一道例題的解法探究

摘 要：闡述了課本例題解法，推廣其他解法，以達(dá)到一題多解，開(kāi)拓創(chuàng)新思維的目的，同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要性.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；焦點(diǎn)弦公式；弦長(zhǎng)公式

例題（人教版選修2-1第69頁(yè)、1-1第61頁(yè)例4）斜率為1的直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng).

筆者對(duì)本題進(jìn)行了深刻的研究發(fā)現(xiàn)，本例題既然簡(jiǎn)述了兩點(diǎn)間距離公式思路簡(jiǎn)單，但是代數(shù)計(jì)算卻復(fù)雜，因此采用了數(shù)形結(jié)合的方法，然而最后還是利用了求根公式，但事實(shí)上利用維達(dá)定理更簡(jiǎn)單，在此筆者還用了其他方法.

人教版選修2-1第69頁(yè)、1-1第61頁(yè)例題4教材解法如下：

分析：由拋物線(xiàn)的方程可以得到它的焦點(diǎn)坐標(biāo)，又直線(xiàn)l的斜率為1，所以可以求出直線(xiàn)l的方程；與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，可以求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；利用兩點(diǎn)間的距離公式可以求出|AB|.這種方法雖然簡(jiǎn)單，但是需要復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算.

下面，我們介紹另一種方法——數(shù)形結(jié)合的方法.

在如圖所示中，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由拋物線(xiàn)的定義可知|AF|等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線(xiàn)的距離|AA′|.設(shè)|AA′|=dA，則dA=x1+1，于是 |AF|=x1+1，同理|BF|=x2+1，于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2.

此方法利用（弦長(zhǎng)公式）兩點(diǎn)間的距離公式，斜率公式及韋達(dá)定理得出結(jié)果，應(yīng)用于任何的二維曲線(xiàn)與直線(xiàn)的相交弦之中，可避免解方程的根.

編輯 王團(tuán)蘭