基于建模案例的極大線性無關組微課教學設計

【摘要】針對《線性代數》課程中“向量組的極大線性無關組”這一重要概念，進行案例-概念-案例的教學，可激發學生學習知識點的興趣，深化學生對概念的理解， 增強學生應用所學知識解決實際問題的能力。

【關鍵詞】建模案例 ?向量組 ?極大線性無關組 ?教學

【基金項目】本文由2015北京信息科技大學校級教改項目2015JGYB40資助。

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）05-0120-01

向量組的極大線性無關組是《線性代數》課程中的一個重要概念，也是一個教學難點。大多數初學者感到非常抽象，不能完全掌握，更不能靈活的運用這一知識點進行解題。因此，在課堂教學中如果能引入一些建模案例，將抽象的概念具體化，可激發課堂氣氛，同時加深學生對知識點的理解，提高課堂教學效果。為此，筆者結合自己的教學經驗，在講解線性相關和無關的知識點后，將極大線性無關組這一知識點的教學課堂設計如下：

一、引例[1]

老師提問：繪畫時需要調色，三原色是什么？其它顏色，比如綠色、橙色，怎么形成的？畫一幅五顏六色的畫最少需要幾種顏料？

學生回答：三原色是紅、黃、藍，其它的顏色都是三原色按照一定的比例調制出來的，藍色和黃色可調成綠色，紅色和黃色可調成橙色。因此繪畫時至少需要三種顏色。

老師引導：在調色方面，三原色中任何兩種顏色都調制不出其余的那種顏色，但不同比例的三種顏色可調制成若干不同的顏色。三原色之間的關系就類似于向量之間的線性無關，而其它的顏色可有由紅黃藍線性表示。三原色就是所有顏色這個集合的一個最大無關組。如果把三原色改為有類似性質的向量空間的向量組，就是向量組的極大線性無關組。從而引出向量組的極大線性無關組的數學定義。

二、向量組的極大線性無關組的定義[2]

設A是n維向量組，如果A的一個部分向量組滿足

（1）線性無關;

（2）A中的任意向量都可以表示成的線性組合。

則稱向量組是向量組A的一個極大線性無關組。

三、案例練習

為了加深對概念的理解，特進行如下的案例練習：

例1[3]：某地區有12個氣象觀測站，10年來每個觀測站的年降水量如下表1。為了節省開支想要適當減少氣象觀測站。問題：減少哪些氣象觀測站可以使所得的降水量的信息量仍然足夠大？

表1 ?10年12個觀測站的年降水量

a1，a2，…，a12分別表示氣象觀測站x1，x2，…，x12在1981-1990年內的降水量的列向量，由于a1，a2，…，a12是含有12個向量的十維向量組，該向量組必定線性相關。若能求出它的一個極大線性無關組，則其極大線性無關組所對應的氣象觀測站就可將其他的氣象觀測站的氣象資料表示出來，因而其他氣象觀測站就是可以減少的。因此，最多只需要10個氣象觀測站。

在上述建模案例的引導下，教師很容易的講解最大無關組的概念，學生對該知識點也理解地非常透徹，同時激發了學生學習線性代數課程的興趣， 收到了很好的教學效果。

參考文獻：

[1]潘瓊，杜緯，歐陽安.線性代數舉例教學及習題選取[J].高等數學研究，2013，16（1）：83-85.

[2]同濟大學數學系編.工程數學線性代數同濟大學第六版教材[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]黃靜靜，王愛文.數學建模方法與CUMCM賽題詳解.北京：機械工業出版社，2014.