數學建模簡介和引入

【摘""要】文章主要討論了什么是數學建模以及數學建模近年來在國內的發(fā)展情況，通過兩個簡單的例子，講解了數學建模的一般比賽形式、論文格式、建模步驟和建模的重點內容。

【關鍵詞】數學建模""模型建立""初等模型

【中圖分類號】G642""""""""【文獻標識碼】A"""""""""【文章編號】1674-4810（2015）16-0055-02

近年來大學生數學建模在國內發(fā)展非常迅速，國家對大學生數學建模也越來越重視，每年參加的人數也在上升。主要的數學建模賽事有：全國大學生數學建模競賽、數學中國數學建模網絡挑戰(zhàn)賽、美國大學生數學建模競賽等，地區(qū)賽有數學建模華中賽、華東賽、東北賽等。

什么是數學建模，應該是很多初學者心中疑惑的東西，再加上數學兩個字，讓很多同學誤認為非常難或者認為就是數學專業(yè)的競賽，其實不然，數學建模競賽是針對全體大學生的，要求學生了解的內容非常廣泛，不僅僅要求數學好，更考查學生的自學能力和吃苦耐勞、團隊合作的能力。

數學建模是指面對實際問題，人們在深入調查研究、了解對象信息、做出簡化假設、分析內在規(guī)律等工作的基礎上，用數學的符號和語言做表述，也就是建立數學模型，然后用通過計算得到的結果來解釋實際問題，并接受實際的檢驗。這個建立數學模型的全過程就稱為數學建模。

而參加數學建模競賽，一般要求最多三個人為一個組，比賽時間是三天，三天內參賽隊員可以自己查閱各種書籍資料，但不可以和隊員以外的其他人進行交流。

對于數學建模論文的一般格式和要求，這里可以舉個簡單的例子。

模型一：

問題重述與分析：

樹上有10只鳥，一槍打死1只，樹上還剩下幾只鳥？

這是一個簡單的小題目，一看也許答案就出來了，樹上還剩0只鳥，原因是一槍打死1只，其他9只被嚇跑了，所以還剩下0只。當然，這個0只的答案是建立在某些默認的前提條件下的，比如，槍的聲音足夠大，鳥可以聽到，鳥可以自己隨便地飛等。而如果前提條件不是這樣的呢，比如槍是消音槍呢？如果打死的那只鳥掛在了樹上，飛走了9只，算不算樹上還剩下1只呢？題目中沒有說明這10只鳥的大小，如果10只鳥都是在鳥窩里的小鳥，不會飛的呢？如果實際的條件是這樣子的，那么可能結果就不是0只了。

下面用數學建模的思維來求解這個問題，我們應該考慮哪些問題呢？（1）槍是不是消音槍，題目當中沒有給出來槍是什么樣子的槍，如果是消音槍，那么打死1只小鳥，剩下的小鳥也發(fā)覺不到，那么就可能樹上還有9只。（2）10只小鳥的耳朵是不是都是健康的，如果有的小鳥是耳聾的，聽不到槍響，也會影響答案。（3）10只小鳥中有沒有大義凜然視死如歸的，如果打死了1只與其他關系特好的，或者其中有精神不正常不怕死的，那么可能答案就不一定了。（4）確定沒有“一箭雙雕”，或者存在被打傷不能飛的小鳥。（5）小鳥有沒有放在籠子里的。（6）打死的小鳥是不是落在了地上，如果掛在了樹上，是否算1只小鳥？這里可以按照不算處理。（7）10只小鳥有沒有放在籠子里不能飛走的？（8）小鳥中有沒有不怕死的、好奇心重的，比如聽到槍聲打死了1只小鳥，另外1只小鳥就不信還會開第二槍，也不信第二槍就能打中它！如果有這種極品小鳥，那問題就復雜了。

基于以上這些問題，我們在求解原問題的時候，要做如下假設，也就是我們求解的結果是基于哪些前提條件下才是成立的。

模型假設：（1）10只小鳥都是健康的可以自由飛翔離開樹上的小鳥。（2）10只小鳥精神正常，聽到響聲都會被嚇跑。（3）槍聲大小足夠驚嚇到小鳥，且不會嚇暈小鳥。（4）一槍只打死了1只小鳥，其他的都沒有受傷或者被打死。

模型建立與求解：

這是一個簡單加減法的初等數學模型，模型非常簡單，樹上剩余的小鳥數量為總數量減去打死的小鳥的數量再減去飛走的小鳥的數量。

小鳥的總數量為A，打死的小鳥數量為B，飛走的小鳥的數量為C，那么樹上剩余的小鳥的數量為：D=A-B-C。

那么所建立的數學模型就是：D=A-B-C。

模型的求解就是在數學模型中代入原問題中給出的數據，如下：由原問題給出的數據，樹上剩余的小鳥數量為：10-1-9=0（只）。也就是基于上面四個假設，樹上剩余小鳥的數量為0只。

這里用一個簡單的數學建模的例子，來說明數學建模的思維方式，考慮問題的方法以及數學建模論文的一般格式。

模型的評價與推廣：

模型的評價與推廣這一部分主要書寫的是對于建立的模型的優(yōu)缺點的一個自我評價，對于所建立的模型在其他的方面或者領域是否可以應用，如果問題發(fā)生變化，已建立的模型又需要改變哪些地方等，一般只需要做簡單的書寫就可以。

例如本模型：本模型主要討論的是樹上10只小鳥打死1只，樹上還剩下幾只的問題，主要建立的模型是簡單的加減法初等模型，優(yōu)點是簡潔明了，符合正常思維，結果也符合正常情況的結果。缺點是沒有考慮很多細節(jié)問題，比如打死的小鳥是否掛在了樹上，如果掛在了樹上是否算是還剩下1只等。

模型的推廣方面，如果本模型中的小鳥改成了其他動物，是否還能應用。比如，如果題目是，魚缸里面有10條魚，打死1條，魚缸里面還剩下幾條？可能結論就不一樣了，因為魚在正常情況下是跑不出魚缸的，打死1條，魚缸里還剩下9條活魚1條死魚。再比如說如果換成10個敵人，遠處打死一個，還剩下幾個？如果換成是人的話，問題就更復雜了，本模型也就不再適用。

模型二：

問題重述與分析：

有一根連續(xù)的電線貼近地面繞地球赤道一圈，問：如果把這根電線的長度增加20米，那么這根電線與地面的距離平均會增高多少？

如果不計算只是大概地想象一下，也許感覺電線距離地面的高度會增高幾厘米或者幾毫米，因為地球太大了，而電線只增長了20米，所以感覺電線應該平均距離地面幾毫米。

面對這個問題，我們可以先做以下分析：（1）地球的表面是不規(guī)則的，赤道一圈有平原有丘陵有高山也有海洋，問題中電線貼近地面繞地球一圈，這個一圈的形狀實際是不規(guī)則的，也就是如果要精確計算這一圈的長度是不現實的;（2）要不要考慮熱脹冷縮對電線的影響，電線的材料是什么，電線中間是否存在斷裂？

考慮上面兩個問題，如果要精確計算明顯有太大難度，考慮地球赤道近似圓形，我們可以把電線圍成的形狀近似地看成是一個圓的形狀，熱脹冷縮方面由于電線每一段上的溫度無法統(tǒng)計出來也不能精確計算出來，所以這里可以忽略，另外，熱脹冷縮和材料對我們計算的影響不大。

模型假設：（1）假設電線繞著地球赤道的形狀是規(guī)則的圓形。（2）忽略熱脹冷縮對電線長度的影響。

符號說明：

r為地球半徑，R為電線增長20米后形成的圓形的半徑，L為周長。

模型的建立與求解：

這是一個初等數學的模型，電線繞地球赤道的形狀是規(guī)則的圓形，也就可以使用半徑與周長的關系求出電線的長度。

L=2πr

電線長度增長20米以后，繞赤道所圍成的圓形的半徑求出來，與貼近地面時候圍成圓形的半徑比較，差的部分就是增高的高度。

電線貼近地面時的長度為：L=2πr

電線長度增加20米后的長度為：L+20=2πR

上下兩個式子相減得：20=2π（R-r）

π取3.14得增加的高度也就是：（R-r）=3.18（米）

也就是即使是繞著地球的一個圈，如果總長度增加20米，那么這個圈的高度將增加3米左右，大概是一層樓的高度。這個結論與我們開始感覺想象的差距是很大的，只是靠感覺是很容易出錯的。

模型的評價與推廣：略。

由上面兩個例子可以得出數學建模的一般步驟：（1）問題重述與分析，也就是把要解決的問題敘述一遍，然后簡單分析一下是要解決什么問題。（2）模型的假設，模型的假設由于實際問題的精確求解有時候是很困難或者不可能完成的，把不重要的或者影響很小的因素或者在現有掌握的知識范圍內無法控制的因素舍棄或者適當理想化，目的是為了模型建立和求解的方便。（3）符號說明，主要是把論文中可能用到的主要符號做一個簡單的解釋。（4）模型的建立與求解，這一部分是主要內容，主要是用什么方法來解決給出的問題，以及得到的結果是什么。（5）模型的推廣與評價，主要是簡單介紹整個文章的意義，所做模型的實際意義和可能繼續(xù)發(fā)展的空間是什么。

參考文獻

[1]姜啟源、謝金星、葉俊編.數學模型（第四版）[M].北京：高等教育出版，2011

〔責任編輯：林勁〕