一個(gè)自主學(xué)習(xí)的“路徑示范”案例

摘 要：隨著新課改的深化與新高考的推進(jìn)，數(shù)學(xué)課程體系發(fā)生了重大變化，教師的“教”不斷地減少，學(xué)生的“學(xué)”成為主角，以學(xué)定教的理念應(yīng)運(yùn)而生，學(xué)生自主學(xué)習(xí)便成了不二法門(mén)。從一堂作業(yè)講評(píng)示范課探索“認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)、形成數(shù)學(xué)結(jié)論”的規(guī)律，期望它能成為學(xué)生自主學(xué)習(xí)的“路徑典范”。結(jié)合W·克拉夫基的“范例教學(xué)論”，淺談案例教學(xué)對(duì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的示范、引領(lǐng)作用。

關(guān)鍵詞：自主學(xué)習(xí)；范例教學(xué)；新課改

隨著新課改的深化與新高考的推進(jìn)，數(shù)學(xué)課程體系發(fā)生了重大變化，導(dǎo)致校本課程建設(shè)、課堂教學(xué)、教學(xué)評(píng)價(jià)等諸多方面的變革。我們面前擺著一個(gè)嚴(yán)峻的問(wèn)題：如何在有限的時(shí)間內(nèi)提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率？顯然，教師的“教”不斷地在減少，學(xué)生的“學(xué)”成了主角，以學(xué)定教的理念應(yīng)運(yùn)而生，學(xué)生自主學(xué)習(xí)便成了不二法門(mén)。然而，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)總是伴隨著“漫無(wú)目的、不知所措、放任自由、效率低下”。本文將從一堂作業(yè)講評(píng)示范課探索“認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)、形成數(shù)學(xué)結(jié)論”的規(guī)律，期望它能成為學(xué)生自主學(xué)習(xí)的“路徑典范”。

一、選材與情境

本節(jié)課選材于人教A版選修2-1第49頁(yè)第8題：

（1）這組直線(xiàn)何時(shí)與橢圓相交？

（2）當(dāng)它們與橢圓相交時(shí)，證明：這些直線(xiàn)被橢圓截得的線(xiàn)段中點(diǎn)在一條直線(xiàn)上。

從作業(yè)的批改中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的困惑主要集中在第2問(wèn)，無(wú)法找出中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，部分學(xué)生運(yùn)用了聯(lián)立方程、韋達(dá)定理來(lái)找出中點(diǎn)坐標(biāo)與弦端點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系。基于學(xué)情的了解，開(kāi)始了本節(jié)課的教學(xué)。此類(lèi)“以學(xué)定教”的課例，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，問(wèn)題情境信手拈來(lái)。

二、思考與探索

學(xué)生分別用了兩種方法，一種是聯(lián)立方程后用韋達(dá)定理，另一種方法是點(diǎn)差法。先展示學(xué)生聯(lián)立方程、韋達(dá)定理來(lái)找出中點(diǎn)坐標(biāo)與弦端點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系的計(jì)算，在師生互動(dòng)中點(diǎn)評(píng)計(jì)算關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)與思維活動(dòng)過(guò)程。展示學(xué)生運(yùn)用點(diǎn)差法的計(jì)算過(guò)程，讓學(xué)生體驗(yàn)此法的優(yōu)點(diǎn)，概括出此法的特點(diǎn)并命名之。

思考1.眾所周知，分析數(shù)學(xué)問(wèn)題要從已知條件與待解問(wèn)題的分析入手，再尋找兩者之間的關(guān)系，同學(xué)們，本題已知什么條件，要證明什么結(jié)論？

設(shè)計(jì)目的：分析數(shù)學(xué)問(wèn)題的已知條件與待解問(wèn)題，是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的起點(diǎn)。本環(huán)節(jié)的主要目的是引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題的目標(biāo)意識(shí)、問(wèn)題的轉(zhuǎn)化意識(shí)，從而提高學(xué)生分析問(wèn)題能力。

思考2.該題已知弦的斜率，得出弦的中點(diǎn)在定直線(xiàn)上。能否翻轉(zhuǎn)這個(gè)問(wèn)題的條件與已知，即如果中點(diǎn)P坐標(biāo)已知，弦所在直線(xiàn)唯一確定，我們是否可以研究一下兩者內(nèi)在的關(guān)系？如何研究？

引導(dǎo)學(xué)生制訂一個(gè)可行的方案，基本思路分四步：已知中點(diǎn)P（1，1）；已知中點(diǎn)P（1，n），P（m，1）；已知中點(diǎn)P（m，n），求弦所在直線(xiàn)的方程。

設(shè)計(jì)目的：深層次的自主學(xué)習(xí)總是在“產(chǎn)生問(wèn)題”之后，變更已知條件與待解問(wèn)題，有時(shí)是探索問(wèn)題本質(zhì)的方法，在“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”中逐步產(chǎn)生問(wèn)題，激發(fā)探索的意愿。從無(wú)參數(shù)到有參數(shù)，從易到難，學(xué)生經(jīng)歷了“探索—發(fā)現(xiàn)”的過(guò)程

設(shè)計(jì)目的：雖然不強(qiáng)求記住弦的方程，但是有很多學(xué)生在推導(dǎo)過(guò)程中不僅記住了它，而且領(lǐng)略了化簡(jiǎn)的基本原則，真真切切地感受到了數(shù)學(xué)美。

到此，學(xué)生充分肯定了自己的探索、發(fā)現(xiàn)與證明，提高了自我效能，對(duì)今后探索新問(wèn)題有方向感、有啟示。

三、反思與成長(zhǎng)

做好、說(shuō)好一個(gè)數(shù)學(xué)作業(yè)，不是我們唯一的目的。引導(dǎo)學(xué)生回顧“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)問(wèn)題”的過(guò)程，總結(jié)出一般的探究思維歷程，可以讓一次成功的體驗(yàn)成為下次成功的經(jīng)驗(yàn)，不失為引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的經(jīng)典范例。

在我的引導(dǎo)、點(diǎn)撥下，學(xué)生形成了他們自認(rèn)為一般的探究問(wèn)題的過(guò)程是：

解題→找限制條件→變化條件→產(chǎn)生新問(wèn)題→解題，不斷循環(huán)以上步驟，逐步揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)。

盡管這個(gè)探究問(wèn)題的基本過(guò)程是寬泛的、臆斷的、有不合理因素，但是它是學(xué)生第一次有意識(shí)地回顧自己解題思維的成果，基于學(xué)生的認(rèn)知水平，這份成果值得老師肯定、表?yè)P(yáng)。因?yàn)椋鼘⒋龠M(jìn)學(xué)生對(duì)自己思維的認(rèn)識(shí)，開(kāi)啟認(rèn)識(shí)自我的歷程，數(shù)學(xué)問(wèn)題的產(chǎn)生、分析、解決僅僅是學(xué)生認(rèn)識(shí)自我的載體，真正體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)是思維的體操”。

四、拓展與延伸

思考6.對(duì)比圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題，你發(fā)現(xiàn)了什么？

“如果你想知道圓與橢圓的相關(guān)結(jié)論與研究方法，可以參閱選修4-2《矩陣與變換》。”

設(shè)計(jì)目的：了解了橢圓與圓的內(nèi)在聯(lián)系，再引導(dǎo)學(xué)生閱讀相關(guān)書(shū)籍，自習(xí)，對(duì)學(xué)生拓展視野大有裨益。

五、教后反思

我們并不缺乏題目的“量”，也許缺少的是一雙欣賞數(shù)學(xué)的眼睛、幾分迎難而上的熱情與若干成功探索的案例。

在學(xué)習(xí)活動(dòng)中能夠?qū)W(xué)習(xí)進(jìn)展、學(xué)習(xí)方法作出自我監(jiān)控、自我反饋和自我調(diào)節(jié)，在學(xué)習(xí)活動(dòng)后能夠?qū)W(xué)習(xí)結(jié)果進(jìn)行自我檢查、自我總結(jié)、自我評(píng)價(jià)和自我補(bǔ)救，那么他的學(xué)習(xí)是自主的。本案例中思考2的環(huán)節(jié)是生生、師生充分討論后制訂出方案，自主研討，是互動(dòng)中的自主，在“反思與成長(zhǎng)”環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生審視自己的思維過(guò)程，提煉出一般的過(guò)程，屬元認(rèn)知中的自主。本案例深層次地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)驅(qū)力，是一個(gè)好的自主學(xué)習(xí)范例。

案例中，問(wèn)題的產(chǎn)生自然、有層次，拾級(jí)而上，分析合理，適合學(xué)生的思維發(fā)展。分析過(guò)程體現(xiàn)的自主性、探究問(wèn)題的深度與自主反思的深刻足以成為今后學(xué)生自主學(xué)習(xí)的“路徑示范”。

“范例教學(xué)論”的重要代表人物之一W·克拉夫基認(rèn)為：根據(jù)根本的、基礎(chǔ)的、本質(zhì)性的教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生借助精選的素材，通過(guò)同“范例”的接觸，以訓(xùn)練和培養(yǎng)他們的獨(dú)立思考能力和判斷能力，掌握科學(xué)知識(shí)的同時(shí)領(lǐng)會(huì)科學(xué)方法。的確，教學(xué)的成功在于學(xué)生通過(guò)課堂學(xué)習(xí)后能獨(dú)立地依靠自己的力量邁開(kāi)步伐。因此，一個(gè)精心設(shè)計(jì)的探究案例定能讓學(xué)生明白如何思考、變換、研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)學(xué)生今后的自主學(xué)習(xí)是一個(gè)啟發(fā)。本范例中學(xué)生自然形成數(shù)學(xué)問(wèn)題，自主設(shè)計(jì)思路，分析、研究策略與問(wèn)題解決，突出了學(xué)生的主體性，提高了自我效能感。正所謂：一次成功將是另外一次成功的基石。

參考文獻(xiàn)：

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編輯 薛直艷