淺淡《九章算術(shù)》應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)的思考

【摘 要】《九章算術(shù)》是中國(guó)古代最重要的數(shù)學(xué)著作，作為算法化著作的代表，在數(shù)學(xué)史上有其獨(dú)到的成就，而且在小學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)版本的現(xiàn)行教材中均占了很大篇幅。因此，本文就《九章算術(shù)》融入小學(xué)數(shù)學(xué)教材這一主題進(jìn)行論述，探索《九章算術(shù)》的教育功能，并對(duì)《九章算術(shù)》如何滲透到小學(xué)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行理性思考。

【關(guān)鍵詞】九章算術(shù) 小學(xué)數(shù)學(xué) 理性思考

【中圖分類號(hào)】G622 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2015）25-0079-04

《新課標(biāo)》第四部分明確談到：“數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中。為此，教材可以適時(shí)地介紹有關(guān)背景知識(shí)，包括數(shù)學(xué)在自然與社會(huì)中的應(yīng)用，以及數(shù)學(xué)發(fā)展史的有關(guān)材料，幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)家治學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，欣賞數(shù)學(xué)的優(yōu)美。例如，可以介紹《九章算術(shù)》、珠算、《幾何原本》、機(jī)器證明、黃金分割、CT技術(shù)、布豐投針等。”尤其是在初等教育的學(xué)習(xí)階段，小學(xué)數(shù)學(xué)教材作為學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的起點(diǎn)，有關(guān)數(shù)學(xué)史內(nèi)容的滲透是很有必要的。與此同時(shí)，對(duì)于數(shù)學(xué)史在小學(xué)數(shù)學(xué)教材滲透過(guò)程中，我們必須要進(jìn)行理性的思考。本文主要討論《九章算術(shù)》應(yīng)用在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的內(nèi)容。

《九章算術(shù)》是中國(guó)古代最重要的數(shù)學(xué)著作，也是世界數(shù)學(xué)史上極為珍貴的古典文獻(xiàn)。公元656年，李淳風(fēng)受詔負(fù)責(zé)編撰的“算經(jīng)十書”作為國(guó)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)教科書，而《九章算術(shù)》就是“算經(jīng)十書”之一。《九章算術(shù)》作為算法化的代表，凝聚了古代學(xué)者的智慧，形成了我國(guó)古代初等數(shù)學(xué)體系，是數(shù)壇歷史上的一顆璀璨明珠。現(xiàn)傳本《九章算術(shù)》包括246道數(shù)學(xué)問題，按問題的性質(zhì)劃分為方田、粟米、衰分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程、勾股這九章數(shù)學(xué)內(nèi)容，故稱為《九章算術(shù)》。《九章算術(shù)》不僅對(duì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展有著深遠(yuǎn)的影響，同時(shí)也對(duì)現(xiàn)代初等數(shù)學(xué)具有一定的指導(dǎo)意義。

一 《九章算術(shù)》應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容

第一章是方田，共38個(gè)題目，其中有一部分講的是平面圖形的面積計(jì)算問題，另一部分講的就是分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算法則。其中涉及的平面圖形有方田（長(zhǎng)方形）、圭田（等腰三角形）、邪田（直角梯形）、箕田（等腰梯形）、圓田（圓形）、宛田（扇形）、弧田（弓形）、環(huán)田（圓環(huán)）。還提及了有關(guān)分?jǐn)?shù)的約分、通分及分?jǐn)?shù)的加減法和分?jǐn)?shù)的大小比較等。這一章中運(yùn)用到小學(xué)數(shù)學(xué)課本的有平面圖形的面積求法，例如：第1題指出計(jì)算長(zhǎng)方形的面積方法，“術(shù)曰：廣從步數(shù)相乘得積步。”這里的“廣”是指長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，“從”是指長(zhǎng)方形的寬。還有運(yùn)用分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算法則，例如：第10題指出分?jǐn)?shù)減法的運(yùn)算，“術(shù)曰：母互乘子，以少減多，余為實(shí)，母相乘為法，實(shí)如法而一。”這里的“母互乘子，以少減多，余為實(shí)”是指分子與分母交叉相乘，用少的減多，所得余數(shù)為分子；再分母相乘為分母，“實(shí)如法而一”就是得到的一個(gè)新分?jǐn)?shù)。

第二章是粟米，共46個(gè)題目，主要講了谷物糧食的按比例折換，還有比例的算法。為了更好地進(jìn)行物品交易，先是規(guī)定好了各種糧食之間的交換比例，然后在按比例折算，古代把正比例稱為“今有術(shù)”，并給這四項(xiàng)定了名字，分別是“所有率”“所有數(shù)”“所求率”“所求數(shù)”，就是已知其中的三項(xiàng)要求出第四項(xiàng)，所用的運(yùn)算公式是：

所有率∶所有數(shù)=所求率∶所求數(shù)

例如“今有術(shù)曰：以所有數(shù)乘所有率為實(shí)，以所有率為法，實(shí)如法而一。”相當(dāng)于

這一章的比例換算在人教版、北師大版等多種版本的小學(xué)數(shù)學(xué)課本均有涉獵。

第三章是衰分，共20個(gè)題目，提出比例分配法則，稱“衰分術(shù)”，是以“今有術(shù)”為基礎(chǔ)來(lái)處理各種比例分配問題。例如“衰分術(shù)曰：各置列衰，副并為法，以所分乘未并者各自為實(shí)，實(shí)如法而一。不滿法者，以法命之。”具體以第一題為例“大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共獵的五鹿。欲以爵次分之，問各得幾何？”既是按比率5∶4∶3∶2∶1計(jì)算每人應(yīng)得鹿。這些比例的運(yùn)算在小學(xué)數(shù)學(xué)

課本中有講解，也運(yùn)用到了現(xiàn)實(shí)生活中的具體例子。

第四章是少?gòu)V，共24個(gè)題目，講的是面積和體積的開平方、開立方，反求其一邊長(zhǎng)和徑長(zhǎng)等的問題，這在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中未涉及。

第五章是商功，共28個(gè)題目，講的是立體圖形的體積運(yùn)算，例如“城、垣、堤、溝（底為等腰梯形的直棱柱）、渠，皆同術(shù)。術(shù)曰：并上、下廣而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即積尺”，就是我們小學(xué)數(shù)學(xué)課本中所學(xué)的梯形面積=（上廣+下廣）÷2×高，而等腰梯形的直棱柱的體積=梯形面積×袤，還有分割長(zhǎng)方體后的各個(gè)立體圖形的體積，如：塹堵、陽(yáng)馬等。

第六章是均輸，共28個(gè)題目，講的是平均攤派捐稅；用衰分術(shù)解決賦役的合理負(fù)擔(dān)問題。今有術(shù)、衰分術(shù)及其應(yīng)用方法，構(gòu)成了包括今天正反比例、比例分配、復(fù)比例、連鎖比例在內(nèi)的整套比例理論，是粟米和衰分章的發(fā)展。

第七章是盈不足，共20個(gè)題目，講的是盈不足、盈適足和不足適足、兩盈和兩不足三種類型的盈虧問題，以及可以通過(guò)兩次假設(shè)化為盈不足問題的一般問題解法。例如《九章算術(shù)》卷七第2題，“今有共買雞，人出九，盈十一；人出六；不足十六。問人數(shù)、雞價(jià)各為幾何？答曰：九人，雞價(jià)七十。”若每人出9，就比雞價(jià)多11；若每人出6，就比雞價(jià)少16。一般地假設(shè)人數(shù)為x，每人出錢a1盈b1，出錢a2不足b2。“盈不足術(shù)”相當(dāng)于給出了解法：x=（b1+b2）÷（a1-a2），這些內(nèi)容在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中還未涉及到。

第八章是方程，共18個(gè)題目，講的是多元一次方程組應(yīng)用問題解法；采用分離系數(shù)的方法表示線性方程組，相當(dāng)于現(xiàn)在的矩陣；解線性方程組使用的是直除法，與矩陣的初等變換是一致的。除此，這一章還引進(jìn)和使用了負(fù)數(shù)，并提出了正負(fù)術(shù)——正負(fù)數(shù)的加減法則，還有正負(fù)數(shù)的乘除法等。其中有運(yùn)用到小學(xué)數(shù)學(xué)課本中的是正負(fù)數(shù)的引進(jìn)和正負(fù)數(shù)的加減法。

第九章是勾股，共24個(gè)題目，講的是利用勾股定理來(lái)解決各種實(shí)際問題，與測(cè)量和繪圖有直接的聯(lián)系，勾股定理公式是指：若a、b、c分別是勾股形的勾、股、弦，則a2+b2=c2。

二 《九章算術(shù)》實(shí)例解析

本文將以人教版為例，研究小學(xué)數(shù)學(xué)教材的《九章算術(shù)》的內(nèi)容，如下表：

由表1可以看出，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中包含了大篇幅《九章算術(shù)》的內(nèi)容，那么在《九章算術(shù)》中是如何闡述以上的數(shù)學(xué)內(nèi)容，又體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)思想方法，以下將以方程和負(fù)數(shù)為切入點(diǎn)進(jìn)行闡述。

1.方程

第八章是方程，共18個(gè)題目，講多元一次方程組應(yīng)用問題解法。《九章算術(shù)》的注釋者劉徽說(shuō)：“程，課程也。群物總雜，各列有數(shù)，總言其實(shí)。令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程。”就是說(shuō)物體未知的個(gè)數(shù)即是方程的個(gè)數(shù)。與此同時(shí)，為了使方程組有確切的解，劉徽對(duì)方程組提出了正確無(wú)誤的理論說(shuō)：“行之左右無(wú)所同存，且為有所據(jù)而言耳”。就是說(shuō)在方程組里既不能有相依方程，也不能有矛盾方程。

現(xiàn)以九章算術(shù)卷八第一題為例題，來(lái)闡述方程的算法程序。“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？”對(duì)于此題，《九章算術(shù)》所提出的解法是“遍乘直除算法”，“直除”法就是連續(xù)相減的消元法。《九章算術(shù)》沒有表示未知數(shù)x，y，z的符號(hào)，而是用算籌將x，y，z的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)排列成一個(gè)方陣（如圖1）。

圖1

對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生而言，方陣的介紹及求解見大學(xué)的高等代數(shù)，因此通過(guò)列舉方陣的方法求解方程組對(duì)初等教育的學(xué)生而言是不太現(xiàn)實(shí)的。現(xiàn)今中小學(xué)的學(xué)生求解方程所使用的方法是通過(guò)x，y，z列舉三元一次方程組：

再通過(guò)消元法進(jìn)行求解，古今求解《九章算術(shù)》的思想方法實(shí)質(zhì)上是一致的，都是運(yùn)用消元法，但是九章算術(shù)的過(guò)程相對(duì)而言不及解線性方程組簡(jiǎn)便。

2.負(fù)數(shù)

負(fù)數(shù)的引進(jìn)，是中國(guó)數(shù)學(xué)史的一個(gè)里程碑，這個(gè)記載比國(guó)外早了七八百年。《九章算術(shù)》卷八“方程”章是這樣介紹的：“正負(fù)術(shù)曰：同名相除，異名相益，正無(wú)入負(fù)之，負(fù)無(wú)入正之；其異名相除，同名相益，正無(wú)入正之，負(fù)無(wú)入負(fù)之。”劉徽對(duì)此做了這樣的注釋：今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之；正算赤，負(fù)算黑，否則以邪正為異。劉徽注釋為：正負(fù)是兩種“得失相反”情況的反映，用紅色算籌表示正數(shù)，黑色算籌表示負(fù)數(shù)，或者用正、斜排列的方式分別表示正、負(fù)數(shù)。

據(jù)調(diào)查，負(fù)數(shù)的內(nèi)容在人教版、蘇教版和北師大版教材中均有涉獵，可見負(fù)數(shù)是初等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要板塊。負(fù)數(shù)的歷史與介紹不僅應(yīng)運(yùn)用于小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，作為高等師范學(xué)校的教師，也應(yīng)該在數(shù)學(xué)史課程中對(duì)《九章算術(shù)》負(fù)數(shù)部分做重點(diǎn)介紹，使得他們?cè)诮窈蟮慕虒W(xué)中有足夠的知識(shí)儲(chǔ)備，為他們成為一名合格的小學(xué)教師做準(zhǔn)備。

三 《九章算術(shù)》應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)教材的利弊

1.《九章算術(shù)》的優(yōu)點(diǎn)

《九章算術(shù)》作為一部世界數(shù)學(xué)名著，理論聯(lián)系實(shí)際，題材多樣，由淺入深，既便于教學(xué)又適合自學(xué)深造。即使到現(xiàn)在，它在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域還有著極高的教育價(jià)值。

第一，有利于拓展學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)面。《九章算術(shù)》算題在取材上豐富多樣，直觀形象。具體涉獵了小學(xué)數(shù)學(xué)八個(gè)方面的教學(xué)內(nèi)容：圖形的面積、長(zhǎng)方體體積的計(jì)算、十進(jìn)位計(jì)算、最大公因數(shù)、約分、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算、方程、負(fù)數(shù)。書中很多題目只要稍加變換就可以成為比較好的教學(xué)題材。

第二，有利于學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)思想方法。《九章算術(shù)》通過(guò)觀察—分析—?dú)w納—概括這一循序漸進(jìn)的步驟，總結(jié)出抽象的結(jié)論，對(duì)抽象理論輔以一定數(shù)量的實(shí)際問題來(lái)加深理解，蘊(yùn)含了化歸、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造數(shù)學(xué)模型等思想方法，利于學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。同時(shí)，對(duì)于學(xué)生從數(shù)學(xué)史的角度，尋找目前正在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的本源，亦有一定的借鑒與探源作用。

第三，有利于將數(shù)學(xué)與生活結(jié)合起來(lái)。《九章算術(shù)》對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)的影響與歐幾里得《幾何原本》對(duì)西方數(shù)學(xué)的影響是一樣的。相對(duì)而言，歐幾里得的《幾何原本》 內(nèi)容比較理論化，不僅不適合小學(xué)生學(xué)習(xí)，對(duì)成人而言也具有一定的難度。而《九章算術(shù)》秉承理論聯(lián)系實(shí)際的解題思維，將抽象思維轉(zhuǎn)化為具體思維，與現(xiàn)代數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又回歸于生活”的思想大同小異。小學(xué)生學(xué)習(xí)具有直觀性、具體性的特點(diǎn)，以具體的實(shí)物為數(shù)學(xué)原型，利于學(xué)生掌握抽象的知識(shí)。

2.《九章算術(shù)》的缺點(diǎn)

《九章算術(shù)》的功績(jī)是值得肯定的，不過(guò)，社會(huì)在變遷，時(shí)代在發(fā)展，今人已經(jīng)在古人的基礎(chǔ)上對(duì) 《九章算術(shù)》提出了新的見解，甚至得出更為簡(jiǎn)便的計(jì)算方法，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去評(píng)價(jià)《九章算術(shù)》，它也存在些許不合理之處：

第一，它對(duì)任何數(shù)學(xué)概念都沒有定義，對(duì)于7～12歲的兒童來(lái)講，沒有一個(gè)準(zhǔn)確的定義或者概括，學(xué)生則很難將所學(xué)的方法進(jìn)行延伸、拓展。而且《九章算術(shù)》對(duì)數(shù)學(xué)公式，解法都沒有進(jìn)行推導(dǎo)和證明，很難向小學(xué)生闡述方法的準(zhǔn)確性，數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，每一步都應(yīng)有其理論依據(jù)。

第二，如果將《九章算術(shù)》的內(nèi)容直接運(yùn)用于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，這樣做并不合理，它的編排順序不適合學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，而且隨著歲月的變遷、時(shí)代的發(fā)展，現(xiàn)代社會(huì)已經(jīng)不存在《九章算術(shù)》所舉的實(shí)物例子，如果學(xué)生無(wú)法聯(lián)系到身邊的實(shí)物，這樣也就缺乏了理論與實(shí)踐相結(jié)合的意義。

第三，《九章算術(shù)》是古人智慧的結(jié)晶，由于那時(shí)沒有系統(tǒng)的理論體系，計(jì)算方法相對(duì)而言比較繁雜，而今，現(xiàn)代數(shù)學(xué)家已經(jīng)簡(jiǎn)化了《九章算術(shù)》的數(shù)學(xué)方法。

任何一本偉大的著作，都需要與時(shí)俱進(jìn)才能發(fā)揮出其最大的價(jià)值，如果要將《九章算術(shù)》運(yùn)用到小學(xué)數(shù)學(xué)現(xiàn)行教材中，則需要將其內(nèi)容進(jìn)行合理的改編，這樣才能突顯《九章算術(shù)》的教育價(jià)值及數(shù)學(xué)思想方法。

四 結(jié)束語(yǔ)

《九章算術(shù)》作為一本傳世的數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，是古代數(shù)學(xué)家研讀和學(xué)習(xí)的標(biāo)準(zhǔn)教科書，雖然《九章算術(shù)》的內(nèi)容給看似枯燥的數(shù)學(xué)注入了新鮮血液，但是其在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的滲透，是要以學(xué)生為本而且要站在發(fā)展的角度去審視數(shù)學(xué)。對(duì)功底扎實(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者而言，雖沒有直接闡述其數(shù)學(xué)觀，通過(guò)其體系結(jié)構(gòu)亦不難看出蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法。但是對(duì)以形象思維為主體的小學(xué)生而言，他們需要的是一個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)概念清晰的界定，否則會(huì)走進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的誤區(qū)。因此只有將《九章算術(shù)》合理地運(yùn)用于小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，才能趨利避害，實(shí)現(xiàn)雙贏效果。

參考文獻(xiàn)

[1]江獻(xiàn).小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的《九章算術(shù)》[J].現(xiàn)代教育科學(xué)（普教研究），2013（4）：95、146～147

[2]陳金飛.《九章算術(shù)》的主要內(nèi)容及其教育價(jià)值[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2014（5）：48～49

[3]朱一文.再論《九章算術(shù)》通分術(shù)[J].自然科學(xué)史研究，2009（3）

[4]劉超.關(guān)于《九章算術(shù)》進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)教材的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中版），2012（2）

[5] 郭書春.算術(shù)與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)[J].中學(xué)生數(shù)理化（七年級(jí)數(shù)學(xué)·配合人教社教材），2012（Z2）

[6]楊麗霞.初探《九章算術(shù)》開方術(shù)[J].課程教育研究，2014（8）：148～149

[7]陳朝東、穆琳.數(shù)學(xué)史在我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的滲透[J].現(xiàn)代中小學(xué)教育，2013（3）：7～10

[8]曹媛.淺談《九章算術(shù)》對(duì)古今數(shù)學(xué)的影響[J].天津職業(yè)院校聯(lián)合學(xué)報(bào)，2013（12）：72～75

[9]李秋莎.劉徽《九章算術(shù)注》中的數(shù)學(xué)思想及其歷史貢獻(xiàn)[J].蘭臺(tái)世界，2014（18）：50～51

[10]張久春.《九章算法比類大全》淵源初探[J].自然科學(xué)史研究，2011（2）

[11]李菊梅.《九章算術(shù)》的教育價(jià)值[D].上海師范大學(xué)，2010

[12]章小亮.中國(guó)古代小學(xué)算題研究[D].華東師范大學(xué)，2008

〔責(zé)任編輯：林勁〕