桁架式Spar平臺與系泊/立管系統的全時域非線性耦合動態分析

楊敏冬，滕 斌，寧德志，時忠民（1中國能源建設集團廣東省電力設計研究院有限公司，廣州 5 1066；2中國海洋大學海洋工程系，山東 青 島266100；大連理工大學 海 岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大 連11602；中國海洋石油研究中心，北京100027）

桁架式Spar平臺與系泊/立管系統的全時域非線性耦合動態分析

楊敏冬1，2，滕 斌3，寧德志3，時忠民4
（1中國能源建設集團廣東省電力設計研究院有限公司，廣州 5 10663；2中國海洋大學海洋工程系，山東 青 島266100；3大連理工大學 海 岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大 連116024；4中國海洋石油研究中心，北京100027）

開發了對浮式平臺系統進行耦合動態分析的全時域程序。采用二階時域方法計算水動力荷載，在此方法中，對物面邊界條件和自由水面邊界條件進行泰勒級數展開，利用Stokes攝動展開分別建立相應的一階、二階邊值問題，而且此邊值問題的計算域不隨時間變化。采用高階邊界元方法計算每一時刻流場中的速度勢，利用四階預報校正法對二階自由水面邊界條件進行數值積分。在自由表面加入一個人工阻尼層來避免波浪的反射。對于系泊纜索/立管/張力腿的動力分析，在一個總體坐標系中對控制方程進行描述，采用基于細長桿理論的有限元方法進行求解。在耦合動態分析中，采用Newmark方法對平臺和系泊纜索/立管/張力腿的運動方程同時進行求解。利用開發的耦合分析程序對一個桁架式Spar平臺的運動響應進行了數值模擬，給出了平臺的位移和系泊纜索/立管上端點的張力，并得到了一些重要結論。

全時域；桁架式Spar平臺；系泊纜索；有限元；耦合動態分析

0 引 言

Spar，TLP和FPSO等浮式平臺在深水油氣開采中得到了廣泛的應用。隨著水深的增加，系泊纜索和立管的質量及其阻尼對平臺運動的影響越來越大。因此，考慮平臺和系泊/立管系統之間的動力相互作用變得非常重要。Ma[1]，Lee和Flory[2]，Lee和Devlin[3]，Kim等[4-5]研究發現，在深水環境中，傳統的解耦或準靜態分析可能會得到不可靠的結果。

在這種情況下，為了全面考慮浮式平臺和系泊纜索、立管之間的各種相互作用，必須進行耦合動態分析。在目前的海洋工程工業界，人們越來越推薦在深水應用中采用耦合動態分析工具。在這種趨勢下，Ran[6]和Garrett[7]開發了完全耦合動態分析時域程序，Kim等[8]利用此程序對一個6 000英尺水深中的轉塔式系泊游輪FPSO進行了整體運動響應模擬，并將數值模擬結果與美國德克薩斯A&M大學海洋工程研究中心（OTRC）的1:60模型試驗結果進行了對比，結果吻合良好。Tahar和Kim[9]開發了一套理論和數值求解工具對采用聚酯系泊纜的深水浮式平臺進行耦合動態分析。在他們的論文中，建立了具有大變形和非線性應力應變關系的聚酯纜索計算模型。Low和Langley[10]提出了一種混合時域/頻域方法對船舶/系泊纜索/立管進行耦合分析，在相對淺的水深中，該方法可以得到與完全耦合時域分析一致的結果。Chen等[11]在計算中僅考慮莫里森波浪荷載，并將小型張力腿平臺的數值結果與測試結果進行了對比。Zhang等[12]對多柱桁架式Spar平臺的耦合影響進行了研究。分別采用了準靜態耦合、半耦合和全耦合三種方法來模擬Spar平臺系統，并將頻域和時域的分析結果與試驗數據進行了對比。

然而，前期對系泊結構與其系泊系統之間耦合效應的研究一般采用類似的方法（de Kat和Dercksen[13]；Ran和Kim[14]；Ormberg和Larsen[15]；Ran等[16]；Ormberg等[17]；Tahar等[18]；Yang和Kim[19]）。首先在頻域內計算水動力系數，然后基于平方傳遞函數和入射波浪譜，利用快速傅里葉變換（FFT）和隨機相位假定在時域內計算作用在結構上的波浪力，此方面的研究還包括采用莫里森方程計算拖曳力。對于系泊系統的動力分析，采用有限元法（FEM）或集中質量法在時域內進行求解。通過匹配導纜孔處的力和位移，將系泊結構與其系泊系統進行耦合。

在本文的研究中，建立了一種全時域分析模型對浮式平臺系統進行耦合動態分析[20]。這種新的耦合分析方法不需要過多的人工參與，并且可以非常方便地處理各種非線性的影響。采用基于高階邊界元的二階時域分析方法計算水動力荷載[21]，該方法利用泰勒級數展開和Stokes攝動展開分別建立相應的一階、二階邊值問題，通過時間積分方法更新波面和自由表面上的速度勢。基于細長桿理論[22]，在一個總體坐標系中描述系泊纜索/立管的控制方程，采用有限元方法對系泊纜索/立管進行動力分析，該方法不需要坐標變換，比傳統的有限元方法更加有效[23]。通過在系泊點施加充分的邊界條件，將平臺動力程序與系泊動力程序在時域內進行耦合。在每個時間步，利用Newmark法和N-R迭代法對浮式平臺運動方程和系泊纜索/立管動力方程同時進行求解。

利用本文的全時域耦合模型對一個系泊纜索/立管約束的桁架式Spar平臺進行了計算分析。采用了兩種不同的數值方法模擬規則波作用下Spar平臺的運動響應和導纜孔處系泊纜索/立管的張力：準靜態耦合方法（COUPLE_QS）和動態耦合方法（COUPLE_DY）。兩種方法采用相同的方式計算作用在結構上的波浪荷載，不同的是COUPLE_DY在計算中考慮了系泊纜索/立管的動態力的影響，而COUPLE_QS忽略了這種影響。為了進行對比驗證，結果中同時給出了采用QTF方法計算得到的Spar平臺的運動響應。通過不同數值模擬結果的比較，揭示了桁架式Spar平臺與其系泊/立管系統之間的動力耦合效應。

1 二階時域波浪與物體相互作用分析方法

計算中定義了兩套右手直角坐標系（見圖1），一個為原點在靜水面上的空間固定坐標系Oxyz，x和y為水平坐標，z為向上的垂直坐標。另一個為固定在物體上的坐標系O′x′y′z′。當物體處于平衡位置時，兩個坐標系重合。

基于理想流體假定，流體的運動可以通過一個速度勢函數φ來表示，該速度勢在流體域Ω內滿足拉普拉斯方程和相應的邊界條件。利用泰勒級數展開，可以將瞬時物體表面和自由水面上的非線性邊界條件變換到平均物面和靜水面上滿足。引入Stokes攝動展開方法，將速度勢、波面升高和物體運動按照小參數ε展開為如下的級數形式：

圖1 坐標系定義圖Fig.1 Definition sketch of coordinate systems

其中：下標w和s分別表示入射波和散射波分量；上標（1）和（2）分別表示一階和二階波分量。將Stokes攝動展開代入拉普拉斯方程和在平均物面及靜水面上展開的邊界條件，可以分別建立一階和二階邊值問題。

對于k階波浪輻射問題（k依次為1和2），散射勢在流體域Ω內滿足拉普拉斯方程

在海底、平均物體表面和靜水面上滿足的邊界條件分別為：

式中：fk、fk′和fk″分別定義如下：

其中：n為指出流體的物面單位法向量，H定義為：

為了避免散射波在計算域外邊界上的反射，引入一個人工阻尼層來吸收波浪。在自由表面的外部區域上，在自由表面邊界條件中加入一個阻尼項：

其中的阻尼系數表達為

式中：α、β為系數，本文均取為1.0；ω為入射波頻率；λ為入射波波長；r0為阻尼層內徑的大小。

選取Rankine源和它關于海底的鏡像作為格林函數，利用格林第二定理，可以得到關于計算域邊界上散射勢的邊界積分方程

然后采用高階邊界元方法可以建立一套線性代數方程組：

其中：［A］和｛B｝均為系數矩陣。

在每一個時間步求得散射勢φs（k）以后，作用在物體上的波浪力可以通過平均物面上的壓力積分求得。按照小參數ε進行分離，總波浪力可以根據不同的階次劃分為若干項：

零階項為浮力

一階項可進一步劃分為：

其中：FD（1）為動態壓強在物面上積分得到的動態力；FS（1）為物體運動引起的恢復力；AWP為平均水面面積；（xf，yf）為平均水面中心坐標；X0=（x0，y0，z0）為轉動中心坐標；k為z方向單位向量。

二階項可以表達為：

采用相同的處理方法，三個波浪力矩分量可以劃分為

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零階項為浮力矩

式中：（xb，yb，zb）為浮心坐標。

一階項可進一步劃分為

二階項可以表達為：

2 系泊纜索/張力腿/立管動力分析方法

對于系泊纜索/張力腿/立管的靜動力分析，基于Garrett提出的細長桿動力學理論，利用有限元方法建立相應的數值模型，采用Newmark法和N-R迭代法聯合求解纜索的動力響應。

在此理論中，細長桿的形態按照其中心線的位置進行描述。在變形構形中，桿的中心線由空間曲線r（s，t)表示。位置向量r是弧長s和時間t的函數。假定作用在系泊纜索/張力腿/立管上的扭矩和外部力矩均為0，我們可以得到一個關于位置向量r（s，t)的線性動量守恒方程：

式中：右上標符號“′”代表對弧長s求導數，向量r上方的點“·”表示對時間求導；B=EI為彎曲剛度；T為局部張力；κ為局部曲率；ρ為單位長度質量；q為作用在單位長度桿上的分布外力。標量函數λ也稱為拉格朗日乘子。如果認為桿件是可以伸長的，并且伸長量是線性小量，則線彈性伸長條件為

其中：At=Ae-Ai，Ae和Ai分別為外部和內部橫截面積。這些方程充分考慮了幾何非線性的影響，并且沒有對纜索的形狀和方向做具體假定。本理論模型的優點在于：公式（40）直接在一個總體坐標系中進行定義，而且不需要與局部坐標系進行任何坐標變換。

作用在桿件上的外力主要來自周圍環境流體的靜水壓力和水動態荷載，以及桿件自身的重力。因此，外力q可以表達為

式中：w為桿件在空氣中單位長度所受重力，Fs和Fd分別為單位長度上的靜水壓力和水動力荷載，并且可以分別表達為：

其中：B為單位長度上的浮力，并且假定橫截面受到靜水壓力的作用。標量P為桿件上任意點r處的靜水壓力，定義為P=PeAe-PiAi，Pe和Pi分別為外部靜水壓力和內部流體產生的壓力。Fd是根據莫里森方程進行計算的，式中的CA為單位長度附加質量，CM為單位長度單位法向加速度所受慣性力，CD為單位長度單位法向速度所受拖曳力。Vn和V˙n分別為垂直于桿件中心線的法向流體速度和加速度。

最終，桿件在自重、靜水壓力和水動力荷載作用下的運動方程可以表達為

建立了有限元模型求解上述系泊動力問題，此數值方法的詳細描述可參見Ran（2000）。該有限元程序適用于比例極限范圍內具有小變形的任意材料組合柔性結構。總體切線剛度矩陣和殘余力向量可以由相應的單元矩陣和向量進行組裝得到，最后可以形成系泊纜索/張力腿/立管的增量平衡方程進行求解。

3 耦合動態分析方法

通過導纜孔處邊界條件的匹配，將系泊動力分析程序和浮式平臺的動力分析程序進行耦合。浮式平臺的一階和二階耦合運動方程可以表達為：

在數值求解過程中，利用四階預報校正方法更新波面和自由水面上的速度勢，將Newmark-β法和N-R迭代法進行結合，同時求解浮式平臺和系泊纜索/張力腿/立管的運動方程。為了簡便起見，可以將浮式平臺的運動方程重新表達為一般形式：

如果K代表時間步，t=KΔt，則在時間步K時浮式平臺和纜索的運動方程可以分別表達為：

方程（56）中質量矩陣、剛度矩陣和力向量與Tahar和Kim[9]文章中的表達式相似。

4 桁架式Spar 平臺與系泊/立管系統的耦合動態分析

在本數值算例中，主要考察規則波作用下桁架式Spar平臺與其系泊/立管系統的耦合運動響應，并將平臺運動的時域耦合分析結果與頻域QTF結果進行了比較。圖2為Spar平臺的側視圖，圖3為平臺的基本尺寸示意圖，平臺的主要特性數據如表1所示。所模擬的規則入射波波幅為A=6.0 m，波浪周期為T=10.0 s，波浪入射角度為0度。在數值模擬中忽略了桁架結構、月池和浮艙的影響。利用桁架式Spar平臺的對稱性，在1/4物面和自由水面上剖分網格，圖4為Spar平臺的網格劃分示意圖。

Truss Spar平臺采用對應實際水深1 500 m的12點系泊系統，由3組、每組4根共12根相同的組合系泊纜索構成，每組間隔120°，每組中的系泊纜索間隔5°。總體動力性能分析所采用系泊系統的配置及其坐標系統如圖5所示，組合系泊纜索為鏈—纜—鏈復合型式，自上（導纜孔）而下（海底錨）分別由船鏈、鋼纜和底鏈3段組成，表2為組合系泊纜的主要物理屬性，系泊系統的系泊點及其預張力配置如表3所示。

圖2 Spar平臺側視圖Fig.2 Spar outboard profile(Looking west)

圖3 平臺主要尺寸示意圖Fig.3 Main dimensions of the Truss Spar

表1 平臺主要特性數據Tab.1 Main particulars of the Truss Spar

圖4 Truss Spar平臺物面和自由水面網格剖分模型Fig.4 Mesh grid model on the body-surface and free-surface for the Truss Spar

圖5 系泊系統配置及坐標系統Fig.5 Mooring configuration and coordinate system

表2 組合系泊纜主要物理屬性Tab.2 Main properties of the combined mooring line

續表2

表3 系泊系統導纜孔位置及預張力配置Tab.3 Fairlead location and pretension summary of the mooring system

平臺配備有6根生產立管和1根鉆井立管。生產立管的張力由獨立于平臺主體的浮力罐支撐，鉆井立管的張力由平臺上的張緊器支撐。立管的物理屬性及其預張力設置如表4所示。

表4 立管主要參數Tab.4 Main parameters of the risers

對規則波作用下桁架式Spar平臺的運動響應進行了研究，全部響應結果均是相對于平臺重心。同時給出了QTF頻域計算的運動響應，與本文全時域耦合分析模型的計算結果進行了對比。在平臺的初始靜平衡位置，采用數值方法計算系泊/立管系統的恢復力矩陣，然后利用此線性化的系泊恢復剛度在頻域中計算平臺的位移。圖6-8分別給出了平臺的縱蕩、升沉和縱搖響應，它們的變化趨勢基本一致，從運動響應的對比結果可以看出，QTF結果和本文全時域準靜態耦合分析（COUPLE_QS）的結果更加一致，這是因為頻域方法同樣忽略了系泊系統的動力效應，同時也說明了本文建立的全時域耦合模型的正確性。可以發現，動態耦合分析（COUPLE_DY）和準靜態耦合分析不僅在響應幅值上有明顯不同，在自振頻率下瞬態響應的衰減速度上也有所不同。從圖6（b）可以看出，由于系泊阻尼及系泊/立管系統動力效應的影響，COUPLE_DY的二階縱蕩達到的最大值比COUPLE_QS要小，自振頻率下的瞬態響應比COUPLE_QS衰減更快。由于二階平均漂移力的存在，可以看到平臺發生了一個較大的平均偏移。與縱蕩和縱搖相比，系泊系統動態力對一階升沉的影響較大，而且二階升沉對總升沉的貢獻也較大。總體而言，倍頻響應相對較小，對于規則波，波頻響應和自振頻率下的瞬變響應占據主導地位。COUPLE_QS計算結果與QTF結果有較好的一致性，但是由于動力耦合效應的影響，與COUPLE_DY計算結果存在一定差別。從耦合響應與頻域結構的比較可以發現，本文建立的全時域耦合分析模型可以很好地預報浮式平臺的運動。

圖6 規則波作用下Truss Spar的縱蕩響應Fig.6 Surge response of the Truss Spar in regular waves

圖9 2號系泊纜索上端點張力Fig.9 The top node tensions of mooring line 2

本文同時還給出了系泊纜索/立管上端點張力和水線上兩個特征點處的波面升高。圖9為2號纜索上端點張力模擬結果，一階張力和總張力的時間歷程分別如圖9（a）和圖9（b）所示。從圖中可以看出，COUPLE_DY計算的系泊張力比COUPLE_QS要大很多，這說明系泊纜索慣性力和拖曳力對系泊張力的影響較大，而且張力的變化趨勢與縱蕩響應類似。

圖10 生產立管上端點的一階張力Fig.10 The first order top node tensions of production riser

圖11 生產立管上端點的總張力Fig.11 The total top node tensions of production riser

圖10為生產立管上端點的一階張力，圖11為上端點總張力。從兩幅圖中可以看出，作用在立管上的動態力的影響也非常大，動態耦合方法比準靜態耦合方法計算的張力幅值更大，總張力的大小和變化幅度比一階張力大。但是對于立管而言，由于上端點施加的邊界條件的原因，立管上端點張力的變化范圍較小，基本保持在預張力附近波動。

圖12和圖13分別為水線上θ=0和θ=π兩點的波面升高，θ是與x軸正方向的夾角。可以看出，兩種耦合分析方法得到的波面升高時間歷程幾乎相同，迎浪側的波浪爬高明顯大于背浪側，總波浪爬高大于一階波浪爬高。

圖13 迎浪側水線上θ=π點的波面升高Fig.13 The wave elevation at the water-line point on wave-side(θ=π)

5 結 語

本文建立了一個新的全時域非線性耦合動態分析模型。在此模型中，直接在時域內計算非線性波浪力，而非采用傳統頻時變換的間接方法，同時建立了基于細長桿理論的有限元方法對系泊纜索/立管進行動力分析。通過在導纜孔處施加恰當的邊界條件，將浮式平臺的運動方程和系泊/立管系統的動力方程整體進行耦合。在每個時間步，利用Newmark-β法和N-R迭代法，對平臺運動方程和系泊纜索/立管動力方程同時進行求解。

利用建立的耦合分析模型對一個桁架式Spar平臺及其系泊/立管系統進行了數值模擬，分別采用動態耦合方法（COUPLE_DY）和準靜態耦合方法（COUPLE_QS）進行了分析，為了進行對比研究，同時給出了采用QTF方法計算的頻域結果。由于存在二階平均漂移力，Spar平臺發生了較大的平均偏移。從耦合分析結果中可以發現，在深水中尤其是在平臺做大幅運動響應時，浮式平臺和系泊/立管系統之間的動力耦合效應起著非常重要的作用，系泊纜索慣性力和阻尼力對深水順應式平臺的動力分析有重要影響。利用本文建立的耦合分析模型，可以對平臺的波頻和低頻響應進行可靠預報。

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Full time-domain nonlinear coupled dynamic analysis of Truss Spar and mooring/riser system

YANG Min-dong1,2,TENG Bin3,NING De-zhi3,SHI Zhong-min4
(1.Guangdong Electric Power Design Institute Co.,Ltd.of China Energy Engineering Group,Guangzhou 510663,China; 2.Department of Ocean Engineering,Ocean University of China,Qingdao 266100,China;3.State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China;4.Research Center of CNOOC,Beijing 100027,China)

A full time-domain program is developed for the coupled dynamic analysis of floating platform systems.For the hydrodynamic loads,a time domain second order method is developed.In this approach, Taylor series expansions are applied to the body surface and free-surface boundary conditions,and Stokes perturbation procedure is used to establish corresponding first-order and second-order boundary value problems with time-independent boundaries.A higher-order boundary element method(HOBEM)is developed to calculate the velocity potential of the resulting flow field at each time step.The free-surface boundary condition is satisfied to the second order by 4th order Adams-Bashforth-Moultn method.An artificialdamping layer is adopted on the free surface to avoid the wave reflection.The mooring-line/tendon/riser dynamics are based on a rod theory and finite element method(FEM),with the governing equations described in a global coordinate system.In the coupled dynamic analysis,the motion equation for the hull and dynamic equations for mooring-lines/tendons/risers are solved simultaneously using Newmark method.The coupled analysis program is applied for a Truss Spar motion response simulation.Numerical results including hull motions and tensions at the top of mooring-lines/risers are presented,and some significant conclusions are derived.

full time-domain;Truss Spar;mooring-line;finite element;coupled dynamic analysis

P75

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2015.07.007

1007-7294（2015）07-0810-17

2014-12-18

國家自然科學基金資助項目（11072052）；國家重點基礎研究發展計劃（973）資助項目（2011CB013703）

楊敏冬（1982-），男，博士，高級工程師，E-mail：yangdongmin@gedi.com.cn；

滕 斌 （1958-），男，教授，博士生導師。