幾何圖形中的內在聯系。

例四：“1”在幾何中有這種1a+1b=1c類型的題目如何做呢？這就要求教師教給學生解決這類問題思路，先進行變換證明ca+cb=1，通過三角形相似，找合適的量進行等量代換，化為同分母的式子相加，且使分子之和等于分母，得出1，然后兩邊同除以c，就得到1a+1b=1c。

（1）已知：如圖AB∥CD，AD，BC相交于E，過E作EF∥AB交BD于F，求證：1AB+1CD=1EF；分析：欲證1AB+1CD=1EF，先證明EFAB+EFCD=1

解答過程如下：因為AB∥CD， EF∥AB，所以AB ∥EF∥CD

所以△EFD∽△ABD，△BFE∽△BDC

所以EFAB=DFBD，EFCD=BFBD，又因為DFBD+BFBD=1，EFAB+EFCD=1

所以1AB+1CD=1EF

例五：梅涅勞斯（Menelaus）定理是由古希臘數學家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么AFFB·BDDC·CEEA=1。證明方法即可用相似三角形變換成ab·bc·ca=1來做，又可化為面積的比s1s2·s2s3·s3s1=1來做，請師生交流做法。在此基礎上我進行了拓展變式。

題目如下：已知點O是△ABC內任一點，AO交BC于點D，BO交AC于點E，CO交AB于點F，求證：AFFB·BDDC·CEEA=1。

解法如下：

因為AFFB=SΔACFSΔBCF=SΔAOFSΔBOF=SΔACF-SΔAOFSΔBCF-SΔBOF=SΔAOCSΔBOC，

同理：BDDC=SΔAOBSΔAOC；CEEA=SΔBOCSΔAOB，

所以AFFB·BDDC·CEEA=SΔAOCSΔBOC·SΔAOBSΔAOC·SΔBOCSΔAOB=1。在此題目基礎上又進行了拓展，供師生探究。

1.當BD=CD時，連接EF，則EF∥BC；

2.當EF∥BC時，BE與CF相交于點O，AO的延長線交BC于點D，則BD=CD。

在數學中，有關“1”的試題還有很多，教師要主動接觸新事物，積極探索，善于總結，請師生繼續挖掘與探索。俗話說“學高為師”，我深知要想給別人一杯水，自己應該有源源不斷的活水，只有不斷努力的學習和思考，才能做到與時俱進，才會有創新，有發展。