求逆矩陣的幾種方法

俞美華

（東南大學成賢學院基礎部，江蘇 南京210088）

1 定義法

對于n階矩陣A,如果存在一個n階矩陣B,使AB＝BA＝E,則稱矩陣A是可逆的，把矩陣B稱為A的逆矩陣，并且當矩陣可逆時，逆矩陣是唯一的，故B＝A－1。

例1 已知A3＋3A2－2A－E＝0，求證A可逆，并求出A－1。

證明：由A3＋3A2－2A－E＝0得A（A2＋3A－2E）＝E,且（A2＋3A－2E）A＝E，所以A可逆，且A－1＝A2＋3A－2E。

2 伴隨矩陣求逆法

定理：n階方陣A可逆的充要條件是｜A｜≠0，且當｜A｜≠0時，有A－1，其中A*是A的伴隨矩陣，A*＝，Aij是元素aij在｜A｜中的代數余子式。

證明：

且

即AA*＝A*A=｜A｜E；

充分性：因為｜A｜≠0，由AA*＝A*A=｜A｜E，得，由逆矩陣的定義得，A是可逆的，并且；

必要性：因為A是可逆的，由逆矩陣的定義知，AB＝BA＝E，所以|AB|=｜A｜｜B｜=1?｜A｜≠0且｜B｜≠0，并且，所以。

（2）B－1＝，其中｜B｜=6,，

由此可見，對二階矩陣A來講，利用伴隨矩陣求逆法，簡便，快捷，因為二階矩陣的伴隨矩陣A*與矩陣A之間存在一定關系，將A的主對角線元素互換且副對角線元素變成相反數可得A*；但是對于三階以及三階以上的矩陣來說，利用伴隨矩陣來求逆，需要計算9個以及9個以上的代數余子式，并且符號容易出錯，其計算量太大，所以不易采用這種方法來求逆。

3 利用伴隨矩陣求逆矩陣定理的推論求逆

推論 設A，B都是方陣，且AB=E（或BA=E），則A，B互為逆矩陣。

證明：由于AB=E，所以｜A｜｜B｜=1,故｜A｜≠0，｜B｜≠0因此A－1，B－1均存在，且唯一，在AB=E的兩邊左乘以A－1得B=A－1，或者在AB=E的兩邊右乘以B－1得A＝B－1，因此A，B互為逆矩陣；同理也可以證明，當BA=E時，A，B互為逆矩陣。

由此可見，當A，B都是方陣時，證明B是A的逆矩陣只需要驗證AB=E或BA=E中的一個成立即可，比用定義驗證簡單一些。

由推論得A是可逆的且A－1＝B，即

此結論可以推廣到n階對角陣：

由此可見，對角陣當對角元均不為零時，對角陣是可逆的，并且它的逆矩陣仍是對角陣且對角元是原來矩陣對角元相應的倒數。

由推論得C是可逆的且C－1=D，即

此結論也可以推廣到n階矩陣：

例5 已知A是方陣，滿足A2-3A+E=0,求證A-E可逆，并求出(A-E)-1。

證明：A2-3A+E=0?(A-E)(A-2E)=E，且A-E,A-2E均是方陣，由推論得A-E可逆且(A-E)-1=A-2E。

4 利用逆矩陣的性質求逆矩。

性質：若A，B為同階可逆矩陣，則AB也可逆，且：

(AB)-1=B-1A-1。

證明：∵|AB|=｜A｜｜B｜≠0，故｜A｜≠0，｜B｜≠0,∴A，B均可逆,又因為AB、B-1A-1均是方陣，且(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=E，∴(AB)-1=B-1A-1。

推廣：若A1,A2,…,An為同階可逆矩陣，則A1·A2·…An可逆，并且。

例6 設方陣A,B,C滿足ABC=E，問A,B,C是否可逆？為什么?如果可逆，分別求它們的逆。

解：可知A,B,C為同階方陣，ABC=E?A(BC)=E，故A可逆，且A-1=BC；又因為（AB）C=E，故C可逆，且C-1=A B；在ABC=E的兩邊左乘以A-1，右乘以C-1，得B＝A-1E C-1＝A-1C-1，所以B-1＝（A-1C-1）－1＝CA。

例7 設矩陣E＋A及A均可逆，B＝E－（E＋A）－1，求證B也可逆，并求B-1。

解：利用逆矩陣的定義對矩陣B作恒等變形，

B＝E－（E＋A）－1＝（E＋A）－1（E＋A）－（E＋A）－1＝（E＋A）－1A。

∵（E＋A）－1及A可逆，∴B可逆，且：

B-1＝[（E＋A）－1·A]－1＝A－1·（E＋A）＝A－1＋E。

5 初等變換求逆矩陣

可逆矩陣A可以寫成一系列初等矩陣的乘積，設矩陣A是可逆的，則A＝P1·P2·…Ps，其中Pi（i=1,2,…s）是初等矩陣，因為初等矩陣都是可逆的，并且初等矩陣的逆矩陣還是初等矩陣，又因為在矩陣的左邊乘以一個初等矩陣就相當于對矩陣進行了一次初等行變換，于是就得到(A|E)→行變換(E|A-1)，即將矩陣A放在左邊，與A同階的單位矩陣E放在右邊，對它們進行初等行變換，當左邊的矩陣A化為單位矩陣E時，右邊的矩陣E就化為A-1；另外，在矩陣的右邊乘以一個初等矩陣就相當于對矩陣進行了一次初等列變換，于是就得到

如果利用初等行（列）變換的方法求逆矩陣時，矩陣A的最下（右）邊一行是零行，即矩陣A不能化為單位矩陣E，這說明矩陣A是不可逆的，所以，利用初等變換求逆矩陣時，不需要去計算矩陣的行列式是否為零。

解：（方法一）利用初等行變換求逆矩陣

所以A-1＝

（方法二）利用初等列變換來求逆矩陣

所以A-1＝由此可見，利用初等行變換或者初等列變換都可以求逆矩陣，并且計算的結果是一樣的，但是習慣上我們還是利用初等行變換來求逆矩陣，因為初等行變換更常用。

6 分塊對角陣求逆矩陣

對矩陣進行分塊是矩陣運算中常用的一種方法，有時可以簡化運算，如果矩陣分塊以后是分塊對角陣，則計算就相當簡便。

先將矩陣進行分塊，如果分塊后的矩陣是如下形式（即分塊對角陣），其中每一個Ai(i=1,2,…,s)都是方陣，并且每一個Ai(i=1,2,…,s)均可逆，則

可見A1，A2均可逆，則A-1＝

由此可見，如果直接利用伴隨矩陣求矩陣的逆矩陣，就要計算9個代數余子式，計算量比較大，而利用分塊的方法將其化為分塊對角陣，只需要計算一個二階方陣的逆，從而簡化了計算。

［1］北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組,王萼芳,石生明.高等代數[M].3版.北京：高等教育出版社,2003：177-193.