高等數學中函數極限的求法分析

【摘 要】微積分建立在實數、極限、函數的基礎上，通過19世紀柯西與維爾斯特拉斯的極限理論以及康托爾的實數理論，形成當前嚴密化的微積分知識。函數極限是微積分知識的基礎，本文主要分析了高等數學中函數極限的求法。

【關鍵詞】函數極限 微積分 求法

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2015）11-0082-02

在高等數學中，極限作為微積分學的基礎，貫穿微積分的始終。學生要掌握好計算極限的方法，實際解題中函數極限的求法是多種多樣的，以下做具體介紹。

一 函數極限問題

函數極限理論作為微積分學的理論基礎，貫穿高等數學的整個教學過程，學生只有掌握函數極限求法，才能學好高等數學。函數極限有很多種求法，如洛必達法則、泰勒公式、級數收斂性、Stolz公式等，學生在實際解題中要根據高等數學題的實際情況，運用適當的微積分方法，不僅可以及時找到問題的突破口，還可以舉一反三地解決問題。

二 函數極限求法

1.洛必達法則求函數極限

在函數極限問題的求解中，洛必達法則多用來求不定式極限，要求在點的空心鄰域內兩者都可導，且作分母的函數的導數不為零。

內必須滿足洛必達法則的條件。同時，在教學中也可以根據高等數學教學內容，讓學生自己去發現函數極限問題、分析解決函數極限問題，提升學生的自主學習能力。

2.泰勒公式求函數極限

可以結合學生興趣以及教學大綱，以個性化、合理化、智能化的手段，對學生進行教學；教學中，對于知識點應該是循序漸進的，使學生在教師引導下，借助多媒體的形象直觀，共同完成問題的抽象算法構建，創設問題情景，使學生能夠感受函數極限問題的內涵，提升學生的學習積極性。

例2：求極限 。

分析：當x→0時，此函數為 型未定式，滿足洛必達

法則求極限。若直接用洛必達法則就會發現計算過程十分復雜，稍不注意就會出錯。先用泰勒公式將分子展開，再求極限就會簡潔得多。求函數極限中，可以根據實際問題需求，靈活運用解題方法，可以幾種方法聯合運用，尋找并總結解題規律。

從學生主體出發，減少學生對于函數極限求解知識的生疏，在合理的范圍內綜合函數極限求解知識，加強綜合應用，適度深化高等數學函數極限習題，把新舊知識巧妙組合，使學生可以看到相關性，真正體現高等數學中函數極限教學的價值。

3.定積分求函數極限

在高等數學函數極限中，若f（x）在[a，b]上可積，則可對[a，b]用某種特定的方法并取特殊的點，所得積分和的極限就是f（x）在[a，b]上的定積分。因此，遇到求一些和式的極限時，若能將其轉化為某個可積函數的積分和，就可用定積分求此極限。這是求和式極限的一種方法。

例3：求極限 。

4.級數收斂求函數極限

給出一數列un，對應一個級數 ，若能判定此級數收斂，則必有 。由于判別級數收斂的方法較多，因而用這種方法判定一些以零為極限的數列極限較為方便。教師引導學生對函數極限題型知識點進行總結歸納，加強學生對函數極限題型解題思路的記憶，使學生對函數極限知識點運用更加靈活；引導學生將函數極限難題化繁為簡，找準解函數極限題思路，提高高等數學教學效率。

例4：如果a是在數列（0，1）中的一個數，如果要證明滿足下面遞推公式xn-1=axn+（1-a）xn-1中的任何實數序列{xn}都應該有一個極限，并求出可以用a，x0及x1表示出來的極限。

極限是建立連續、導數、積分以及無窮級數的基礎，分析高等數學的函數極限問題，提升學生求解能力，是高等數學微積分教學中的關鍵。總結分析求函數極限的方法，幫助學生解決求各類函數極限的問題，在實際求函數極限時，也可以多種方法綜合運用，提升函數極限解題能力。

三 結論

綜上所述，在高等數學函數極限教學中，應該創新教學方法，使學生對函數極限有更加深入的認識，能夠從多種角度實現解題轉化，使學生具備解答函數極限問題的能力，提升高等數學微積分教學質量。

參考文獻

[1]朱永強.高等數學中函數極限計算方法[J].科技風，2010（23）：30～31

[2]雷曉軍、張勝方.高等數學中幾種極限的特殊求法分析[J].新課程學習（下），2013（12）：49～51

〔責任編輯：龐遠燕〕