中學數學建模教學與實踐探索

【摘""要】初、高中學生已經初步掌握建立數學模型的方法和步驟，具備運用數學模型方法解決比較簡單的實際問題的能力。對于藏族學生而言，以其喜聞樂見的實際問題作為例子，建立數學模型，能起到事半功倍的作用。

【關鍵詞】中學數學""模型思想""教學實踐""藏族學生

【中圖分類號】G424"""""""""""【文獻標識碼】A"""""""""""【文章編號】1674-4810（2015）14-0018-02

《數學課程標準（修訂稿）》中指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。”建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。應用意識有兩個方面的含義，一方面是有意識地利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象，解決現實世界中的問題;另一方面，認識到現實生活中蘊涵著大量與數量和圖形有關的問題，這些問題可以抽象成數學問題，用數學的方法予以解決。在整個數學教育的過程中都應該培養學生的應用意識，綜合實踐活動是培養應用意識很好的載體。應用數學知識去解決實際問題，常常需要在數學理論和實際問題之間構建一個橋梁來加以溝通，以便把實際問題中的數學結構明確地表示出來，這個橋梁就是數學模型。

我們以幾項體育活動以及與學生生活息息相關的生活問題作為實例，進行問題分析，研究解決方法（建立數學模型），進一步解決問題（模型求解），再做一些必要的結果分析（模型分析），能對藏族學生的數學學習起到事半功倍的作用。

一"足球射門問題

踢足球是藏族學生喜愛的一種體育活動。什么時候射門才能夠最大可能地射進球門，可以用一個數學方法來解決。

問題：一邊鋒在對方隊員的防守下只能沿場邊直線帶球沖向球門，問何時射門進球系數最大？

數學概念：幾何;適用年級：初三。

建模過程：射門進球可能性大小與球員對球門的視角大小有關。當球員在對方的防守下只能沿場邊直線帶球沖向球門，一定有對于球門的最大視角點。可以用下面的示意圖（圖1）來表示：AB表示球門的寬度，邊鋒沿CD帶球沖向球門。我們可以作過A和B，與直線CD相切的唯一圓（在場內），這個切點就是最大視角點，也就是最佳射球點。

學生的任務：說明為什么點H是對球門的最大視角點，說出或寫出這個圓的作法。還有沒有其他最佳射球點？

二"臺球擊球方向問題

比賽臺球（斯諾克Snooker）也是藏族學生喜愛的一種體育活動，往往在將一個球擊入最近或最佳的球門時，前面有一個障礙球。這時一般將球打到球桌邊緣反彈到目標球門。

問題：如圖2，如果要將球Q擊入球門A，應將球打到桌邊CD的哪個位置，才能直線進入球門A呢？

數學概念：幾何;適用年級：初二。

建模過程：如圖3、圖4等方法。可以瞄準A'、A''、A2……等點擊球。

圖3""""""""""""""""""""""""""圖4

學生的任務：找出這個反彈點，并說明理由。如果沿線KA又有障礙球，在桌邊CD上有沒有另外一個這樣的點呢？如果沒有，怎么才能夠將球打進球門A呢？圖中的A'、A''、A2……各點與點A有什么關系？

三"羊群中羊的數量問題

有一群羊，不能一一點數，要估算出羊的總數。可以用豌豆作為工具，利用概率方法估計數量，以此作為模型來求出羊群中羊的總數。

問題：用什么方法能夠估算出這群羊的總數？

數學概念：統計、概率;適用年級：高一。

建模過程：以豌豆作為模型。假設袋中有N粒豌豆，第一次取出t粒做好標記后放回袋中，第二次取出n粒，其中恰有s粒做了標記，我們可以求得n粒豌豆中恰有s粒為帶標

記的豌豆的概率，其概率為：。這是大概率事件，

有一個合適的N會使概率P達到最大，基于這個思維，可通

過求P的極大值的方法來估計N的值，當時P達到

極大。所以，假定第一次從袋中取出120粒豌豆，對這120粒豌豆做了標記;第二次取出100粒豌豆，如果其中有10粒豌豆做了標記，那么這袋豌豆共有1200粒。對這群羊而言，首先從中隔離出部分羊來，做好標記后放回;當充分混合后再從中隔離出一部分來，可以數出其中帶有標記的羊的數量，由此計算整群羊的總數。

學生的任務：從一袋豌豆中任意取出一把，統計數量并做記錄，給每粒豌豆做上標記放回袋中。把它們充分攪勻后再從袋中任意取出一把，統計帶標記和不帶標記的豌豆數量并做記錄。從這一把豌豆中的帶標記的數量與總數的比例可以推斷估計出這一袋豌豆的大概數量。

四"風暴危害問題

據甘肅省氣象臺預報，甘南州合作市正東300km處的天水市區有一個暴雨云團形成，并以每小時40km的速度向西北方向運動，由于氣溫的變化，在離云團中心250km以內的地區將受到冰雹影響。

問題：云團中心的運動軌跡是什么？合作市周邊250km范圍內的農牧業是否會受到冰雹的影響？若受影響，受影響的時間有多長？

數學概念：坐標法、三角函數、參數方程""適用年級：高二。

建模過程：建立正確的方

位圖，用坐標系來具體表示，

給出云團運動的軌跡直線，列

出軌跡方程及合作市的安全區

域表示式。

學生的任務：畫圖，列方程。

如圖5，云團運動軌跡為

射線AD，其方程為：

（t≥0，為云團運動時間）

解得：1.99≤t≤8.61

由此可知，從現在起約經過1.99小時后將受到冰雹影響，時間持續8.61-1.99=6.62（小時）。

五"選購筆記本問題

扎西利用課余時間回收廢品，用賣得的錢去購買5本大小不同的兩種筆記本，計劃共花錢不超過28元，且購買的筆記本的總頁數不低于340頁，兩種筆記本的價格和頁數如下表。

大筆記本

小筆記本

價格（元/本）

6

5

頁數（頁/本）

100

60

問題：為了節約資金，扎西應選擇哪一種購買方案？請說明理由。

數學概念：不等式（組）;適用年級：初三。

建模過程：如果設購買大筆記本x本，那么購買小筆記本5-x本，根據題意有以下不等式組：

，解得1≤x≤3。

由此可列出購買方案：

方案

大筆記本（本）

小筆記本（本）

紙張頁數（頁）

總價格（元）

1

1

4

340

26

2

2

3

380

27

3

3

2

420

28

學生的任務：根據花錢要求和買筆記本要求分別列出關系式（不等式），并解不等式組，給出所有的購買方案。

在市場經營、核定價格、分析盈虧、估計產量、投資決策等許多問題中，可以通過挖掘實際問題所隱含的數量關系，建立不等式（組）模型來加以解決。

參考文獻

[1]劉兼、孫曉天.數學課程標準（修訂稿）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2008

〔責任編輯：龐遠燕〕