高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)案例解析

摘要：本文以高中數(shù)學(xué)“已知函數(shù)解析式求函數(shù)定義域”“同角三角函數(shù)基本關(guān)系式”變式教學(xué)為例，從教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)反思三方面闡述變式教學(xué)的具體過(guò)程。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 變式教學(xué) 案例解析

一、“已知函數(shù)解析式求函數(shù)定義域”教學(xué)案例

1.教學(xué)內(nèi)容與目標(biāo)

其教學(xué)內(nèi)容是指導(dǎo)學(xué)生掌握已知函數(shù)解析式求函數(shù)定義域的方法，尤其是分式函數(shù)與根式函數(shù)定義域的求解，并幫助學(xué)生理解求解函數(shù)定義域的常見類型。因此，教師應(yīng)慢講、重講、細(xì)講、透講函數(shù)定義域求解方法，教導(dǎo)學(xué)生掌握正確的求解分式、根式、復(fù)合函數(shù)的定義域方法。

2.方法講解

函數(shù)的定義域是指滿足函數(shù)解析式有意義的所有實(shí)數(shù)X的集合。由此，函數(shù)解析式相當(dāng)于給出函數(shù)對(duì)應(yīng)法則與確定函數(shù)定義域，則求解函數(shù)定義域求得滿足函數(shù)解析式有意義的所有實(shí)數(shù)的集合。

如課本練習(xí)中有這樣一道題目：“求解下列函數(shù)的定義域：① y=3x2+4x-2；② f（x）；③ f（x）=；④ f（x）=log2（3x+2）；⑤ y=（x-2）0?！钡葘W(xué)生解答后，筆者對(duì)常見函數(shù)y=f（x）的定義域求解進(jìn)行了總結(jié)歸納：①當(dāng)f（x）為整式時(shí)，定義域即為全體實(shí)數(shù)；②當(dāng)f（x）為分式時(shí)，定義域即為使分母不為零的一切實(shí)數(shù)；③當(dāng)f（x）為偶次根式時(shí)，定義域即為使被開方式為非負(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)X的集合；④當(dāng)f（x）為對(duì)數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)時(shí)，其底數(shù)須大于零且不等于1；⑤當(dāng)f（x）為零指數(shù)幕時(shí)，其底數(shù)不為零。

又如課本練習(xí)中有這樣一道題

目：“求解下列函數(shù)的定義域：①

y=；② f（x）=

③ y=ax5+bx3+cx?！钡葘W(xué)生解答后，筆者對(duì)復(fù)合函數(shù)y=f（x）的定義域求解進(jìn)行了總結(jié)歸納：由有限個(gè)基本初等函數(shù)四則運(yùn)算組成的復(fù)合函數(shù)，其定義域即為各基本初等函數(shù)定義域的交集。

再如又如課本練習(xí)中有這樣一道題目：“①設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-2，2]，求函數(shù)的定義域；②設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-3，]，求函數(shù)的定義域?！钡葘W(xué)生解答后，筆者對(duì)變式函數(shù)定義域求解進(jìn)行了總結(jié)歸納：已知函數(shù)f（x）的定義域是[a，b]，其復(fù)合函數(shù)f[g（x）]的定義域由不等式a≤g（x）≤b確定。

二、“同角三角函數(shù)基本關(guān)系式”教學(xué)案例

1.教學(xué)內(nèi)容與目標(biāo)

其教學(xué)內(nèi)容是指導(dǎo)學(xué)生理解同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，使學(xué)生掌握基本關(guān)系式“知一求二”（即已知某一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值，求解其他兩個(gè)三角函數(shù)值）、“證明簡(jiǎn)單三角恒等式”的應(yīng)用，其目標(biāo)是使學(xué)生能夠運(yùn)用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求解、證明等數(shù)學(xué)過(guò)程。

2.教學(xué)設(shè)計(jì)

（1）溫故知新

在教學(xué)中，筆者提問：“任意一個(gè)角的三角函數(shù)值定義是什么？”等學(xué)生思考后，筆者再解釋：“設(shè)角α是一個(gè)任意角，終邊上任意一點(diǎn)P（x，y），其與原點(diǎn)的距離為r（），則角α對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值分別為： ?！苯酉聛?lái)，筆者又提出一連串問題，如“什么是三角函數(shù)值的符號(hào)問題？”“通過(guò)特殊角三角函數(shù)值之間的關(guān)系，猜想任意角α的三角函數(shù)之間是否滿足猜想的關(guān)系式？”“已知A為第一象限角，能否根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系式求得角A的另外兩個(gè)三角函數(shù)值？”等，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)之前學(xué)習(xí)的相關(guān)知識(shí)內(nèi)容，為講解本節(jié)課的知識(shí)做好了鋪墊。

（2）新知講解

筆者講授了證明同角三角函數(shù)關(guān)系式的兩種方法：第一種方法是利用三角函數(shù)的基本定義與“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，建立直角三角形，運(yùn)用勾股定理得出結(jié)論；第二種方法是利用三角函數(shù)線知識(shí)與“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，直觀地證明結(jié)論。

（3）例題解析

例1.判斷下列等式是否成立：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ 。

筆者公布答案，且提醒學(xué)生：同一個(gè)角才存在三角函數(shù)關(guān)系式；sin2α指（sinα）2，而sinα2指對(duì)角α的平方。

例2.已知，其中α為第三象限角，求的值。

筆者提示學(xué)生：“根據(jù)變形公式求得余弦值，再利用正弦與余弦的比值求得正切值，并且注意α是第三象限角，其余弦值是唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)，即?！?/p>

三、結(jié)語(yǔ)

變式教學(xué)是遵循教師主導(dǎo)、學(xué)生主體原則的教學(xué)活動(dòng)與途徑之一，它以“簡(jiǎn)單例題——綜合例題——變式訓(xùn)練”的模式，通過(guò)層層遞進(jìn)、一題多變的教學(xué)形式，不僅有效激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且促進(jìn)了學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的獨(dú)特魅力。

（作者單位：江西省于都中學(xué)）