基于函數型數據分析的恒生指數期權研究

[摘要]相對于中國內地的期權期貨市場，香港交易市場已趨于成熟。隨著科技的發展，交易數據量的增加，傳統的數理統計分析已經不能滿足金融衍生品研究的需求。函數型數據分析（FDA）是將觀測數據看成一個整體，從函數的角度對其進行分析，可以提高準確度并減少計算復雜度。本文以香港恒生指數期權為例進行分析。

首先，本文利用Black-Scholes-Merton期權定價模型，對恒生指數期權進行定價研究，發現模型計算的理論價格低于實際價格，并對這一現象給出分析。由于期權交易的頻繁性，本文將期權的日收益率看成函數型數據，用B-樣條基函數進行擬合，并結合懲罰函數法對擬合函數的光滑度進行控制。之后對擬合好的函數進行函數型主成分分析（FPCA），并通過Matlab及相關軟件包進行實現。最后提出函數型主成分預測模型及模型的改進之處。

[關鍵詞]Black-Scholes-Merton模型；函數型數據；懲罰函數法；主成分分析

一、Black-Scholes-Merton期權定價模型

在之前的期權定價模型中，投資者風險態度及期權預期收益率的確定是難點，而1976年Black-Scholes-Merton的期權定價模型很好的解決了這一問題。

該模型假設【1】：股票價格S（t）服從幾何布朗運動；證券交易連續進行，無摩擦；短期無風險利率r為常數；不存在無風險套利機會；在期權期限內，股票不支付股息。在上述假設下，設股票s的期權價格為f，到期期限為T-t，構造一份期權空頭和△數量股票的交易組合。在△t時間內，資產組合價值變化為，由Ito公式有：

為消除隨即項，令，根據無套利原理，，即

此即Black-Scholes-Merton微分方程，由此可見該方程中無期望收益率μ，因此該方程與風險選擇無關。該方程的解不唯一，與邊界條件有關。以看漲期權為例，當執行價格為k時，邊界條件為：

對于上述微分方程，利用Feynman-Kac公式可得解

其中為標準正態累計概率分布函數，

二、函數型數據分析

2.1函數型數據分析的基本概念

函數型數據分析（Function Data Analysis，簡稱FDA）最早由加拿大學者Ramsay提出，當觀測的時間點十分密集時，這些數據表現出一些的函數特征。函數型數據分析的基本出發點是把數據看成一個單獨的函數項。當數據量非常大時，如果再采取之前傳統的數據分析方法，可能會造成信息量的丟失或者模型估計失真等問題。

在進行函數型數據分析時，首先將收集到的離散數據進行預處理，選擇合適的基函數對其進行擬合，并采用光滑函數來控制擬合函數的平滑度，可以有效避免傳統擬合方法中過擬合現象的發生。之后通過對函數型數據進行主成分分析，探求數據的整體性質。

2.2函數型數據的光滑性處理

本文采用B-樣條基函數對數據進行擬合。基函數平滑法【2】是用k個已知的基函數的線性組合來給出函數x（t）的估計，即：

對于B-樣條基函數平滑法，首先將觀測點所在的區間用斷點序列 為定義區間兩端點）分成L個子區間，在每個子區間上，定義一個m階的多項式，相鄰多項式在內斷點處取值相同，并且在定義域上存在m-2次導數，B-樣條基函數定義為：

在有了基函數之后，我們只需確定基函數個數K和其系數ck即可。其中K決定了觀測數據yi的平滑度，K越小，擬合的函數越平滑，但擬合度越差。為權衡擬合度和光滑度，我們用懲罰函數法來確定系數與基函數個數。

定義帶懲罰項的殘差平方和：

上式中第一項衡量了曲線的擬合效果，第二項衡量了曲線的光滑度。通過求解最小化以獲得估計函數，其中懲罰項越大，曲線越粗糙，且正常數表示擬合度和光滑度之間的權衡。

三、函數型主成分分析

當我們想對數據進行降維分析時，如果觀測數據相當大，此時樣本的協方差矩陣維數將會很大，如果對這樣的協方差矩陣直接進行主成分分析，得到的結果將并不會理想。

此時，我們將數據看稱作函數的形式，在對數據進行主成分分析。設觀測矩陣【3】為 ，每次觀測得到的數據構成一個函數型數據xi（t）。

對構造得到的函數型數據其進行主成分分析，設為權重函數，第一主成分的求解即在下述約束條件下的最大化問題：

函數型主成分分析即對在B-樣條擬合時得到的矩陣求解特征值和特征函數，求解策略便是將連續的函數型特征分析問題轉化為近似矩陣的特征分析問題，這可通過對函數進行離散化或對函數進行基函數展開實現。

四、香港恒生指數期權的實證研究

本文所采用的數據來自香港證券交易所官方網站www.hkex.com衍生品交易數據庫，選取交易量較為活躍的前5個看漲期權進行研究（均在存續期）。

4.1Black-Scholes模型理論價格與實際價格比較

由Black-Scholes模型可知，期權的價值與指數St，執行價格K，無風險利率r，到期日時間T-t以及波動率σ有關。本文根據歷史數據資料求得的收益率的標準差來估算波動率。同時，無風險利率采用一年期銀行利率代替。

根據BS模型給出的計算公式，借用Matlab軟件做出實際價格與理論價格的關系圖，我們發現理論計算價格要低于實際價格，且對于存續期長的期權來說，BS模型估算較精確。這是因為現實市場中達不到模型假設的完美條件，比如交易不能連續，存在交易費用，投資者的不理性跟風等。同時，參數的估計也會對模型產生一定的擾動。

4.2期權日收益率的主成分分析

計算這5個樣本的日收益率，將每一個看漲期權的日收益率數據視為其對應函數產生的一組樣本觀測值，利用Malab中相關的FDA函數包，采用4階B-樣條基函數對樣本觀測值進行擬合，得到5個期權的日收益率曲線。

在得到光滑曲線后，我們對5個光滑函數進行主成分分析，畫出主成分權重系數，從圖中我們可以看出，第一主成分幾乎占了全部的方差比例，因此第一主成分系數的效果是顯著的。

在函數型主成分分析模型基礎上，我們也可以建立函數主成分預測模型，將觀測到的真實值，模型估計出的預測值進行比較，從而判定預測模型的效率。

參考文獻

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