一個(gè)線性算子的特征向量空間

摘 要：線性算子A=（x）=[（t2-1）x′]′，當(dāng)λ=n（n+1）時(shí)，λ為A的本（特）征值，它相應(yīng)的本（特）征向量為L(zhǎng)egendre多項(xiàng)式，且特征向量空間是1維的；當(dāng)λ≠n（n+1）時(shí)，λ不為A的本（特）征值。

關(guān)鍵詞：線性算子，特征向量空間，Legendre多項(xiàng)式

中圖分類號(hào)：O21文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：2095-7394（2015）02-0005-05

0 引言

泛函分析是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一門較新的數(shù)學(xué)分支。它起源于數(shù)學(xué)物理中的變分問(wèn)題、邊值問(wèn)題，概括了經(jīng)典數(shù)學(xué)分析、函數(shù)論中的某些重要概念、問(wèn)題和成果，又受到量子物理學(xué)、現(xiàn)代工程技術(shù)和現(xiàn)代力學(xué)的有力推動(dòng)。它綜合地應(yīng)用分析的、代數(shù)的和幾何的觀點(diǎn)和方法去研究分析數(shù)學(xué)、現(xiàn)代物理及現(xiàn)代工程技術(shù)提出的許多問(wèn)題。隨著泛函分析本身不斷地深入發(fā)展，現(xiàn)在它已經(jīng)成為一門內(nèi)容豐富、方法系統(tǒng)體系完整、應(yīng)用廣泛的獨(dú)立分支。同時(shí)泛函分析的概念和方法已滲透到現(xiàn)代純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)、理論物理和現(xiàn)代工程技術(shù)理論的許多分支，例如：微分方程、概率論、計(jì)算方法、量子場(chǎng)論、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)、抽象調(diào)和分析、現(xiàn)代控制理論、微分幾何等方面。現(xiàn)在，泛函分析對(duì)純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)產(chǎn)生了重大的影響。

泛函分析可分為線性泛函分析和非線性泛函分析兩大部分。由于線性問(wèn)題比較容易研究，因此，線性泛函分析要比非線性泛函分析成熟的多。而線性算子和線性泛函是泛函分析研究的基本對(duì)象。

1 定義與定理

定義1 設(shè)Λ是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)域，X和Y為Λ域上的兩個(gè)線性空間，D是X的線性子空間，T是D到Y(jié)的一個(gè)映照，對(duì)x∈D，設(shè)x經(jīng)T映照后的像為Tx或T（x）。如果對(duì)任何x、y∈D以及數(shù)α、β∈Λ，

有T（αx+βy）=αTx+βTy成立，就稱T為線性算子，稱D為T的定義域，也記為D（T）。[1]

定義2 設(shè)X是線性空間，λ是一個(gè)數(shù)，T是XX的線性算子。如果有X中非零向量x∈D（T），使得T（x）=λx，則稱λ是T的特征值（或本征值），而x為T（相應(yīng)于特征值λ）的特征向量（或本征向量）。[2]

定義3 設(shè)Eλ為算子T（相應(yīng)于特征值λ）的特征向量全體，再加入零向量，則稱Eλ為算子T（相應(yīng)于特征值λ）的特征向量空間。[3]

研究算子A（x）=[（t2-1）x′]′得到如下定理。

參考文獻(xiàn)：

[1]夏道行，吳卓人，嚴(yán)紹宗，等.實(shí)變函數(shù)論與泛函分析（下）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]徐森林，薛春華.數(shù)學(xué)分析（第一冊(cè)）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005.

[3]徐森林，金亞?wèn)|，薛春華.數(shù)學(xué)分析（第三冊(cè)）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2007.

Abstract：linear operatorA（x）=（t2-1）x′′.Ifλ=n（n+1）.It is an eigenvalue of A，and Legendre polynomials is a grant eigenvector corresponds to λ of A，and the character is a 1-dimensional vector space；If λ≠n（n+1），λ is not a eigenvalue of A.

Key words：linear operator；vector space；Legendre polynomials

責(zé)任編輯 張志釗