概率統計課程教學的實踐體會

石 龍 劉勉聲

（中南林業科技大學理學院，湖南 長沙410004）

自然界中所觀察到的現象分為確定性現象與隨機現象。在一定條件下必然發生的現象稱為確定性現象，在一定條件下可能出現也可能不出現的現象稱為隨機現象。隨機現象在一次觀察中出現什么結果具有偶然性，但在大量試驗或觀察中，這種結果的出現具有一定的統計規律性，概率統計就是研究隨機現象統計規律性的一門數學學科。

作為數學學科的一個分支，它有數學課程的共同特點：抽象、理論性偏強，讓學生覺得高大上。但它也有自身的特征：研究生活中的隨機現象，其思想方法不同于學生以前接觸的任何一門數學類課程。要讓學生拋掉學習其他數學類課程的慣性思維，在較短的時間內接受描述隨機現象的新的思想和方法，無疑是有一定難度的。因此，在概率統計課程的教學實踐中，如何根據該門課程的特點，采取怎樣的教學方法，讓學生學習這門緊密聯系現實生活的課程時不像學習其他數學類課程那樣覺得枯燥無味，就成了教授這門課的老師們所需要思考的一個課題。有很多教育工作者在這一方面做了一些探討[1-4]，本文根據作者的教學實踐，從趣味教學、化難為易、聯系實際等方面對概率統計的教學方法作了一些探討。

1 趣味教學

興趣是學生學習最好的老師，成功的教學是激發學生的興趣，而不是枯燥無味地照本宣科。概率統計所研究的問題來源于現實生活，因此在教學實踐中，教師要利用好這門課程的現實背景，讓教學內容充實、豐富、有趣，激發學生的學習熱情，提高學生學習的主動性。在介紹古典概型時，為了吸引學生的興趣，可先拋出一個有趣的命題：在70人的班級里至少有兩個人的生日相同的概率幾乎為1。同學們聽到這個命題后很驚訝，相互打聽生日，發現真有人生日相同后非常奇怪，這樣學習古典概型的興趣就很高昂。接下來我們就可以具體介紹得到這一命題的原因。

例1 （生日問題）假設每人的生日在一年365天中任一天是等可能的，隨機選取n（≤365）個人，他們的生日各不相同的概率為365n，因而，n個人中至少有兩人生日相同的概率為p=1-An

365/365n。 通過計算可得，n=50時，至少有兩人生日相同的概率為0.97，n=70時，至少有兩人生日相同的概率為0.999。這樣，我們既引起了學生學習的興趣，也介紹了古典概型的求解方法。

2 化難為易

化難為易法是指通過合適的處理，將求解比較復雜的問題轉化為相對簡單易求的問題。概率統計中比較有代表性的例子是服從二項分布的隨機變量可以表示成若干個0-1分布的隨機變量之和。這里，我們舉另外一個在教學實踐中學生處理起來感覺很難的例子：在二維連續型隨機變量的學習中，根據聯合密度函數求邊緣概率密度時變量的范圍如何處理？我們通過下面的例子來加以說明。

例2 設二維隨機變量（X，Y）在區域G=｛（x，y）|0≤x≤1，x2≤y≤x｝上服從均勻分布，求邊緣概率密度函數FX（x），FY（y）。

解：（X，Y）的聯合概率密度為：

但求邊緣概率密度FY（y）時變量的范圍如何選擇，很多學生在這一點上就有些為難了。這里，我們將求邊緣概率密度與非零表達式的區域的劃分聯系起來，要求FX（x）就將G劃分成X型域，要求FY（y）就將G劃分成Y型域。這樣，根據聯合概率密度求邊緣概率密度就不用再擔心變量范圍怎么取的問題了。即：

3 聯系實際

在介紹極大似然估計時，學生對于似然函數的選取不甚理解。為了幫助學生理解，我們通過聯系實際，得到判斷，解釋得到判斷的依據，這樣，極大似然思想也就顯現出來了。下面有具體的示例來作說明。

例3 罐子中有若干黑球和白球，只知道兩球的比例是3∶1，但不知白球多還是黑球多，現隨機有放回抽取2次，觀察全為黑球，試問罐中白球多還是黑球多？

對于這樣一個實際問題，學生很容易得到黑球多的結論，但得到這一結論的依據是什么呢？下面讓我們給出說明。

解：設Xi（i=1，2）表示第i次取球的情況，“Xi=1”表示該次取得黑球，“Xi=0”表示該次取得白球，設單次取球取到黑球的概率為p。本例中p的取值為1/4或3/4。由于P｛X1=1，X2=1｝=p2，現在的問題轉化為已得到了該樣本，p應取何值？根據概率越大的事件在一次試驗中越容易發生原理，顯然當p=3/4時更容易得到該樣本，因此從該樣本出發可以得到黑球多這一結論。這就是極大似然思想，似然函數即為樣本的聯合分布函數，這樣，學生也就了解了極大似然估計的思想和方法了。

以上只是作者在概率統計教學實踐中的一點體會，還有很多數學方法都值得我們去研究。作為老師，我們要與時俱進，根據不同的教學內容找尋學生容易接受的教學方法，有效提高課堂的教學效果。

［1］孫福杰，王亞玲.談概率統計的啟發式教學[J].長春大學學報，2006，16(6)：142-144.

［2］朱方霞.概率統計教學方法探討[J].滁州學院學報，2009，11(3)：65-66.

［3］李冬梅，馬醒花，王震.概率統計課堂教學模式的研究與探索[J].中國科教創新導刊，2011，14：63.

［4］蔡云峰，董敏.淺析概率統計教學方法與教學手段的研究[J].西南農業大學學報：社會科學版，2012，10(12)：261-262.