一個(gè)新三維混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析與仿真研究

摘 要：文章提出一個(gè)新的三維自治混沌系統(tǒng)，分析了系統(tǒng)的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性，計(jì)算出系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)，給出了系統(tǒng)變量的時(shí)域圖、混沌吸引子相圖和Lyapunov指數(shù)譜，理論分析證實(shí)新系統(tǒng)是混沌系統(tǒng)。并對(duì)此新系統(tǒng)進(jìn)行了電路仿真實(shí)驗(yàn)，所采用的是電子工作平臺(tái)electronic workbench（EWB）仿真軟件，仿真結(jié)果再次表明新系統(tǒng)是混沌系統(tǒng)。

關(guān)鍵詞：混沌吸引子；三維自治混沌系統(tǒng)；Lyapunov指數(shù)；EWB

引言

第一個(gè)混沌吸引子是1963年被Lorenz發(fā)現(xiàn)的，發(fā)現(xiàn)于一個(gè)三維自治混沌系統(tǒng)，此后，非線性科學(xué)研究的熱點(diǎn)中便包含了對(duì)混沌理論的研究、新混沌系統(tǒng)的構(gòu)造和混沌控制及其應(yīng)用。許多新的混沌與超混沌系統(tǒng)被相繼提出[1-7]，例如，chen系統(tǒng)的發(fā)現(xiàn)，此系統(tǒng)是一個(gè)在混沌系統(tǒng)反控制中與Lorenz系統(tǒng)并不拓?fù)涞葍r(jià)的系統(tǒng)，是陳關(guān)榮等人發(fā)現(xiàn)的[1]；呂金虎等進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了LV系統(tǒng)和鏈接Lorenz系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)以及LV系統(tǒng)的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)[2，3]；國內(nèi)發(fā)布了有關(guān)新的離散與連續(xù)混沌系統(tǒng)的報(bào)道[4，5]；同時(shí)，還報(bào)道了兩個(gè)不同的四維超混沌系統(tǒng)。新混沌與超混沌系統(tǒng)的提出與實(shí)現(xiàn)[6，7]，為混沌理論的深入研究和混沌的應(yīng)用，特別是在混沌保密通信系統(tǒng)和微弱信號(hào)檢測(cè)以及電力系統(tǒng)諧波抑制等領(lǐng)域的應(yīng)用方面，提供技術(shù)支持，并為此奠定了理論基礎(chǔ)。

在文章提出的系統(tǒng)之上，進(jìn)行基本動(dòng)力學(xué)特性的理論分析與數(shù)值仿真，諸如平衡點(diǎn)穩(wěn)定性、混沌吸引子、耗散性和維數(shù)與Lyapunov指數(shù)等；并把該系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為實(shí)際的物理電路模型，所采用的是模塊化設(shè)計(jì)法，并采用電子工作平臺(tái)EWB軟件對(duì)新的混沌系統(tǒng)進(jìn)行電路仿真實(shí)驗(yàn)來進(jìn)行驗(yàn)證。

1 新混沌系統(tǒng)及其基本動(dòng)力學(xué)特性分析

文章提出的新三維混沌系統(tǒng)其狀態(tài)方程為：

（1）

其中x，y，z為狀態(tài)變量，a，b，c，d為系統(tǒng)參數(shù)，該系統(tǒng)存在一個(gè)非線性項(xiàng)y2，是一個(gè)三維二次自治系統(tǒng)。

系統(tǒng)中有一個(gè)混沌吸引子的條件是當(dāng)a=2，b=0.18，c=2，d=2時(shí)， 對(duì)該系統(tǒng)采用MATLAB工具進(jìn)行數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，即可得到三維空間xyz相圖、y變量的時(shí)域波形和y-z平面相圖，例三維空間相圖如圖1（a）所示。

（a）混沌吸引子三維空間的相圖 （b） Lyapunov指數(shù)譜

圖1

為求系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，令：

（2）

解方程組可求得系統(tǒng)的兩個(gè)平衡點(diǎn)為P1（0，0，0）和P2（-1.91，-1.91，-3.82），在平衡點(diǎn)處，對(duì)應(yīng)的Jacobian矩陣分別為：

（3）

由特征方程det[？姿I-J]=0，得J（P1），J（P2）的特征值分別為：

可見？姿1，？姿1'為負(fù)實(shí)根，？姿2，？姿3和？姿'2，？姿'3是共軛復(fù)根，并且這兩對(duì)復(fù)根均有正實(shí)部，故P1，P2平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)且指標(biāo)均為2。

系統(tǒng)（1）之散度：

（4）

當(dāng)b=0.18，c=2時(shí)，？犖V<0，因此系統(tǒng)（1）為耗散系統(tǒng)，即當(dāng)t→∞時(shí)，小體積元-包含系統(tǒng)軌線以指數(shù)（-b-c+1）的速率收縮至零，所有系統(tǒng)軌線的漸近運(yùn)動(dòng)將會(huì)被固定在一個(gè)吸引子之內(nèi)，其被限制于一個(gè)體積為零的集合。

混沌吸引子的相鄰軌線之間具有一定的作用，它們具有彼此相排斥的趨勢(shì)，此趨勢(shì)會(huì)以指數(shù)的速率分離，對(duì)這種作用的描述采用Lyapunov指數(shù)，對(duì)Lyapunov指數(shù)的計(jì)算我們采用Jacobian矩陣法，可得此系統(tǒng)的分別為：？姿L1=0.2041，？姿L2=0，？姿L3=-1.3858，Lyapunov指數(shù)譜如圖1（b）所示。可得Lyapunov維數(shù)：

（5）

由上對(duì)該系統(tǒng)相圖、平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性、耗散性和Lyapunov指數(shù)與維數(shù)的理論分析結(jié)果得出，新系統(tǒng)為一混沌系統(tǒng)。

2 EWB電路仿真實(shí)驗(yàn)

為了確定電路是否可行，若可行電路可以優(yōu)化，現(xiàn)在對(duì)所提出新系統(tǒng)（1）來進(jìn)行電路設(shè)計(jì)，模擬乘法器、線性電阻、運(yùn)算放大器和電容器等是電路的主要組成的部分，將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為物理模型，轉(zhuǎn)換之后對(duì)電路進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，利用的是EWB仿真軟件。

電路的各組成部分中用以做積分運(yùn)算和加減運(yùn)算的是運(yùn)算放大器，用以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的非線性項(xiàng)部分y2的是模擬乘法器，連接三個(gè)x，y，z的狀態(tài)變量為一個(gè)整體。

設(shè)計(jì)過程中采用模塊化的設(shè)計(jì)方法，主要考慮以下幾個(gè)問題（1）有源器件的動(dòng)態(tài)變化范圍是否小于狀態(tài)變量的取值變化范圍，若不小于就不用處理，否則需要采用比例壓縮變換操作。根據(jù)圖l，變量的動(dòng)態(tài)范圍并未超出運(yùn)算放大器TL082的線性范圍（-13.5V，+13.5V），故不需要做變量比例變換。（2）更適合用于模塊化設(shè)計(jì)的是反相加法或其運(yùn)算電路，因?yàn)閰?shù)獨(dú)立可調(diào)、便于調(diào)試是該類電路的主要特點(diǎn)，這是與同相加法或減法運(yùn)算電路相比較而言的。（3）混沌信號(hào)在時(shí)域的變化速率以及在頻域的頻譜分布范圍是由什么決定呢？是積分器的積分常數(shù)為1/R0C0時(shí)間尺度變化因子的大小。采用時(shí)間尺度變換和微分一積分轉(zhuǎn)換操作，將無量綱狀態(tài)方程轉(zhuǎn)換為實(shí)際電路方程。

我們?nèi)0=100k？贅，C0=1？滋F，需要說明的是為了確保參數(shù)a=2，我們?nèi)‰娮璧闹礡=5k？贅，因?yàn)槌朔ㄆ鞯妮敵鲈鲆媸?.1。用EWB對(duì)電路進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果如圖2所示，（a）是y-z平面吸引子相圖，（b）是變量y的時(shí)域波形圖。

（a）y-z平面吸引子相圖 （b）變量y的時(shí)域波形

圖2 EWB電路仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

比較圖1和圖2，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)值仿真與電路實(shí)驗(yàn)所觀測(cè)到的平面上的相圖是基本一致的，即數(shù)值仿真與EWB仿真結(jié)果基本是一致的。文章所提出三維系統(tǒng)是一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的新混沌系統(tǒng)，以上理論的分析過程以及電路的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果都可以證實(shí)。

3 結(jié)束語

文章提出了一個(gè)新的三維自治混沌系統(tǒng)，在該系統(tǒng)之上進(jìn)行了基本的動(dòng)力學(xué)特性分析：系統(tǒng)有兩個(gè)指標(biāo)2的鞍焦點(diǎn)，都是不穩(wěn)定的；經(jīng)過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)；數(shù)值模擬結(jié)果給出了系統(tǒng)的吸引子相圖、時(shí)域波形。最后通過EWB軟件得到電路的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果，此結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果也是一致的。在文中所給出的參數(shù)條件下，電路仿真實(shí)驗(yàn)和理論分析結(jié)果都表明新系統(tǒng)是處于混沌狀態(tài)，并且該系統(tǒng)物理可實(shí)現(xiàn)。為以后更多維混沌系統(tǒng)的研究提供了一定的基礎(chǔ)，為以后實(shí)際混沌電路的搭建做了基礎(chǔ)理論研究，同時(shí)也是為混沌信號(hào)的應(yīng)用做鋪墊。

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作者簡(jiǎn)介：徐小云（1986-），女，碩士研究生，主要從事混沌理論與保密通信方面的研究。

徐禮國（1984-），男，碩士研究生，主要從事混沌理論與保密通信方面的研究。