基于微積分方法求解一類冪級數的和函數

【摘""要】幾何級數由于形式的特殊性，可在其收斂域里方便求出它的函數。一類冪級數可通過逐項求導或逐項求積的形式將其轉化成幾何級數，結合幾何級數的和函數反向通過求積或求導的方法得到原冪級數的和函數。

【關鍵詞】冪級數""和函數""求導""積分

【中圖分類號】G642"""""""""""【文獻標識碼】A"""""""""""【文章編號】1674-4810（2015）14-0074-01

冪級數是一類最簡單的函數項級數，其和函數的求解可以用級數求和的一般方法，同時也有適合其形式的特殊解法。即在求出冪級數的收斂域的條件下，先利用逐項求導或逐項求積的方法將原冪級數轉換成幾何級數，結合幾何級數的和函數，然后再通過求導或積分的方法得到原冪級數的和函數。具體類型及方法如下。

類型1：通過逐項求積或逐項求導的方式直接轉換成幾何級數，隨后求解。

根據和函數s（x）在（-1，1）連續，可得s（0）=0，從

而有C=0，所以該冪級數的和函數為：。

說明：對于先求導、后求積的形式，由于所求為不定積分，因此會帶一個常數，此時根據冪級數在收斂域連續的性質，結合s（0）的初值可求出常數的值。

對于上述兩種類型，由于冪級數通項的系數與x的冪指數的關系，通過求導或求積的方式，能將系數直接去掉，使得新冪級數跟幾何級數的形式相似，然后即可求出新函數的和函數，隨后利用求積或求導得到原冪級數的和函數。

類型2：轉換成以x的整數次冪乘冪級數形式，然后根據類型1再求解。

綜上可得，對于上述類型冪級數和函數的求解方法可歸納為：（1）若冪級數的通項是整數與變量x相乘的形式，則可用“先積分，后求導”的方法。（2）若冪級數的通項是整數的倒數與變量x相乘的形式，則可用“先求導，后積分”的方法，但要結合和函數在收斂域的連續性求出積分后的常數。（3）若用逐項求導或逐項求積無法消除冪級數通項前的系數，此時可提取x的整數次冪，使得變換后冪級數變成（1）或（2）類型，然后求解。

參考文獻

[1]華東師范大學數學系編.數學分析：第四版（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2011

[2]同濟大學數學系編.高等數學：第六版（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2007

[3]陸宜清、楊松華.淺談冪級數的和函數的求法及其應用[J].南陽師范學院學報，2013（12）：68～71

[4]徐鳳林、張秀麗.冪級數和函數的解法綜述[J].山東輕工業學院學報（自然科學版），2006（1）：94～98

〔責任編輯：龐遠燕〕