殘缺判斷矩陣排序的不補(bǔ)全策略

戴建華,于春龍

（南京理工大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，南京 210094）

0 引言

在群決策過程中，由于問題的復(fù)雜性、決策時(shí)間的緊迫性和所具備專業(yè)技能的局限性，一些專家可能很難給出某方案的某個(gè)屬性判斷值——評(píng)價(jià)信息出現(xiàn)殘缺。對(duì)于殘缺判斷矩陣排序問題的研究，目前國內(nèi)外提出的解決方案較多的是基于填補(bǔ)的思想。例如，較早的殘缺判斷矩陣研究者Laarhoven與Pedrycz[1]，他們給出了殘缺三角模糊判斷矩陣的最小二乘排序方法。國內(nèi)以徐澤水、樊治平、姜艷萍[2～4]等為代表，基本也是通過各種方法估算矩陣中的殘缺元素，對(duì)殘缺矩陣進(jìn)行補(bǔ)全，進(jìn)而在完整的判斷矩陣上對(duì)方案進(jìn)行排序。而不填補(bǔ)殘缺信息，利用現(xiàn)有的評(píng)價(jià)信息直接對(duì)多屬性方案進(jìn)行排序的研究還比較少，本文嘗試在信息補(bǔ)全的思路之外，結(jié)合前景理論，在不補(bǔ)全信息而直接排序方面進(jìn)行一些探索。

1 相關(guān)概念

1.1 前景理論的涵義

Kahneman和Tversky于1997年提出前景理論[5]，后來發(fā)展成為累積前景理論。前景理論的前景價(jià)值是由價(jià)值函數(shù)和決策權(quán)重函數(shù)共同確定的，即：

1.2 殘缺矩陣的描述

其中：α和β分別表示受益和損失區(qū)域價(jià)值冪函數(shù)的凹凸程度[6]，α，β＜1表示敏感性遞減；θ表示損失區(qū)域比受益區(qū)域更陡的特征，θ＞1表示損失厭惡。

（2）決策函數(shù)。

Tversky等給出的決策權(quán)重的公式為[7]：W(Ai)=π(p(Ai))。其中：w為權(quán)重函數(shù)，p為判斷概率，Ai為考慮的事件，π為風(fēng)險(xiǎn)下的概率權(quán)重函數(shù)。判斷概率p(Ai)由決策專家給出，但在某些風(fēng)險(xiǎn)不確定的決策中，判斷概率會(huì)出現(xiàn)違法概率二元互補(bǔ)關(guān)系的情況。因此，在風(fēng)險(xiǎn)決策權(quán)重的分析中，有必要考慮由于決策者對(duì)不確定源的偏好及對(duì)未知概率事件的判斷所帶來的影響[8]。可有如下函數(shù)獲得權(quán)重函數(shù)[9]：

2 基于前景理論的殘缺矩陣排序方法

2.1 原始判斷矩陣的規(guī)范化處理

對(duì)于多準(zhǔn)則決策問題，常見的準(zhǔn)則類型是效益型和成本型。為消除不同物理量綱對(duì)決策的影響[10]，決策時(shí)需要對(duì)殘缺決策矩陣Ak中的元素進(jìn)行規(guī)范化處理。本文采用[-1,1]線性變換方法對(duì)Ak進(jìn)行規(guī)范化處理，令：

其中有殘缺元素的矩陣，上述公式需要做一定的修正。假設(shè)對(duì)應(yīng)上述的殘缺判斷矩陣Ak，如上式（4），在準(zhǔn)則uj下，有l(wèi)個(gè)殘缺評(píng)價(jià)值，則在計(jì)算時(shí)需將殘缺元素當(dāng)成0，即上述式（5）需修正為：

2.2 正負(fù)理想方案的確定

根據(jù)前景理論，決策者在進(jìn)行決策時(shí)，往往會(huì)根據(jù)某些參考點(diǎn)來衡量決策的收益和損失。本文運(yùn)用TOPSIS方法的思想，令：

則正負(fù)理想方案為：

2.3 前景價(jià)值矩陣的建立

由灰色關(guān)聯(lián)分析方法可知，在專家ek的評(píng)價(jià)下，方案xi與正負(fù)理想方案x+和x-關(guān)于準(zhǔn)則uj的關(guān)聯(lián)系數(shù)分別為：

2.4 最優(yōu)綜合前景值模型的修正

根據(jù)前景理論相關(guān)知識(shí)可知，在單個(gè)專家ek的評(píng)價(jià)下，如果評(píng)價(jià)矩陣中沒有出現(xiàn)殘缺元素時(shí)，方案xi的綜合前景值為正前景值與負(fù)前景值之和，即：

2.5 群體意見下最優(yōu)綜合前景值的計(jì)算及方案排序

3 算例分析

假設(shè)有4個(gè)方案x1，x2，x3，x4，每個(gè)方案有4個(gè)準(zhǔn)則（均為效益型準(zhǔn)則），準(zhǔn)則的權(quán)重為W：

4 結(jié)論

針對(duì)多屬性群決策殘缺矩陣的排序問題，本文提出一種基于前景理論的解決方法，在已有評(píng)價(jià)信息的基礎(chǔ)上，對(duì)方案綜合前景值最大化的優(yōu)化模型進(jìn)行相應(yīng)修正，最終以最優(yōu)綜合前景值對(duì)方案進(jìn)行排序。在一定程度上減少了信息填補(bǔ)方法帶來的主觀性，是對(duì)群決策排序理論中殘缺信息處理方法的補(bǔ)充。當(dāng)然，盡管本文對(duì)評(píng)價(jià)矩陣由于殘缺元素的缺失帶來的誤差進(jìn)行了控制，但是該方法的決策精度會(huì)不會(huì)因?yàn)槿笔г財(cái)?shù)目的增多而受影響？殘缺元素的個(gè)數(shù)應(yīng)該控制在怎樣的范圍？本文將對(duì)此做相應(yīng)的后續(xù)研究。

[1]Van Laarhoven P J M,Pedrycz W.A Fuzzy Extension of Saaty's Priority Theory[J].Fuzzy Sets and Systems,1983,11(1).

[2]徐澤水.殘缺互補(bǔ)判斷矩陣[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2004,24(6).

[3]Xu Z S.Goal Programming Models for Obtaining the Priority Vector of Incomplete Fuzzy Preference Relation[J].International Journal of A-pproximate Reasoning,2004,36.

[4]姜艷萍,樊治平.基于模糊判斷矩陣的一種方案排序方法[J].東北大學(xué)學(xué)報(bào),2000,21(4).

[5]Kahneman D,Tversky A.Prospect theory：An Analysis of Decision Under Risk[J].Economica,1979,47(2).

[6]余德建,吳應(yīng)宇等.基于前景理論的信息不完全的區(qū)間型多屬性決策方法[J].軟科學(xué),2011,(3).

[7]Tversky A,Fox C R.Weighting Risk and Uncertainty[J].Psychological Review,1995,102(2).

[8]萬樹平.區(qū)間型多屬性決策的心態(tài)指標(biāo)法[J].控制與決策,2009，(1).

[9]Wu G,Gonzalez R.Curvature of the Probability Weighting Function[J].Management Science,1996,42(12).

[10]徐澤水,達(dá)慶利.區(qū)間排序的可能度法及其應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2003,18(1).

[11]Tversky A,Kahneman D.Advances in Prospect theory：Cumulative Representation of uncertai-nty[J].J of Risk and Uncertainty,1992,5(4).

[12]李武,岳超源等.最小化序數(shù)偏好距離的多屬性群決策[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2010,32(2).