“3.2 古典概型”教學設計

一、教學背景分析

本節課是人教版《高中數學3（必修）》第三章概率第二節古典概型的第一課時。古典概型是在隨機事件的概率之后，幾何概型之前進行教學的。隨機事件的概率在教材中主要通過觀察和試驗的方法，得到一些事件的概率估計，學生的認知水平更多的停留在感性認識的層面，本節課有助于學生的認知水平的進一步提升，逐漸上升到理性認識的高度。而后面要學習的幾何概型與古典概型有很多相通之處，學好古典概型可以為學習幾何概型奠定基礎，所以古典概型在本章中有承上啟下的極其重要的作用。古典概型是最基本的概率模型，在高等數學概率論中也占有相當重要的地位，學好古典概型同時有利于理解概率的概念，有利于計算一些簡單事件的概率，有利于解釋生活中的一些現象與問題。

二、教學目標

1.理解基本事件的意義

2.理解古典概型及其概率計算公式，解決一些簡單的古典概型問題。

三、教學重點、難點

重點：理解古典概型的概念及概率公式，并能簡單應用。

難點：基本事件的初步理解。

四、教學過程設計

1.聚焦課堂

通過實驗和觀察的方法，我們可以得到一些事件的概率估計。但這種方法耗時多，而且得到的僅是概率的近似值。在一些特殊情況下，我們可以構造出計算事件概率的通用方法。今天我們要學習的就是概率的一種特殊概率模型——古典概型。

2.問題驅動

那到底什么樣的概率模型是古典概型呢？古典概型的概率又如何求解呢？為了弄清這兩個問題，我們先考察下列兩個試驗，分析一下事件的構成。（1）拋擲一枚質地均勻的硬幣一次；（2）拋擲一枚質地均勻的骰子一次。

設計意圖：從最簡單的情形入手，學生對教學背景相對熟悉，引出本節課第一個教學目標。

3.合作探究，成果展示，師生評價

教師提出問題：以上兩個試驗的結果分別有哪些？這些結果具有哪些特點？把每個試驗結果看成一個事件，它們都是隨機事件嗎？第二個試驗中“出現偶數數點”可以用這些結果表示嗎？這些隨機試驗結果出現的可能性相等嗎？學生思考并討論，結合教師提出的問題談談自己的看法。

設計意圖：幫助學生感知基本事件的含義，并為基本事件的理解這一難點的突破做好鋪墊。

師生互動：拋擲一枚質地均勻的硬幣，有兩種可能結果：正面向上，反面向上；這兩個結果不可能同時發生，即“正面向上”“反面向上”是互斥事件；而且這兩個結果的出現是等可能的；拋擲一枚質地均勻的骰子，會有6種可能結果：出現“1點”“2點”“3點”“4點”“5點”“6點”，這6個結果不可能同時發生，即它們是互斥事件，而且這6個結果的出現是等可能的；事件“出現質數點”可以用“出現1點”“出現3點”“出現5點”的和事件來表示。

師：我們把上述試驗中的隨機事件稱為基本事件，它是試驗的每一個可能出現的結果。

基本事件（可能性相等）有如下的兩個特點：

（1）任何兩個基本事件是互斥的；

（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。（教師板書）

師：基本事件是我們解決古典概型的基礎和前提，為了加深同學們對基本事件的理解，我們來看兩道例題。

例1.從字母a，b，c，d中任意取出兩個不同字母的試驗中，有哪些基本事件？

學生獨立思考，列出基本事件，并回答問題。

基本事件為A=a，b，B=a，c，c=a，d，D=b，c，E=b，d，F=c，d（教師板書）并強調書寫的規范性。

例2.某人射擊5槍，命中了3槍，試寫出所有的基本事件（⊙表示命中，X表示未命中）方法一：請同學們列舉出所有基本事件（教師板書）（列舉法）；

方法二：教師簡單介紹樹狀圖（教師板書），并告知學生樹狀圖也是列舉法的一種表現形式。（樹狀圖）

設計意圖：在列舉法學習中，增加一個例子“某人射擊5槍，命中了3槍，試寫出所有的基本事件”，分別用樹形圖與直接列舉法展示思維過程，讓學生感受求基本事件個數的一般方法，從而化解由于沒有學習排列組合而學習概率這一教學困惑。

師：通過上面的幾個例子，相信同學們對試驗的基本事件有了初步的認識。教學目標圓滿完成，下面我們來完成今天的第二個目標。通過拋硬幣、擲骰子的試驗和例1、2，請同學們認真體會這些試驗的共同特點：

（1）試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；（有限性）

（2）每個基本事件出現的可能性相等。（等可能性）

我們將具有這兩個特點的概率模型稱為古典概率概型，簡稱古典概型。（教師板書）

古典概型是最基本的概率模型，在現實生活中也有著比較廣泛的應用，如彩票中獎問題等，是高考的重點。另外，古典概型在高等數學概率論中也占有相當重要的地位。學好古典概型是學習其它概型的基礎，有利于解釋生活中的一些現象與問題。下面我們看兩個問題，幫助大家深化一下對古典概型概念的理解。

問題（1）：向一個圓面內隨機地投射一個點，如果該點落在圓內任意一點都是等可能的，你認為這是古典概型嗎？為什么？

問題（2）：某同學隨機地向一靶心進行射擊，這一試驗的結果只有有限個：命中10環、命中9環……命中5環和不中環。你認為這是古典概型嗎？為什么？

問題（3）：某班級男生30人，女生20人，隨機地抽取一位學生代表，出現50個不同的結果，你認為這是古典概型嗎？為什么？

問題（4）：某班級男生30人，女生20人，隨機地抽取一位學生代表，出現兩個可能結果“男同學代表”“女同學代表”，你認為這是古典概型嗎？為什么？

問題（5）：某班級男生30人，女生30人，隨機地抽取一位學生代表，出現兩個可能結果“男同學代表”“女同學代表”，你認為這是古典概型嗎？為什么？

學生獨立思考后交換意見，學生代表發言，其他同學評價補充。

設計意圖：通過正、反兩方面的例子，特別是舉一些破壞了古典概型兩個重要特征的例子，以突破古典概型識別的難點。

師：在古典概型下，基本事件出現的概率是多少？隨機事件出現的概率如何計算？請同學們結合投硬幣和擲骰子的試驗，試求下列事件的概率：

（1）投擲一枚質地均勻的硬幣，正面向上的概率。

（2）擲一枚骰子，出現偶數點的概率。

根據上述兩則模擬試驗，你能概括總結出古典概型計算某個事件的概率公式嗎？

學生先獨立思考，然后小組內相互交流，代表發言，其他同學評價補充。

師：在例2中，所命中的三槍中，恰好有2槍連中的概率為多少？

學生思考并回答。

師：請同學們概括總結出古典概型的概率計算公式：p（A）=事件A所含基本事件個數基本事件總數（教師板書）

設計意圖：在概率的計算上，鼓勵學生嘗試列表和畫出樹狀圖，讓學生感受求基本事件個數的一般方法，從而化解由于沒有學習排列組合而學習概率這一教學困惑。

師：大家總結出了古典概型的概率計算公式，我們看下一個問題。

例3.單選題是標準化考試中常用的題型，一般是從A，B，C，D四個選項中選擇一個正確答案。如果考生掌握了考察的內容，他可以選擇唯一正確的答案。假設考生不會做，他隨機的選擇一個答案，問他答對的概率是多少？

變式：在標準化考試中既有單選題又有多選題，多選題是從A，B，C，D四個選項中選出所有正確的答案，同學們可能有一種感覺，如果不知道正確答案，多選題更難猜對，這是為什么？

設計意圖：變式訓練的設計在于養育學生思維習慣，熟悉轉化方法，并再次感受列舉出所有基本事件在解決古典概型問題的必要性和重要性。

學生先獨立思考，然后小組內相互交流，代表發言，其他同學評價補充。對于此變式的解題過程，教師板書并強調解題過程的規范性。

4.拓展提升

練習1：同時擲兩個骰子，計算：

（1）一共有多少種不同的結果？（多少個基本事件）

（2）其中向上的點數之和是5的結果有多少種？

（3）向上的點數之和是5的概率是多少？

（4）向上的點數之和是幾的概率最大？此時的概率是多少？

師：（1）如果我們只關注兩個骰子出現的點數和，則有2，3，4，…，11，12這11種結果。

（2）如果我們關注兩個不加識別骰子出現的點數，則有下表中的21種結果。

（3）如果我們把兩個骰子標上記號1，2以便區分，由于1號骰子的結果都可以與2號骰子的任意一個結果配對，我們用一個“有序實數對”來表示組成同時擲兩個骰子的一個結果（如表），其中第一個數表示1號骰子的結果，第二個數表示2號骰子的結果。（教師板書）

從表中可以看出同時擲兩個骰子的結果共有36種。

到底基本事件有多少個呢？請學生思考，小組交流后代表發言。（2）（3）（4）問學生思考后作答。

設計意圖：不同思維的角度將古典概型中學生最容易錯的忽視基本事件的“等可能性”暴露出來，以引起學生的注意，進一步幫助學生對基本事件的理解。

練習2：有同學認為，同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣一次看成一次試驗，出現的結果有三種情況：全是正面，一正一反，全是反面。所以一次試驗中的基本事件有三個，并且概率都是13。你認為他說的對嗎？

設計意圖：鞏固理解，加深認識。

5.當堂反思

師生共同總結本節課的內容，學生反思教學目標的完成情況，對于學習中的新問題課下可以多多思考，多多交流，積極找到解決問題的辦法。

五、教學評價與反思

根據本節課的特點，采用引導發現和歸納概括相結合的教學方法。觀察對比、概括歸納古典概型的概念及其概率公式，再通過具體問題的提出和解決，來激發學生的學習興趣，調動學生的主體能動性，讓每一個學生充分地參與到學習活動中來。學生在教師創設的問題情景中，通過觀察、類比、思考、探究、概括、歸納和動手嘗試相結合，培養學生由具體到抽象，由特殊到一般的數學思維能力，形成實事求是的科學態度；在教學中利用直觀圖形、列表、畫樹形圖等手段來支持對概率古典定義的理解與運用。概率的古典定義及古典概型的計算是一個重要內容，如何使學生掌握，需要使用變式訓練教學，如從擲硬幣到擲骰子情境的變式，考慮到基本事件這一知識點的系統性與整體性。在古典概型的概念理解與古典概型的計算中，一是學生不能正確理解；二是學生不能完整地列舉出基本事件總數和事件A所包含的基本事件數，因此需要用直觀地、描述性的語言暴露老師的思維過程，給學生以具體的指導。