也談如何分析高考中的數(shù)學創(chuàng)新題

隨著高中教育的素質(zhì)化發(fā)展，數(shù)學在高考中的試題也變得樣式多端，不再是純粹的理論考核，對解決問題能力以及創(chuàng)造能力的考核力度不斷加大。創(chuàng)新問題是近幾年高考命題的熱點，這些問題多以新定義為問題背景，綜合集合、函數(shù)、方程（不等式）、導數(shù)與數(shù)列等知識交匯，由于概念性強，情境新穎，解題過程中學生頗感困惑。其實，解決這類問題的關(guān)鍵問題在于忽略新穎的背景，沒能挖掘其本質(zhì)內(nèi)容。學生要想在高考數(shù)學中取得優(yōu)異的成績，一定要熟悉并把握好高考數(shù)學的創(chuàng)新型試題所具有的特征，進而才能輕松應對新穎的試題，下面嘗試對這些題目進行探究。

一、集合中的創(chuàng)新問題——定義數(shù)與式的運算

集合中的創(chuàng)新問題多以求解新定義集合運算的結(jié)果或判斷結(jié)果與集合之間的關(guān)系為主，其中定義的新運算的實質(zhì)就是數(shù)與式的運算，解決此類問題的關(guān)鍵在于利用已有的知識嚴格按照定義法則，把新定義運算轉(zhuǎn)化為基本運算來進行運算或邏輯推理。

例1.（2011·廣東）設S是整數(shù)集Z的非空子集。如果a，b∈S，有ab∈S，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的。若T、V是Z的兩個不相交的非空子集，T∪U=Z，且a，b，c∈T，x，y，z∈V，則下列結(jié)論恒成立的是（ ）

A.T，V中至少有一個關(guān)于乘法是封閉的；

B.T，V中至多有一個關(guān)于乘法是封閉的；

C.T，V中有且只有一個關(guān)于乘法封閉的；

D.T，V中每一個關(guān)于乘法是封閉的。

剖析：集合乘法的封閉性定義的實質(zhì)是指任意兩數(shù)之積還是集合中的元素，在判斷集合T、V是否封閉時，要根據(jù)數(shù)集的特征靈活選擇一些特殊的數(shù)集進行推理，從而排除錯誤的選項，得到正確的選項。此類問題的實質(zhì)就是考查數(shù)集的運算。

二、函數(shù)——定義新法則、新概念

函數(shù)是創(chuàng)新性問題較為集中的地帶，此類問題主要通過定義 新的法則和概念，然后根據(jù)新的法則或概念研究函數(shù)性質(zhì)，解決這類問題關(guān)鍵在于對新概念、法則的準確理解。

例2.（2012·福建）對于實數(shù)a和b，定義運算“*”：a*b=a2-ab，（a≤B）b2-ab，（a>b），設f（x）=（2x-1）*（x-1），且關(guān)于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根，則x1x2x3的取值范圍是

剖析：本題以新運算定義函數(shù)，根據(jù)運算“*”的規(guī)定把分段函數(shù)與方程、不等式有機地結(jié)合在一起，其實是研究分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，綜合考查二次函數(shù)的圖象、對稱性、單調(diào)性、方程的根與函數(shù)的零點、不等式的基本性質(zhì)等基礎知識，考查考生在新問題情境中識別問題、分析問題、解決問題的能力及邏輯思維能力、基本運算能力和數(shù)形結(jié)合的思想方法。

例3.（2012·湖北）定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x），如果對于任意給定的等比數(shù)列{an}、{f（an）}仍是等比數(shù)列，則稱f（x）為“保等比數(shù)列函數(shù)”，現(xiàn)有定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數(shù)：

①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=lnx

則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f（x）的序號為（ ）

A.①② B.③④ C.①③ D.②④

剖析：本題以函數(shù)為載體，定義新的等比數(shù)列，主要考查等比數(shù)列的定義、性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，考查學生的創(chuàng)新運用能力。

三、情境創(chuàng)新——考查知識的交匯滲透

創(chuàng)新的問題，重視知識的交匯融合，是近年高考的新方向。

例4.（2012·陜西）設函數(shù)f（x）=lnx，（x>0）-2x-1，（x≤0），D是由x軸和曲線y=f（x）及該曲線在點（1，0）處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則z=x-2y在D上的最大值為

剖析：本題以分段函數(shù)為載體，綜合考查導數(shù)及其幾何意義，簡單的線性規(guī)劃問題，命題情境耳目一新，既重視知識的交匯融合，又綜合考查學生運用知識解決問題的能力，題目求解的關(guān)鍵在于：（1）求曲線f（x）在點（1，0）處的切線；（2）準確作出直線與曲線y=f（x）圍成的封閉曲線。

四、“高數(shù)倩影”——函數(shù)命題創(chuàng)新增長點

例5.（2012·上海春考）對于函數(shù)f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點，已知函數(shù)f（x）=ax2+（b+1）x+（b-1）

（1）當a=1，b=-2時，求函數(shù)f（x）的不動點；

（2）若對任意實數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個相等的不動點，求a的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若y=f（x）的圖象上的兩點A、B的橫坐標是函數(shù)f（x）的不動點，且A、B兩點關(guān)于直線y=kx+b對稱，求b的最小值。

剖析：本題以高等數(shù)學知識為背景，綜合考查學生運用數(shù)學知識的能力與素質(zhì)，解決這類問題的關(guān)鍵是深刻理解定義，再運用函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式思想解決。隨著高中新課程標準、新教材的使用，對考生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的要求逐步提高。“出活題考能力”要求學生能綜合應用所學數(shù)學知識、思想方法，對新概念、新知識、新信息、新情境、新問題進行分析、探索，創(chuàng)新性地解決問題。

編輯 薄躍華