侵徹制導武器終端多約束最優制導律①

劉大衛，杜運理，溫求遒，上官垠黎

(1. 中國兵器科學研究院，北京 100089；2. 北京理工大學 宇航學院，北京 100081)

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侵徹制導武器終端多約束最優制導律①

劉大衛1，杜運理1，溫求遒2，上官垠黎1

(1. 中國兵器科學研究院，北京 100089；2. 北京理工大學 宇航學院，北京 100081)

針對侵徹型制導武器終端多約束制導問題，建立包含一階彈體動力學的多約束制導模型，采用最優控制方法推導終端多約束制導問題的通解。根據終端約束與罰函數的關系，求解了實際工程中關心的3種最優制導律，并結合當前主流制導控制體制，在小角假設下，將其表述為便于工程實現的形式，即包含彈體動力學的最優比例導引制導律、彈道成型最優制導律和終端多約束最優制導律。理論分析和典型末制導條件仿真表明，后2種制導律可為侵徹制導武器終端位置與角度雙約束以及位置、角度與加速度多約束制導問題提供理論基礎和工程應用參考。

侵徹制導武器；終端多約束；最優制導律；比例導引；彈道成型

0 引言

現代戰爭中，如何有效打擊深埋地下的硬目標，已成為許多國家軍事領域的重要研究課題，從而引發了利用制導火箭、航空炸彈、空-地導彈、巡航導彈、彈道導彈乃至高超聲速飛行器等多種運載平臺搭載侵徹戰斗部而構成的侵徹型制導武器的快速發展。然而，侵徹戰斗部為達到最佳毀傷效果，對命中目標時彈體的落點位置、入射角、速度和過載等終端參數提出了嚴格的限制條件[1-2]。因此，基于最優控制理論獲得的比例導引制導律已經不能完全滿足侵徹制導武器終端多約束制導問題。目前，大多數學者受Kim和Grider在機動彈頭再入制導問題中引入落角約束的啟發[3]，研究了基于最優控制理論、滑模變結構控制、智能控制、自適應控制、預測控制和模糊控制等諸多方法的具有終端角約束的制導律設計方法[4]。其中，最優控制方法發展最快，并已成功用于“潘興-II”地-地戰術導彈[5]，引發了學者對其廣泛研究，典型代表如文獻[6-9]。但上述研究只解決具有終端位置和角度約束的制導問題，對侵徹制導武器終端包含位置、落角和過載等多項約束的制導問題，仍沒有直接有效的閉環制導策略。

本文在前人對最優制導律研究的基礎上，將彈體動力學簡化為一階環節引入制導問題，將制導模型狀態量擴展到位置、速度和加速度3項，基于全狀態反饋法將初始狀態以最優性能指標轉移到期望終端狀態，獲得包含終端位置、角度和加速度等多約束的系列化最優制導律。

1 最優制導律建模與推導

1.1 制導問題假設

在制導律研究領域，將導彈控制系統簡化為一階系統，基本能反映其主要動力學特性，取典型一階動力學環節[5]：

(1)

式中ac為導彈法向加速度指令；aL為法向加速度響應；Tg為彈體動力學時間常數。

(2)

則包含彈體動力學的制導系統狀態方程為

(3)

其中，系統矩陣A和控制矩陣B分別為

(4)

侵徹制導武器攻擊的目標一般無機動加速度，即at=0。此時，包含一階彈體動力學環節的線性制導系統簡化結構模型，如圖1所示。

圖1 線性制導系統一階動力學簡化模型Fig.1 Dynamics model of linear guidance system with first-order lag

1.2 最優制導律建模

為了研究具有終端多約束的最優制導問題，建立以下目標函數：

(5)

式中SF和R為半正定矩陣，分別為終端加權矩陣和控制加權矩陣；t0和tF分別為初始制導時刻和總制導時間；xF為終端特定約束；u為控制量。

該制導問題的初值：

(6)

終端約束條件：

(7)

終端加權矩陣SF和控制加權矩陣R：

(8)

對這類最優控制問題，采用狀態反饋方法可獲得最優控制解[10]：

(9)

其中，Φ(tF,t)為狀態轉移矩陣；x(tF)為終端狀態，其解為

(10)

1.3 最優制導律求解

根據系統狀態矩陣可得其狀態轉移矩陣：

(11)

從而有

(12)

由式(2)可知：

(13)

將式(7)、式(8)、式(12)和式(13)代入式(9)，令tgo=tF-t，可得到最優控制量為

(14)

將式(7)、式(8)、式(11)和式(12)代入式(10)，可得到一般形式的廣義終端多約束制導問題終端狀態x(tF)的最優解為

(15)

其中

(16)

2 典型終端約束對應的最優制導律

不同作戰目的對應不同的終端約束，在實際工程中，往往關注以下3種典型終端約束所對應的最優制導律。

2.1 終端位置約束最優制導律

為實現對目標的精確命中，一般只研究保證終端位置約束的制導問題。根據罰函數與終端約束對應關系，對式(14)求罰函數s1→∞、s2→0且s3→0，即

(17)

其中

式中N′為有效導航比；tp為相對剩余時間比。

2.2 終端位置和角度雙約束最優制導律

同理，為按照期望落角對目標進行精確命中，一般研究同時確保終端位置和角度約束的制導問題。此時，對式(14)求罰函數s1→∞、s2→∞且s3→0，即

(18)

其中

2.3 終端位置、角度和加速度多約束最優制導律

依此類推，為實現對目標按照期望角度精確命中且命中點加速度為零，則須對式(14)求罰函數s1→∞、s2→∞且s3→∞，即

(19)

其中

k1(t)=12(-tgo+2κTg)2

κ=tanh(tgo/2Tg)

3 最優制導律工程化表述

圖2 彈目交匯幾何關系圖Fig.2 Geometry of missile-target engagement

當彈目視線角q較小時，存在以下近似關系：

q(t)≈tanq(t)=-z(t)/tgoVr(t)

(20)

(21)

由式(20)得

z(t)=-q(t)tgoVr(t)

(22)

由式(21)得

(23)

將式(22)代入式(23)得

(24)

3.1 最優比例導引制導律

在上述幾何關系假設下，將式(22)、式(24)代入式(17)，得便于工程實現的包含彈體動力學的最優比例導引制導律：

(25)

(26)

3.2 彈道成型最優制導律

同理將式(22)、式(24)代入式(18)，得包含彈體動力學的最優彈道成型制導律：

(27)

其中

Γ=e-tgo/Tg

式(27)以“比例導引+角度約束+加速度反饋”形式給出了包含彈體動力的最優彈道成型制導律。當彈體動力學時間較小時，式(25)即為經典彈道成型制導律：

(28)

該制導律因其通過設置期望落角，使導彈按照期望彈道形狀精確命中目標而得名彈道成型。

3.3 終端多約束最優制導律

同理，將式(22)、式(24)代入式(19)，得包含彈體動力學的終端多約束最優制導律：

(29)

其中

式(29)以“比例導引+角度約束+加速度約束+加速度約束補償”形式表述終端多約束最優制導律。該制導律由4部分組成：第一項為保證終端位置精度的變系數比例導引項；第二項為保證終端角度的角度約束項；第三項為保證終端加速度收斂的加速度約束項;第四項為終端加速度約束補償項。對于侵徹型導彈，加速度約束項主要用于減小終端加速度，以間接控制命中點攻角，從而增大戰斗部侵徹效能。該最優制導律的權系數隨剩余飛行時間時變，確保位置、角度和加速度按照最優關系各自收斂到相應約束值，實現終端多約束精確制導。當彈體動力學時間較小，且終端加速度約束為零時，式(29)即為經典彈道成型制導律：

(30)

圖3給出了上述3種制導律的結構框圖。

4 制導律工程實現途徑與仿真驗證

(a)最優比例導引制導律結構框圖

(b)彈道成型最優制導律結構框圖

(c)終端多約束最優制導律結構框圖

取末制導初始條件為高度H0=3 km、速度V0=250 m/s、角度θ=0°進行仿真，以qF=-90°落角垂直攻擊xt=4 km處靜止目標，彈體動力學時間常數為Tg=0.25 s。圖4給出了采用3種制導律仿真時的彈道、彈道傾角、彈目視線角速度、加速度指令、加速度響應和攻角對比曲線，表1給出了主要終端參數。

(a) 彈道曲線 (b)彈道傾角曲線 (c)彈目視線角速度曲線

(d)加速度指令曲線 (e)加速度響應曲線 (f)攻角曲線

表1 仿真終點參數對比Table 1 Terminal parameters of the three typical optimal guidance laws

仿真結果表明，3種制導律均精確命中目標，彈道成型最優制導律和終端多約束最優制導律均確保終端彈道傾角幾乎為-90°。彈道成型最優制導律終端加速度指令為0.078 m/s2，加速度響應為-16.56 m/s2，對應攻角為-6.429°；而終端多約束最優制導律終端加速度指令33.48 m/s2，加速度響應為-0.07 m/s2，對應攻角為-0.026°。

5 結論

(1) 包含彈體動力學的最優比例導引制導律只能確保導彈命中目標，且命中目標時的過載指令為零，但不能對命中時刻的落角進行閉環控制。因此，不易直接應用于侵徹制導問題。

(2) 包含彈體動力學的彈道成型最優制導律和終端多約束最優制導律均能確保導彈命中目標，且命中點的落角可精確控制到期望值，其區別在于前者沒直接引入加速度約束，故只能將加速度指令控制到零，后者引入了加速度約束，可將加速度實際響應值控制到零。

(3) 侵徹型制導武器對命中點的位置、落角和攻角具有嚴格要求，而對攻角的約束可轉化為對加速度的約束來實現。因此，在對彈體動力學分析準確的前提下，采用終端多約束最優制導律，可間接實現對終端位置、落角和攻角的有效控制。

(4) 終端多約束最優制導律的表述形式和需用制導信息，可由目前工程上主流制導控制體制提供。因此，可為實際工程問題提供理論參考。

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(編輯：呂耀輝)

Optimal guidance law with multiple terminal constrains for penetrating guided weapon

LIU Da-wei1,DU Yun-li1,WEN Qiu-qiu2,SHANGGUAN Yin-li1

(1.China Research and Development Academy of Machinery Equipment,Beijing 100089, China；2.School of Aerospace Engineering,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081, China)

In order to study the terminal guidance problem of penetrating guided weapon,the guidance model with multiple terminal constraints based on first-order missile dynamics was established.The common optimal solution was deduced by state feedback law,and three typical optimal guidance laws were obtained by the relationship between different terminal constraints and penalty function.Then,advanced proportional navigation guidance law(APN),trajectory shaping guidance law with impact position and angle constraints (TSGPA),and optimal guidance law with multiple terminal constrains (OGLMTC) were obtained based on small angle assumption according to the information of typical guidance and control system.Theoretical analysis and typical simulations show that TSGPA and OGLMTC can control the missile to meet the dual and multiple terminal constraints concerning terminal location angel and accelaration respectively,and the two guidance laws can provide reference to engineering problem.

penetrating guided weapon;multiple terminal constraints,optimal guidance law;proportional navigation;trajectory shaping

2014-03-15；

：2014-05-12。

博士后科學基金資助項目(2012M50048)。

劉大衛(1984—)，男，博士，研究方向為飛行器制導與控制。E-mail：20031145@bit.edu.cn

V448

A

1006-2793(2015)02-0166-06

10.7673/j.issn.1006-2793.2015.02.004