例題的重現與延伸

隨著高考改革的不斷深入，新課程開發的力度也越來越強，各省對高考命題的研究也越來越深刻。尤其是獨立命題的省市，為了凸顯對新課程改革的成就，在高考命題上推陳出新，別出心裁；題目從立意到表現形式往往也讓人耳目一新，慢慢品來，別有一番風味。在皖北協作區的高三聯考中，有一道選擇題讓筆者回味了很久，在此筆者談談對該題一些淺薄認識，當是自己對教學改革的一點反思吧。

例題重現

已知：函數f（x）=sinx+cosx則下列命題正確的是 。

①f（x）的最大值為2；

②f（x）的圖像關于點（，0）對稱；

③f（x）的圖像與h（x）=2sin（x-）的圖像關于x軸對稱；

④如果實數m使得方程f（x）=m在區間[0，2π]上恰好有三個實數解x1，x2，x3，則x1+x2+x3=；

⑤設函數g（x）=f（x）+2x，若g（θ-1）+g（θ）+g（θ+1）=-2π，則θ=-。

該題①②命題主要考查的是三角函數的基本性質，第③命題考查了兩個函數間的對稱關系，第④命題考查了函數的圖像，利用數形結合的方法不難得出正確結論。第⑤命題的設計讓筆者眼前一亮，題目本身考查的是函數與方程間的關系，作為選擇題來說，感覺似乎難度不大。但作為出題者的意圖，這題所蘊含的數學思想與方法應該值得進一步探討與研究，這也應該是在教學中培養學生嚴謹數學思維的很好典例。

雖然這道題不少學生選對了，但在問到為什么第⑤命題正確時，很少有學生能給出令人滿意的答案，絕大多數都是直接把結論代入命題條件，發現條件成立，進而認為命題正確。讓其仔細想想，感覺這種方法好像又不太對頭，抓不住到底問題出在哪里。于是，筆者給學生出了這樣兩個思考題：

⑴設f（x）=x2，若f（x）=1，則x=1；

⑵設g（x）=x3，若g（x）=1，則x=1。

問：這兩個命題正確與否，為什么？兩個函數的差異在哪？

經過一番討論，學生給出正確的回答。第一個命題錯誤，第二個命題正確。第一個命題錯誤在于當f（x）=1時，x也可以取-1。兩個函數區別：一個是非單調函數，一個是單調函數，對應方程的解可以看成是函數圖像與直線y=1交點的橫坐標；非單調函數f（x）=x2與直線y=1的交點有兩個，所以x=1不正確，而單調函數g（x）=x3與直線y=1的交點有且只有一個，所以x=1正確。學生的回答已接近筆者想要的結果，再回過來看原來的第⑤命題的判斷，已有學生能夠給出較為圓滿的答案：

因為g’（x）=2cos（x+）+2>=0，所以g（x）在R上單調遞增

設h（θ）=g（θ-1）+g（θ）+g（θ+1），不難得到h（θ）在R上單調遞增

所以h（θ）圖像與直線y=-2π有且只有一個交點

又θ=-時，h（θ）=-2π成立

所以θ=-是方程h（θ）=-2π的唯一解

即：若g（θ-1）+g（θ）+g（θ+1）=-2π，則θ=-。

例題延伸

回過頭來審視該題，出題者把函數的零點，方程的解與函數的單調性巧妙地結合在一起。若學生只知道機械地套用公式、性質，盲目地推導計算求解，會把該題方向引入歧途，而無法得到一個正確的結果，因為高中階段，這種超越方程是無法通過直接求解得到結果的。該題不僅考查了學生對教材基礎知識的理解掌握，更是對學生應用能力的一次檢驗。這讓筆者不由想起2013年安徽卷理科高考試題第10題：

若函數f（x）=x3+ax2+bx+c有兩個極值點x1，x2，且f（x1）=x1，則關于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同實根個數是（ ）

A、3 B、4 C、5 D、6

解答如下：

f’（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的兩根，

由3（f（x））2+2af（x）+b=0，則有兩個f（x）使得等式成立，x1=f（x1），不妨設x2>x1=f（x1），其函數圖象如圖。圖中有3個交點，故選A。

該題在考查基礎知識和基本方法的同時，又突出了對數學中的函數與方程思想、數形結合思想的考查，需要一定的解題技巧。從該題中不難看出，高考數學考什么、如何考、怎樣才能更好地考查學生的數學素養和學習潛能，是命題者首要關注的問題，這也必將對高中數學的教學起著積極的導向作用和指導意義。

結束語

如今的高考命題越來越注重對學生應用能力、綜合素質的考查，注重理論與實踐相結合，題型綜合性、開放性增強，教師在授課的同時，更要關注高考改革的動向，把握好新課程下命題的趨勢，課堂上不僅要傳授學生掌握知識的方法和技巧，更要培養學生應用知識分析問題、解決問題的能力。也只有這樣，才能讓學生在獲得知識的同時，能增強自身的學習能力，真正成為一個有思想、有素養、有競爭力的高素質人才。

（作者單位：安徽省阜陽市第三中學）