授之于“漁”

摘要：教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，比會(huì)做幾道題目更有意義！如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，本文論述我是如何提高數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)效性。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)思維障礙；數(shù)學(xué)思維能力

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1006-3315（2015）10-038-001

根據(jù)布魯納的認(rèn)識(shí)發(fā)展理論，學(xué)習(xí)本身是一種認(rèn)知過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，個(gè)體的學(xué)習(xí)總是要通過(guò)已知的內(nèi)部認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對(duì)“從外到內(nèi)”的輸入信息進(jìn)行整理加工，以一種易于掌握的形式加以?xún)?chǔ)存，也就是說(shuō)學(xué)生能從原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中提取最有效的舊知識(shí)來(lái)吸納新知識(shí)，即找到新舊知識(shí)的“媒介點(diǎn)”，這樣，新舊知識(shí)在學(xué)生的頭腦中發(fā)生積極的相互作用和聯(lián)系，導(dǎo)致原有知識(shí)結(jié)構(gòu)的不斷分化和重新組合，使學(xué)生獲得新知識(shí)。但是這個(gè)過(guò)程并非總是一次性成功的。一方面，如果在教學(xué)過(guò)程中，教師不顧學(xué)生的基礎(chǔ)或不能覺(jué)察到學(xué)生的思維出現(xiàn)了困難，而是任由教師按自己的思路或知識(shí)邏輯進(jìn)行灌輸式教學(xué)，則到學(xué)生自己去解決問(wèn)題時(shí)往往會(huì)感到無(wú)所適從；另一方面，當(dāng)新的知識(shí)與學(xué)生原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)不相符時(shí)，或者新舊知識(shí)中間缺乏必要的“媒介點(diǎn)”時(shí)，這些新知識(shí)就會(huì)被排斥或經(jīng)“校正”后吸收。

例：在Rt△ABC中，∠C =900，CD⊥AB于D，則CD2=AD.BD，這就是射影定理，類(lèi)比這個(gè)定理，在空間中，三個(gè)側(cè)面兩兩垂直的三棱錐中可以得到什么結(jié)論？

（點(diǎn)撥）由題目可以獲取以下主要信息：

（1） Rt △ABC中，CD2=AD.BD是平面幾何中的射影定理；

（2）利用類(lèi)比的方法從平面幾何知識(shí)探索空間立體幾何的結(jié)論。

學(xué)生在做這一題時(shí)明顯存在著思維障礙，對(duì)于三棱錐P-ABC中與平面直角三角形斜邊上的高CD對(duì)應(yīng)的量只要作底面ABC的高PO，但直接找不到與AD.BD對(duì)應(yīng)的量，所以要考慮對(duì)平幾中射影中的結(jié)論CD2=AD.BD進(jìn)行變形為，

這樣易于得到空間立體幾何結(jié)論：

由淺人深的思維方式也是我們教學(xué)中經(jīng)常用來(lái)進(jìn)行新舊知識(shí)的“交接”的。如在講到冪函數(shù)時(shí)復(fù)習(xí)初中二次函數(shù)。

例：1）求出下列函數(shù)在x∈[O，3]時(shí)的最值：

（1）y=（x一1）2+1，（2）y=（x+1）2+1，（3）y=（x一4）2+1

2）求函數(shù)y=x2_2ax+a2+2.x∈[0，3]時(shí)的最小值。

3）求函數(shù)y=x2_2x+2.x∈[t，t+l]的最小值。

上述設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)，每做完一題，提出深一層次的題目，適時(shí)指出解決這類(lèi)問(wèn)題的要點(diǎn)，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的思維方法，還大大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高了課堂效率。

由于學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，對(duì)一些數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)原理的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程沒(méi)有深刻的理解，一般的學(xué)生僅僅停留在表象的概括水平上，不能脫離具體表象而形成抽象的概念，如函數(shù)定義y=f（x），很多學(xué)生在學(xué)完了高中數(shù)學(xué)都沒(méi)能把函數(shù)這一抽象性意義弄清楚，他們對(duì)函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、周期性等概念茫茫然，在證明過(guò)程中往往只驗(yàn)證一部分性質(zhì)，對(duì)“任意”一詞無(wú)從把握。譬如判斷函數(shù)的奇偶性問(wèn)題，不少學(xué)生會(huì)只驗(yàn)證f（0）=0，f（一1）=一f（1）等特殊值就判斷該函數(shù)是奇函數(shù)。因?yàn)榻忸}的不全面，自然也無(wú)法擺脫局部事實(shí)的片面性而把握事物的本質(zhì)。所以他們往往只會(huì)順著事物的發(fā)展過(guò)程去思考問(wèn)題，注重由因到果的思維習(xí)慣，不注重變換思維的方式，缺乏沿著多方面去探索解決問(wèn)題的途徑和方法，以上這一題是學(xué)生出現(xiàn)的一種錯(cuò)誤，另一種錯(cuò)誤是時(shí)常忽視定義域問(wèn)題，直接驗(yàn)證f（一x）=一f（x）也得到f（x）為奇函數(shù)。

所以在教學(xué)中，對(duì)于學(xué)生的以上兩個(gè)錯(cuò)誤，需要時(shí)時(shí)提醒，讓學(xué)生的思維更加嚴(yán)密，從而會(huì)解決奇偶性這一類(lèi)題目。

還有一類(lèi)情況是，學(xué)生不管三七二十一，把題目往自己熟悉的題目類(lèi)型上去套，而不管可不可行。

例：證明│a│≤1，│b│≤l時(shí)，ab+（1-a2）（1-b2）≤1。

待學(xué)生思考片刻后提問(wèn)，有相當(dāng)一部分的同學(xué)是通過(guò)三角代換來(lái)證明的（設(shè)a=cosα，b=sinα），理由是│a│≤1，│b│≤1，這恰好反映了學(xué)生在思維上的單一性，把兩個(gè)毫不相干的量建立了具體的聯(lián)系。他們?nèi)狈ψ銐虻某橄笏季S能力，往往善于處理一些直觀的或熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而對(duì)那些不具體的、抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題常常不能抓住其本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為已知的數(shù)學(xué)模型或過(guò)程去分析解決。

例：已知實(shí)數(shù)x，v滿(mǎn)足、=lx+y+ll，則點(diǎn)P（x，y）的軌跡為

學(xué)生一看題目就化簡(jiǎn)方程，算啊算了半天，還看不出結(jié)果，就再找自己運(yùn)算中的錯(cuò)誤，而不是仔細(xì)觀察該式的結(jié)構(gòu)√x（x-1）2+（y-3）2=│x+y+1│/2進(jìn)而可以看出點(diǎn)P到點(diǎn)（1，3）及直線(xiàn)x+y+1=0的距離相等，從而得其軌跡為拋物線(xiàn)。

以上兩例教學(xué)中的問(wèn)題提醒我們，學(xué)生的思維在抽象意義上出現(xiàn)了偏頗，我們就要在這方面找到問(wèn)題的解決之法，從具體到抽象，抽象到具體，不斷地鍛煉學(xué)生的思維能力。

由于每個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不盡相同，其思維方式也各有特點(diǎn)，因此不同的學(xué)生對(duì)于同一數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)、感受也不會(huì)完全相同，這樣，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，一方面不大注意挖掘問(wèn)題中的隱含條件，抓不住問(wèn)題中的注意點(diǎn)，最終影響問(wèn)題的解決。如非負(fù)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x+2v=l，求x-+y-的取值范圍。在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，如對(duì)x，y的范圍沒(méi)有足夠的認(rèn)識(shí)（O≤x≤1，O≤y≤1/2），那么就容易產(chǎn)生錯(cuò)誤。另一方面學(xué)生不知道用所學(xué)的數(shù)學(xué)概念為依據(jù)進(jìn)行分析推理，對(duì)一些問(wèn)題中的結(jié)論缺乏多角度的分析，缺乏對(duì)自我思維過(guò)程的調(diào)控。

例：已知關(guān)于x的方程x2-（2i-l）x+3m-i=0有實(shí)根，求m的取值。

可能會(huì)有不少學(xué)生不假思索的就把實(shí)數(shù)范圍內(nèi)對(duì)方程有無(wú)解的判別式△就拿出來(lái)計(jì)算，理由是初中老師就是這樣說(shuō)的呀。又如剛學(xué)立體幾何時(shí)，一提到兩直線(xiàn)垂直，學(xué)生馬上意識(shí)到這兩直線(xiàn)必相交，這些思維定勢(shì)對(duì)解題造成了很多困難。這都是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)遇到的思維障礙，不僅不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的進(jìn)一步發(fā)展，而且也不利于學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題能力的提高。再者我們要重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生提高數(shù)學(xué)意識(shí)。

例：設(shè)X2+y2=25，求u=、/8y-6x+50+/8x+6x+50的取值范圍。若采用常規(guī)的解題思路，u的取值范圍不大容易求，但適當(dāng)對(duì)u進(jìn)行變形：u=、√（x-3）2+（y+4）2+√（x+3）2+（y+4）2，轉(zhuǎn)而構(gòu)造幾何圖形，容易求得u∈[6，6 √10]。

這里對(duì)u的適當(dāng)變形實(shí)際上是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)換意識(shí)在起作用。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中只有加強(qiáng)數(shù)學(xué)意識(shí)的教學(xué)，如“因果轉(zhuǎn)化意識(shí)”“類(lèi)比轉(zhuǎn)化意識(shí)”等的教學(xué)，才能使學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題得心應(yīng)手、從容作答。所以，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，也能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。