日火地三體模式的數值模擬研究

摘要針對中學物理行星軌道的形狀問題，用數值模擬方法驗證了不同質量速度比條件下日火地三體的軌道規律。將現代物理學是由實驗，理論和計算三部分組成的這一思想貫徹到教學手段中。從而一定程度上激發學生對于物理研究的興趣，引發進一步的思考。

關鍵詞

三體運動 橢圓軌道 數值模擬 中學物理

課題背景

根據 《數值模擬方法驗證行星運行的軌道》我們了解了二星運動軌道的規律，這讓我們不禁產生以下疑問：

（1）二星運動軌道是橢圓的，太陽火星地球的運動軌道是什么形狀的呢？

（2）在不同情況下，比如太陽火星地球、太陽地球月亮、等質量三星纏繞、等質量三星共軌，他們的軌道有什么區別？

（3）當滿足動量守恒，無外力作用后，二星的軌道固定不變，那么日火地三星的軌道也是永遠固定不變的嗎？

帶著這些問題，我們從牛頓的萬有引力方程和牛頓力學定律出發，得到相應的差分方程，通過數值方法來驗證日火地三星運動軌道的形狀，并討論不同質量速度比條件下的變化。

理論依據

論文【1】用圖1表示二體之間的相互作用，得到了二體問題加速度，位置的計算公式。我們把它推廣到三體的形式。得到公式（1）、（2）、（3）。

3. 數據模擬結果

我們在二體的基礎上討論三體的運行軌道，我們假設一開始只有太陽和火星這兩個星體，他們的運行軌道為雙橢圓重疊，后來地球與他們形成了三星系統，但是這個三星系統并不穩定，意味著三星運行的軌道并不像雙星一樣穩定，因為三個星體之間的萬有引力的大小會隨著他們的相對位置改變而改變，從而導致他們的運動軌跡不固定。下面我們要對每一種情況進行分類討論。

情景一：當三星的相對位置固定不變，位置坐標為（0，0），（1.5，0）和（2，0）時：

（1）當質量比為100：1：1時，軌道圖為

（2）當質量比為50：1：1時，軌道圖為

通過對軌道圖的分析，我們可以發現前兩種情況的軌道較為穩定，可以形成橢圓，因為三星之間互相作用的萬有引力趨向于一個平衡狀態，使軌道穩定。然而后面三種情況的軌道為不穩定狀態，是因為萬有引力趨向于不平衡狀態，比如說當地球和火星靠的太近時，他們兩個會互相吸引，從而導致軌道偏離。

情景二：當三星的質量比保持不變，為100：1：1（這個質量比比較具有代表性），把三體的相對位置改變：

（1）當位置坐標為（0，0）（1.5，0）和（2，0）時，軌道圖為

（2）當位置坐標為（0，0）（1.5，0）和（4，0）時，軌道圖為

通過對不同質量比的情況分析，我們可以發現一些規律，當火星和地球靠得太近時，太陽對他們的束縛能力要小于火星和地球之間的吸引力，這就導致了相撞。由此可見，要使日火地形成較為穩定的三星軌道，那么火星和太陽必須離得很近，地球則要相對偏遠一些，這也符合我們的太陽系行星分布規律，即這種軌道：

情景三：上面兩種情況都是考慮動量守恒的，接下來我們來考慮如果一開始動量不守恒，即P太陽≠P地球+P火星。

（1）當質量比為100：1：1時，軌道圖為

（2）當質量比為25：1：1時，軌道圖為

由此可見，我們只有保證動量守恒，即P太陽=P地球+P火星時，才能構成較為穩定的三星系統。

4. 教學意義

本模擬方法利用物理學原理和MATLAB編程，成功的驗證了三星（日火地）的軌道規律。該方法將現代物理學是由實驗，理論和計算三部分組成的這一思想貫徹到教學手段中。從而一定程度上激發學生對于物理研究的興趣，引發進一步的思考。

參考文獻

【1】數值模擬方法驗證行星運行的軌道，高竹，2012，中國科教創新導刊

【2】天體力學[M]，趙進義，1983，上海科學技術出版社

【3】微分方程數值解法（第四版）[M]，李容華，劉播，2009，高等教育出版社

【4】Matlab圖形圖像處理[M]， 董長虹，賴志國，余嘯海，2004，國防工業出版社