非完整單足跳躍機器人姿態運動控制的樣條逼近方法

楊莉莉

YANG Li-li

(淄博職業學院，淄博 255314)

0 引言

隨著機器人應用領域的不斷拓展，作為仿生機器人領域的跳躍機器人，因自身的結構特點從而具有較強的環境適應能力，在實際應用時，能夠模擬袋鼠、青蛙等動物的跳躍方式，輕松躍過數倍于自身高度的障礙物或低洼場地、溝渠、坑道，可替代人類用于危急情況下復雜地段的作業，因而在考古、軍事、勘探、救援等領域中有廣泛應用，此外，對跳躍機器人的研究有助于提高人類對動物奔跑、跳躍運動機理的認識和掌握，對指導跳高跳遠等跳躍類運動具有很好的啟發意義。同時，跳躍機器人的研究涉及多體系統動力學、非線性動力學、穩定性控制及優化算法等多種學科基礎理論和關鍵技術，近年來一直是機器人研究領域的熱點和難點問題。

自1980年美國學者Raibert研制出世界上最早的單足彈跳機器人[1]以來，國內外學者以此機器人模型為基礎開展了大量的研究[2]，如對機器人模型的穩定性研究[3]、跳躍運動步態的研究[4]、動力學特性分析[5]以及相關的控制理論研究[6]等。作者[7]考慮機器人系統的非完整約束特性，通過引入遺傳算法，研究了單足跳躍機器人非完整運動規劃的最優控制問題，得到控制系統運動的最優控制規律，但從仿真實驗結果看，利用此方法得到的最優控制輸入在系統運動的初始和終止時刻均不為零，不便于利用電機實現對機器人系統運動的控制。

為解決這一問題，本文利用樣條逼近方法替代文獻[7]中的傅里葉基逼近方法，在實際仿真實驗時選用三次樣條逼近方法進行擬合，通過粒子群優化算法求得初值和終值均為零的最優控制輸入，并在設定的運動周期內控制機器人從初始位姿運動到期望的末端位姿。首先建立系統的動力學模型，在系統角動量守恒的情況下，將帶有非完整約束的系統運動規劃問題轉化成最優控制問題，引入樣條逼近方法和粒子群優化算法，得到系統姿態運動的優化運動軌跡和在運動初始及終止時刻系統控制輸入均為零的最優控制規律。文末結合算例進行了數值仿真，結果表明所提出的方法對非完整單足跳躍機器人姿態運動控制是有效的。

1 單足跳躍機器人模型

設單足跳躍機器人系統由本體和一條可轉動并能伸縮的可驅動腿構成，如圖1所示，系統具有二個自由度，可做平面運動。根據多體系統動力學理論，在無外力矩作用時，系統的“約束”為角動量守恒，則有單足跳躍機器人系統的角動量[1]：

式中，I為機器人本體的慣性矩陣，m為腿的質量，并假定集中在腳上，d 為上腿長度。q=為機器人系統位形參數，其中，為驅動腿相對于本體的轉角，l 為腿的伸縮量，為本體的轉角。

圖1 單足跳躍機器人模型

當機器人處于騰空狀態時，設系統初始角動量為零，則由式（1）可得：

由系統角動量守恒得到的式（3）為不可積的形式，即單足跳躍機器人系統具有不可積的角速度約束，也稱為非完整約束[8]。

2 系統姿態運動的優化控制問題

由式（3）可知，q是u和t的函數。式（3）可視為單足跳躍機器人姿態運動（3個狀態變量）受控于2個控制輸入的控制系統。當給定系統運動的初始位形和末端位形后，通過優化給定的目標函數可以求得一組最優控制輸入控制系統在運動周期T內從q0運動到qf。

當系統運動時，其姿態會發生相應的變化，當姿態快速變化時，會消耗較多的能量[9]，因此，可將能耗作為系統運動的優化目標。根據最小能量原理，選擇機器人姿態運動時消耗的能量作為最優控制目標，其目標函數可表示為：

將式（5）代入式（4）中，即可求得系統的目標函數值，將控制輸入向量λ視為新的控制變量，考慮系統運動到末端位置的精度約束，引入罰函數法，則式（4）可表示為：

3 系統運動規劃的粒子群優化算法

粒子群優化算法[10]（簡稱PSO），是基于鳥類集群覓食行為而提出的一種模擬群體進化的智能優化算法。在利用該算法時，每個備選解都被視為一只鳥，稱為“粒子”。多個“粒子”構成鳥群，在搜索空間內尋優。每個粒子都有一個目標函數值，在搜索時不斷優化該值來跟蹤當前群體的最優位置，此外，粒子還有一個速度決定它們飛翔的方向和距離。實際計算應用時，每個粒子的初始位置和速度隨機產生，通過迭代進化在解空間內搜尋最優解。設每個粒子的維數為D維，第i個粒子的位置矢量為速度矢量

其中w為慣性因子； 1 2,c c 為加速因子，其取值為正常數；之間均勻分布的隨機數；粒子的第維的位置和速度變化均有固定取值范圍，在迭代時，若粒子的位置和速度超過邊界范圍則取邊界值。

應用于非完整單足跳躍機器人系統姿態運動規劃的粒子群優化算法，其計算步驟如下：

2）更新粒子速度和位置。根據式（7）和式（8）更新粒子的速度和位置。

3）判斷是否需更新目標函數值。根據式（6）計算每個粒子的目標函數值。如果當前的目標函數值優于更新前的目標函數值，則更新目標函數值。若所得的Pi和Pg值優于更新前的Pi和Pg值，則更新Pi和Pg值。

4） 檢驗終止條件。若程序達到預先設定的最大迭代次數，則終止程序并輸出最優解，否則轉到步驟2）繼續迭代直到到達最大迭代次數。

4 基于樣條逼近的算例仿真

以單足跳躍機器人模型為算例，如圖1所示。設定系統的質量幾何參數為：

仿真實驗時，取T=5s，將[0,T]進行5等份，令控制輸入的初值和終值均為零，則每個控制輸入對應的參數個數為4，兩個控制輸入對應的λ的維數為8。取粒子群優化算法的控制參數[11]分別為：粒子個數n=1 5，粒子維數D=8，加速因子

設以角度的逆時針旋轉為正，給定系統運動的初始和末端位形分別為：算法經過500次迭代求得最優解，仿真結果如圖2 和圖3 所示。其中，圖2（a）、（b）、（c）分別為系統3個位形參數的變化規律，圖3（a）、（b）分別為最優控制輸入規律。從圖中可以看出，機器人在設定的運動周期5s內，系統可以從初始位形運動到預先設定的目標位形，且在初始和終止時刻最優控制輸入值均為零，便于利用電機實現對機器人運動的控制。求得目標函數最優值為J=696.1112。

圖2 單足跳躍機器人位形參數變化軌跡

圖3 單足跳躍機器人運動最優控制輸入規律

5 結論

本文針對帶有非完整約束的單足跳躍機器人系統模型，將樣條逼近技術和粒子群優化算法引入到其姿態運動規劃的最優控制問題中，求得了機器人從初始姿態運動到末端姿態的優化運動軌跡，且得到的最優控制輸入的初值和終值均為零，在實際應用中，如用電機控制系統運動，則電機的初始和終止速度均為零，可方便的通過電機實現機器人姿態的運動控制。這一方法解決了利用傅里葉展開技術得到的控制輸入的初始和終止速度均不為零的問題。數值仿真實驗結果表明了該方法的有效性。

此外，粒子群優化算法還具有結構簡單、參數較少，易于編程，收斂速度快等優點，也更適用于工程應用。同時，在運動規劃中應用樣條逼近控制輸入是一種新的有益嘗試，這一方法也為解決其他非完整系統的運動控制問題提供了一個有效的新途徑。

[1] Raibert M H. Legged robots that balance[M].The MIT Press, Cambridge:MA,1986.

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[3] Koditschek D E, Buhler M. Analysis of a simplified hopping robot[J].International Journal of Robotics Research, 1991, 10(6): 587-605.

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[5] 楊文綱,陸震,單足跳躍機器人動力學建模與仿真[J].機械與電子,2006,(10):45-48.

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[10] 曾建潮,介婧,崔志華.微粒群算法[M].北京:科學出版社, 2004.

[11] 楊莉莉.不確定性機器人軌跡跟蹤控制的粒子群算法[J].制造業自動化,2013,35 (9):80-82.