分形幾何的若干教學(xué)難點(diǎn)與直觀講解

摘 要：分形幾何學(xué)是近三十年來(lái)興起的數(shù)學(xué)分支。結(jié)合我校實(shí)際情況，分析總結(jié)為本科生開(kāi)設(shè)分形幾何課程的意義，并就若干學(xué)習(xí)難點(diǎn)提出教學(xué)建議。

關(guān)鍵詞：分形；教學(xué)；難點(diǎn)；建議

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：2095-7394（2015）02-0104-03

0 引言

大自然中的許多幾何體具有非常復(fù)雜和高度不規(guī)則的結(jié)構(gòu)，如海岸線(xiàn)、山脈的輪廓等。這些形體常常無(wú)法用經(jīng)典幾何學(xué)中的方法加以刻畫(huà)。在數(shù)學(xué)中人們亦常常遇到高度不規(guī)則的集合。例如經(jīng)典的三分康托集，一方面，其Lebesgue測(cè)度為零，在經(jīng)典幾何學(xué)中常常會(huì)被忽略不計(jì)；另一方面，它具有連續(xù)勢(shì)，是一個(gè)“相當(dāng)大”的集合，將它忽略不恰當(dāng)。高度不規(guī)則的集合同時(shí)大量出現(xiàn)在自然界和科學(xué)研究中，而經(jīng)典幾何又無(wú)法加以分析處理，于是分形幾何應(yīng)運(yùn)而生。

近年來(lái)，人們對(duì)分形幾何的理論和應(yīng)用研究方興未艾。一方面，其自身理論不斷發(fā)展，有許多研究方向和課題；另一方面，它與其他數(shù)學(xué)分支乃至物理、化學(xué)和生物等自然科學(xué)領(lǐng)域的交叉與日俱增。分形幾何在兼容經(jīng)典幾何學(xué)的同時(shí)為分析高度不規(guī)則的幾何對(duì)象提供了強(qiáng)有力工具，有很大的理論意義。同時(shí)，它在流體力學(xué)、生物DNA序列和圖像壓縮、信號(hào)處理、準(zhǔn)晶生長(zhǎng)等許多自然科學(xué)和應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。開(kāi)設(shè)分形幾何學(xué)課程，不僅可以讓學(xué)生深入了解分形幾何學(xué)這一新興數(shù)學(xué)分支的研究?jī)?nèi)容和發(fā)展動(dòng)態(tài)，而且有利于他們提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，為今后的學(xué)習(xí)和工作擴(kuò)充基礎(chǔ)。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)許多高校相繼為本科生開(kāi)設(shè)了分形幾何學(xué)課程。

下面我們綜述本科生分形幾何課程的基本內(nèi)容及學(xué)習(xí)難點(diǎn)，探討教學(xué)方法。

1 分形幾何的基本教學(xué)內(nèi)容、難點(diǎn)和直觀講解

經(jīng)典分形集的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)、各類(lèi)測(cè)度和維數(shù)的概念與計(jì)算是本科教學(xué)的基本內(nèi)容。經(jīng)典分形集包括自相似集、莫朗集和自仿集。自相似集具有嚴(yán)格的自相似性，是研究最為充分的分形集，因此在教學(xué)中應(yīng)為重點(diǎn)內(nèi)容[1]。Moran集包含自相似集作為特例，在具體研究中扮演了非常重要的角色。人們常常通過(guò)考察其Moran型子集或覆蓋來(lái)研究其它分形集的性質(zhì)[2-3]。講解Moran集，有利于學(xué)生理解更大類(lèi)的分形之生成機(jī)理，初步了解分形幾何的研究動(dòng)態(tài)。其中若干方面亦可為優(yōu)秀本科生提供很好的畢業(yè)設(shè)計(jì)論題。在自相似集的生成機(jī)制中將相似壓縮映射換成壓縮仿射，我們就得到自仿集。對(duì)自仿集做適度的講解，不僅有利于學(xué)生對(duì)這類(lèi)分形自身有所理解，而且有利于學(xué)生增強(qiáng)概率論知識(shí)的應(yīng)用能力。除了上述三類(lèi)分形集外，還有許多其它分形集，例如Julia集及非齊次自相似集等。可略作介紹以擴(kuò)大學(xué)生的視野。更多的細(xì)節(jié)和深入的結(jié)果，見(jiàn)參考文獻(xiàn)[2，4，5]。

為了刻畫(huà)分形集，數(shù)學(xué)家定義了許多不同的指標(biāo)，主要包括：Hausdorff測(cè)度和維數(shù)，Packing測(cè)度和維數(shù)，Minkowski容度及上、下Minkowski維數(shù)。這些指標(biāo)從不同角度刻畫(huà)了分形集的尺寸和復(fù)雜性。

估計(jì)上述各指標(biāo)的重要工具是質(zhì)量分布原理和密度定理，這些均涉及測(cè)度。對(duì)于本科生而言，初次接觸測(cè)度時(shí)，理解它有困難；構(gòu)造測(cè)度是學(xué)習(xí)分形的難點(diǎn)之一。為了應(yīng)用質(zhì)量分布原理，我們常常需要構(gòu)造莫朗詞組，這類(lèi)構(gòu)造是學(xué)習(xí)分形幾何的另一難點(diǎn)。下面以康托測(cè)度和Moran詞組為例說(shuō)明對(duì)抽象思維做直觀講解的重要性。

例1 康托測(cè)度。從理論上講，可用符號(hào)空間上的無(wú)窮乘積測(cè)度自然地投射到康托集上。即康托測(cè)度是{0，1}N上對(duì)應(yīng)于概率向量（2-1，2-2）的無(wú)窮乘積測(cè)度在自然投射下的像測(cè)度。這樣講解首先需要介紹符號(hào)空間，講解其上拓?fù)浼白匀煌渡涞倪B續(xù)性。學(xué)生亦需要對(duì)像測(cè)度有較好的理解。如此做嚴(yán)格數(shù)學(xué)處理自然是合適的。但對(duì)于基礎(chǔ)偏弱的學(xué)生而言，他們不易接受。現(xiàn)在換一種直觀的方式講解。將一個(gè)單位的能量平均分布在康托集的兩個(gè)第一級(jí)基本區(qū)間上，每個(gè)區(qū)間分得二分之一；對(duì)每個(gè)第一級(jí)基本區(qū)間，將其上2-1個(gè)單位的能量平均分給其所包含的兩個(gè)第二級(jí)基本區(qū)間；如此以往，每個(gè)基本區(qū)間都帶有相應(yīng)的權(quán)重。單位區(qū)間的一般Borel子集所攜帶的能量就等于其所含基本區(qū)間的能量之和。這樣所得的集合函數(shù)便是康托測(cè)度。上述思想就是質(zhì)量分布的直觀解釋。這種方式的講解雖然在數(shù)學(xué)上不甚嚴(yán)格，但容易被學(xué)生接受，可視為嚴(yán)格數(shù)學(xué)處理的有益的和必要的補(bǔ)充。

例2 莫朗詞組。所謂莫朗詞組，就是帶有某種均勻性的詞的集合。為什么要選擇莫朗詞組呢？或者問(wèn)，莫朗詞組有何優(yōu)點(diǎn)？如果只按照定義往下演繹，學(xué)生必不能理解莫朗詞組的要害所在。那樣，學(xué)生在學(xué)過(guò)之后對(duì)其中的思想沒(méi)有理解，充其量只能機(jī)械地模仿。一旦情況有變，他們就很可能會(huì)發(fā)生謬誤，而且不具備辨別是非的能力。現(xiàn)在，我們說(shuō)，莫朗詞組的優(yōu)點(diǎn)在于，其基數(shù)容易估計(jì)，這個(gè)優(yōu)點(diǎn)就根源于其均勻性。我們可作如下直觀講解：有一個(gè)很大的籮筐，有很大一堆沙石，沙石的尺寸懸殊。現(xiàn)在將這個(gè)籮筐裝滿(mǎn)沙石，問(wèn)籮筐里有多少顆沙石？這個(gè)數(shù)目當(dāng)然不易估計(jì)。現(xiàn)在我們給定一個(gè)尺寸，再選擇與給定尺寸差不多的沙石裝進(jìn)籮筐。那么，通過(guò)估計(jì)籮筐的容積和給定的尺寸就很容易大致估計(jì)出沙石的數(shù)目了。這樣講解，相信學(xué)生很容易理解莫朗詞組的要義，通過(guò)一定訓(xùn)練，他們能自覺(jué)地做出類(lèi)似構(gòu)造以解決相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題。

2 分形幾何的教學(xué)建議

結(jié)合上述分析，提出如下建議。

（1）教師需要制訂適合于學(xué)生基礎(chǔ)的教學(xué)計(jì)劃，并對(duì)抽象問(wèn)題做直觀化的講解。事實(shí)上，抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題之解決往往建立在樸素的直觀想法基礎(chǔ)上。做直觀講解不但能讓學(xué)生切實(shí)理解問(wèn)題的本質(zhì)，亦能增加學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

（2）利用多媒體工具展示各種美麗的分形圖片，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生自己編寫(xiě)程序，生成分形圖片，由此訓(xùn)練學(xué)生的計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力。

（3）注重?cái)?shù)學(xué)思想的培養(yǎng)和訓(xùn)練。例如對(duì)測(cè)度的講解可強(qiáng)調(diào)質(zhì)量分布的思想；對(duì)Moran詞組的講解點(diǎn)明“在不均勻中尋求均勻性”這一想法。這樣可在學(xué)生獲取知識(shí)的同時(shí)切實(shí)理解思想的關(guān)鍵作用，由此初步培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的洞察力。

（4）除講授法教學(xué)外，我們可采用討論式教學(xué)，將班級(jí)學(xué)生分成若干小組，要求學(xué)生對(duì)給定論題或自選分形論題做小組討論學(xué)習(xí)，定期報(bào)告結(jié)果，由此發(fā)掘?qū)W生的主觀能動(dòng)性，使其真正自覺(jué)地學(xué)習(xí)，從而達(dá)到培養(yǎng)能力的更好效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]Hutchinson J E.Fractals and self-similarity[J].Indiana Univ.Math.J.1981，30：713–747.

[2]文志英.分形幾何的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].上海：上海科技出版社，2000.

[3]Wen Z Y.Moran sets and Moran classes[J].Chinese Science Bulletin，2001，46，1 849-1 856.

[4]Falconer K J.Fractal geometry——mathematical foundations and applications[M].Chichester：John Wiley，1990.

[5]Barnsley M F.Fractals everywhere[M].New York，London：Academic Press，1988.

Abstract：Fractal geometry is a new branch of mathematics which was boomed up 30 years ago.Some difficult teaching points of fractal geometry as an undergraduate course are analyzed.Suggestions are also given according to the practical situation of our university.

Key words：fractals；teaching；difficult teaching points；suggestions

責(zé)任編輯 祁秀春