以問題驅動“先學” 以交流促進“后教”

一次在江蘇省泰州市洋思中學學習，聽了一節蘇科版九年級（上）“直線與圓的位置關系”的課堂教學。上世紀80年代，洋思中學率先進行課改，創造了“先學后教，當堂訓練”的課堂教學模式，課堂上通過學生先學、教師后教、當堂訓練達成“雙基”目標。經過三十多年的實踐，洋思的品牌依舊響亮，教學模式不斷創新。在新課程標準的理念下，洋思人不斷改進課堂模式，立足“三維目標”，以“四基”為抓手，不斷把課堂改革推向深入。筆者近距離地觀摩了新課標下的“先學后教，當堂訓練”的教學全程。對這一模式也有了全新的認識，切實感受到“以問題驅動‘先學’，以交流完善‘后教’”的課堂魅力。現把其課堂教學的片斷分享如下，供大家參考。

1.課堂片段呈現

1.1.“先學”指導（PPT展示）

教師依據課程標準、教材要求和學生的認知水平，設計如下的學生“自學”提綱，供學生在課上自學：

（1）本節課目標：探索直線與圓的位置關系;了解直線與圓的3種位置關系;會判斷直線與圓的位置關系，體會數形結合的思想。（這是學生的學習目標，不是教學目標）

（2）第70頁中巴金先生描寫的海上日出的景觀，你覺得美嗎？其中蘊含著數學知識嗎？你能從這一情境中抽象出怎樣的數學模型？

（3）在操作與思考這一環節，請你動手操作一遍，并演示給你的同桌看看，說說和（1）中的描述有什么聯系和區別，同時相互說說直線與圓的位置發生了什么變化，直線與圓的公共點發生了什么變化。

（4）直線與圓的位置關系可以借鑒點與圓的位置關系的研究方法嗎？若可以，你認為應從哪幾個方面研究直線與圓的位置關系？

（5）直線與圓有哪3種位置關系？如何用公共點的特征描述3種關系？結合圖2-37思考如何用d與r的關系描述直線與圓的位置關系，說出“直線與圓相切?d=r”和“d=r?直線與圓相切”的理由。

（6）直線與圓的位置關系有幾種判定方法？判定直線與圓的位置關系可以轉化為判定點與圓的位置關系嗎？怎么轉化？

（7）看例1時思考，題中為什么作CD⊥AB？這一作法具有普遍意義嗎？相互說說具體作法。

（8）在例1中，把“r為半徑的圓與AB所在的直線有怎樣的位置關系”改為“r為半徑的圓與線段AB有怎樣的位置關系”，你又是如何思考的？

（9）10分鐘后我們一起交流你學到的知識、方法以及你自學中不理解的問題。

1.2學生自學

學生對照“先學指導”的8點要求，認真看書，并用鉛筆在書上做適當的記號，按照提綱要求逐一理解，其中在自學到（2）時，必須用直尺自己操作一遍，感受直線與圓的位置變化關系。整個自學過程有序而安靜，教師在教室的行間巡視，進行督學，時刻關注學生中存在的問題和有問題的學生。

1.3“自學”交流

在學生“自學”10分鐘后，教師把學生分成6個小組。采取“請教”“互教”逐一完成交流提綱中的問題。有的小組是一人問另一人答，也有采取一人問眾人答。對部分學生不理解的問題，由掌握得好的同學輔導、講解。對大家都難以理解的由組長匯總，教師把各組匯總的問題和自己在巡視中發現的問題板書在黑板上，共3個問題：（1）對直線與圓的位置關系借助于點與圓的位置關系來研究，學生沒有重視（教師在巡視中的發現）;（2）“直線與圓相切?d=r”和“d=r?直線與圓相切”的理由難以說得清楚;（3）學生只關注結論，不關注結論形成的過程，比如“自學”環節中的（1）、（2）學生關注得很少。教師根據學生自學的情況，確定“后教”的內容和方式。

1.4.教師“后教”

師：點與圓有幾種位置關系？如何用符號“?”表示d、r的數量關系與位置關系？

生1：3種位置關系，點在圓外?d>r;點在圓上?d=r;點在圓內?d

師：直線與圓的位置和點與圓的位置關系有相似之處嗎？

生2：有，我就是根據點和圓的位置關系來學習直線和圓的位置關系的，點和圓的位置關系是點在圓內、圓上、圓外，直線和圓的位置關系是直線和圓相交、相切、相離，體現在d和r的數量關系上就是dr。

師：很好！能根據已有的知識學習新知識是人類探究新問題的基本方法，你能告訴我直線與圓的位置關系中的d和點與圓的位置關系中的d一樣嗎？

生2：不一樣，前者是圓心到直線的距離，是垂線段的長，后者是圓心到點的距離。

師：教材怎么想到用d與r的關系來反映直線與圓的位置關系的？

生3：這是借鑒點與圓的位置關系來研究的。

師：你說得很對！方法有時候比知識更重要，八年級我們學習分式時，就是借鑒分數的研究方法來學習分式的，這里，雖然d的含義不同，但后者借助于前者的研究方法，這樣的思路很重要，再比如我們學習函數，一般都是從情境中抽象出解析式，然后畫出圖像，再根據圖像研究函數的性質，這樣的方法是通法，掌握了通法我們就找到了解決同一類問題的抓手，所以，我們在學習知識的同時，要加強對數學方法和思想的歸納總結，不斷提高解決問題的能力。

師：誰來說說“直線與圓相切?d=r”的理由？

生4：根據定義，當直線與圓相切時，直線與圓有唯一的公共點，把這一點和圓心連接起來，如果該連線和切線不垂直，根據圓的軸對稱性可知，切線和圓如有兩個交點，這和條件是矛盾的，所以連線一定和切線垂直，也就是d=r。

師：你分析得很深刻，說明你認真思考了這個問題，這種鉆研精神值得大家學習，你運用的是反證法的思想。如何運用反證法，下節課我們會詳細介紹，有興趣的同學課后可以通過網絡先自學反證法。下面請誰說說“d=r?直線與圓相切”的理由？

生5：我是這樣理解的，直線與圓相交（有兩個公共點，0≤dr），在從相離到相交的過程中，必然會出現直線和圓只有唯一公共點的情況，也就是直線和圓相切。（注：生4和生5的回答是在教師的引導下，全班多次討論而得出的結論，這兩個問題有相當的難度）

師：分析得真好！這是一個夾逼的過程。我們繼續思考能不能把判定直線與圓的位置關系轉化為判定點與圓的位置關系呢？

生6：可以，我觀察到，在圖2-37中，我們只要看點D與圓的位置關系即可，若點D在圓內，則直線與圓相交;點D在圓上，則直線與圓相切;點D在圓外，則直線與圓相離。

師：其實就是判斷垂足與圓的位置關系，這是數學的轉化思想，我們一般把未知的知識轉化為已經學習過的知識和經驗來解決，從而產生化歸的思想。現在，我們一起來總結，判斷直線與圓的位置關系有哪幾種方法？

生7：可以用直線與圓公共點的個數來判斷。

生8：可以用d與r的數量關系來判斷。

生9：可以過圓心作直線的垂線段，根據垂足（點）與圓的位置關系來判斷。

（因篇幅限制，省略例題）

1.5當堂訓練

必做題第73頁題1;選做題第73頁題2;思考題（略）。

2.幾點感悟

2.1以問題驅動“先學”，以對話交流思考

學生如何“先學”？是簡單看書，記住結論就行嗎？能當堂完成所有的題目就是“先學”效果好嗎？顯然不是，“先學”是在教師的引導下，學生動手操作、獨立思考、自主探究、合作交流的過程。本節課教師依據課程標準、教材要求和學生的認知水平，設計了9條學生“自學”提綱，從方向、方法兩個方面進行引導。所謂方向，就是本節課的學習目標（不是課堂教學目標），主要指學生應該掌握的知識、形成的技能、培養的能力等，所謂方法，就是學生自學過程中應該看哪些內容、思考哪些問題、參與哪些活動、完成哪些習題等，這樣設計的目的是讓學生的自學有方向、有方法，減少自學的盲目性，真正做到讓學生自主而不自由，放手而不放任。

設計者以問題驅動“先學”，9個問題環環相扣，涵蓋了本節課知識、技能、思想方法、思維訓練等方面的要求，通過引導學生看書、操作、思考、計算、驗證，讓學生經歷知識的形成過程，這一過程是生動活潑的、主動的且富有個性，學生不僅獲取了知識，還學會了數學思考，學會了解決問題，獲得數學學習的體驗。自學之后的“對話交流”環節設計非常科學，一方面通過生生交流，達到“請教”和“互教”的目的，提高了學習的效率，讓整個班級都沉浸在學習的氛圍中，另一方面通過生生交流、師生交流，教師能及時了解學情，準確捕捉“后教”的素材，學生會的就不講，真正做到“以學定教”，對于個別人、個別問題，可以請同學相互教，對于共性的問題，面向全班教。

2.2“后教”完善知識鏈，讓思維變得深刻

《義務教育數學課程標準》（2011年版）（以下簡稱“標準”）指出：有效的教學活動是學生學與教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者。怎么“后教”？存在兩種誤區，一種觀點認為，學生已經先學了，再教就是浪費時間，所以，把“后教”直接就變成了習題訓練;另一種觀點認為，學生“先學”不到位，總是不放心，于是重新教一遍，這樣先學就變成了多余的環節，這兩種觀點其實都是把“先學”和“后教”置于同一層面，事實上，“先學”和“后教”應該各有分工，“先學”是基礎和過程，“后教”是提升與拓展，“后教”重在彌補“先學”中學生的知識缺陷、完善知識結構和提升思維能力。后教著力解決以下問題：一是解決學生自學中存在的問題，補全知識缺陷，把學生零散的知識串聯成線，使知識系統化;二是引導學生關注在自學中容易忽視的細節和思想方法，比如本節課的說出“直線與圓相切d=r”和“d=r直線與圓相切”的理由;三是要引導學生不斷思考，思考教材不便表達的東西，思考教材背后的東西，教師通過“后教”要引導學生思維向深度和廣度拓展，通過挖掘教材背后深層次的東西，使學生養成用數學思考問題的習慣，培養思維能力。

教師根據學生自學中存在的問題、學生忽視的問題、教材中表達不到位的問題組織教學，就能使“后教”有選擇、有重點地進行。事實上師生梳理的問題也確實是本節課的重、難點以及學生學習中容易忽視的方法和思想，教師適時進行教學，恰是教在重點、難點處，教在方法提升處，教在思維延伸處。

3值得思考的地方

“先學后教，當堂訓練”先讓學生自學，教師在學生自學的基礎上有針對性地“后教”，當堂進行科學訓練，所有這一切都在課堂內完成，確實減輕了學生過重的課業負擔，但一個不容忽視的問題呈現在我們面前。在教師的“自學提綱”指導下，學生按照教師提供的思路，依據教材的線索看書、思考，這里的“思考”只能視為“理解課本”，也就是對教材呈現的知識進行理解，是一個弄懂知識、解釋知識的過程，而這一過程缺失了“猜想、歸納”的思維活動，少了合情推理的身影，長此以往，對學生的創新能力的培養是不利的。《標準》指出：推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果。在解決問題的過程中，合情推理用于探索思路，發現結論;演繹推理用于證明結論。一個完美的數學課堂，學生應該始終處于思考、探究、猜想和發現的狀態。教師通過創設合適的情境，讓學生經歷從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程，在這一過程中通過類比、歸納等合情推理（猜想）探索思路、發現結論，從而培養學生的創新意識。創新意識的培養是現代數學教育的基本任務，應體現在數學教與學的過程之中。學生自己發現和提出問題是創新的基礎;獨立思考、學會思考是創新的核心;歸納概括得到猜想和規律，并加以驗證，是創新的重要方法。創新意識的培養應該從義務教育階段做起，貫穿數學教育的始終。從這個角度講，這確是本節課還存在不容忽視的不足！