數(shù)形結(jié)合思想在高考解題中的應(yīng)用

摘 要：數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)重要的思想方法之一，應(yīng)用這一思想方法解題，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.通過具體高考題，闡述了數(shù)形結(jié)合思想方法的具體應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想；高考解題；應(yīng)用

數(shù)學(xué)以現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式作為其研究的對(duì)象，“數(shù)”與“形”這兩個(gè)基本概念，是數(shù)學(xué)的兩塊基石，華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來尋找解題思路，使問題化難為易，化繁為簡，從而解決問題.

縱觀歷年來全國各地?cái)?shù)學(xué)高考試卷，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的考查均有所體現(xiàn)，一方面是通過解析幾何或平面向量考查對(duì)一些幾何問題如何用代數(shù)方法來處理；另一方面，一些代數(shù)問題則依靠幾何圖形的構(gòu)造和分析幫助解決.在數(shù)形結(jié)合思想方法的使用過程中，由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，往往比較明顯，由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化需要轉(zhuǎn)化意識(shí)，高考題往往偏重由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化.在高考解題中，巧妙地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀容易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡化了解題過程，起到了事半功倍的效果.

數(shù)與形結(jié)合的基本思路是：根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相適應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的特征和規(guī)律，解決數(shù)的問題，或?qū)D形信息部分或全部轉(zhuǎn)換成代數(shù)信息，削弱或清除形的推理部分，使要解決的形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論.

數(shù)形結(jié)合思想方法在高中數(shù)學(xué)解題中有廣泛應(yīng)用，下面以2014年全國各地高考題為例，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想在高考解題中的應(yīng)用作粗略的探討.

一、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決“簡單的線性規(guī)劃”問題

求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題稱為線性規(guī)劃問題.簡單的線性規(guī)劃一直是高考中的熱點(diǎn)，通常以選擇填空的形式出現(xiàn)在高考中，解決這類題目要利用不等式和直線方程的有關(guān)知識(shí)展開，重點(diǎn)是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為幾何意義，從而得出最優(yōu)解.

例1.（2014新課標(biāo)卷Ⅱ）設(shè)x，y滿足約束條件x+y-7≤0，x-3y+1≤0，3x-y-5≥0，則z=2x-y的最大值為（ ）

A.10 B.8 C.3 D.2

解析：已知不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中的陰影部分所示，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A（5，2）處取得最大值，故目標(biāo)函數(shù)的最大值為2×5-2=8，故此題選B.

說明：這類題首先根據(jù)所給條件，畫出可行域，然后將線性目標(biāo)函數(shù)與圖形結(jié)合，得出最優(yōu)解.

二、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決“解多面體”問題

立體幾何中有關(guān)線面關(guān)系的證明，線面夾角、面面夾角的求解等，這些問題經(jīng)常以大題的形式出現(xiàn)在高考試卷中.對(duì)于一些復(fù)雜的幾何證明，我們不妨用數(shù)形結(jié)合思想把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化.

例2.（2014天津卷）如下圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).

（1）證明：BE⊥DC；

（2）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；

（3）若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值.

分析：第一小題較為簡單，可直接給出證明，而后面兩小題難度較大，運(yùn)用一般方法不易理順?biāo)悸?此類問題若結(jié)合空間直角坐標(biāo)系，解題思路就會(huì)變得有章可循.

解析：依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（如下圖），可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）.由E為棱PC的中點(diǎn)，得E（1，1，1）.

三、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決“根的個(gè)數(shù)”問題

在解決一些含有字母的方程f（x）=g（x）時(shí)，特別是一些含參數(shù)的方程問題，若直接對(duì)方程化簡討論，很容易忽略一些特殊的情況.此時(shí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想把求方程解的問題看作求兩個(gè)圖像的交點(diǎn)的問題，畫出圖像則可以很直觀的給出作答.

例3.（2014天津卷）已知函數(shù)f（x）=x2+3x，x∈R.若方程 f（x）-ax-3=0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____.

解析：顯然a>0，當(dāng)y=-a（x-1）與y=-x2-3x相切時(shí)，a=1，此時(shí) f（x）-ax-1=0恰有3個(gè)互異的實(shí)數(shù)根.當(dāng)直線y=a（x-1）與函數(shù)y=x2+3x相切時(shí)，a=9，此時(shí)f（x）-ax-1=0恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)根.結(jié)合圖象可知，09.

4.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決最值問題

分析：該題考查對(duì)三角函數(shù)的變形與計(jì)算，將三角函數(shù)變形后得到熟悉的函數(shù)，結(jié)合圖像及單調(diào)性得到相應(yīng)結(jié)果.該題把數(shù)形結(jié)合與函數(shù)的極值及單調(diào)性綜合到一起，全面分析得到正確答案，考察學(xué)生的綜合能力.

總之，數(shù)形結(jié)合思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，是數(shù)學(xué)解題中要求掌握的重點(diǎn)思想方法之一.高考題目千變?nèi)f化，對(duì)于有些問題，若能抓住本質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想方法，則可直觀、快速地求解.想要加深對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解，只有在解題過程中，大膽嘗試，不斷思考，勤于總結(jié)，才能逐步增強(qiáng)對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的感悟，從而提高解題能力.

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基金項(xiàng)目：本文系廣西高?？蒲许?xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：LX2014224）及“基于大系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的碩本互促發(fā)展機(jī)制研究”項(xiàng)目的階段性研究成果.

作者簡介：曹猛，男，在讀碩士，廣西師范學(xué)院，學(xué)科教學(xué)。

李碧榮，女，副教授，廣西師范學(xué)院，碩士生導(dǎo)師。

喬雪，女，在讀碩士，廣西師范學(xué)院，學(xué)科教學(xué)。

通訊作者：李碧榮。

編輯 韓 曉